HoangKhanh2002

Câu 1 bạn biến đổi nhầm khúc cuối kìa   

Mình làm như sau 
Dễ có $\frac{1}{a}> \frac{1}{a+b}> \frac{1}{a+b+c}\Rightarrow \frac{1}{a}> \frac{1}{3}\Rightarrow a< 3$

Mà $a=1$ cũng vô lý vậy $a=2$

Nhân lên ta có $b(b+c)=4$ mà $b< b+c\Rightarrow b=1,c=3$

Câu 2 $\Leftrightarrow (a+bc)(b+ac)=101^{n}$

Câu 1: Như vậy được rồi!
Câu 2: Chưa được gì cả???

Bài 1 :  Nhận xét nếu $a \ge 3$ lúc đó $a+b+c>a+b>3$ 
Khi đó $VT<1$ (vô lí) . Nếu $a=1$ cũng dẫn đến vô lí vì $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+b+c}=0$ 
Do đó $a=2$ . Biến đổi phương trình về thành $b^2+4b+4+(b+2)c=2c+4b+8 \Leftrightarrow bc+b^2+8b+12=0$ vô lí vì $a,b,c nguyên dương$ 
Bài 2 : Xét số dư của $a,b,c$ cho $3$ ta có đpcm |
 

Sai rồi. Chữa sau

Giải phương trình nghiệm nguyên $8x^{2}-3xy+24y-5x+15=0$

Câu 1: Cho ba số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn: $a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-c^2}+c\sqrt{1-a^2}=\frac{3}{2}$

Chứng minh rằng: $a^2+b^2+c^2=\frac{3}{2}$

Câu 2: Cho ba số dương $a, b, c$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^2}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

Dấu $''=''$ xảy ra khi nào?

Câu 1: $\frac{3}{2}=a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-c^2}+c\sqrt{1-a^2}\leq \frac{1}{2}(a^2+1-b^2+b^2+1-c^2+c^2+1-a^2)=\frac{3}{2}$

Dầu "=" xảy ra khi: $\left\{\begin{matrix} a^2=1-b^2\\ b^2=1-c^2\\ c^2=1-a^2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=\frac{3}{2}$

Nguồn : Thầy Cẩn 

Câu 6: 

b)  

ĐK: $\left\{\begin{matrix} x-\frac{1}{x}\geq 0\\ 1-\frac{1}{x}\geq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$ $x\geq 1; -1\leq x<0$

TH1: $-1\leq x<0$ VT < 0 VP.

TH2: $x\geq 1$

$x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}\Leftrightarrow x- \sqrt{1-\frac{1}{x}}=\sqrt{x-\frac{1}{x}} \Leftrightarrow (x- \sqrt{1-\frac{1}{x}})^2= x-\frac{1}{x}\Leftrightarrow x^2-2x\sqrt{1-\frac{1}{x}}+1-\frac{1}{x}-x+\frac{1}{x}=0\Leftrightarrow x^2-2x\sqrt{1-\frac{1}{x}}+1-x=0 \Leftrightarrow x^2-x+2\sqrt{x^2-x}+1=0 \Leftrightarrow (\sqrt{x(x-1)}-1)^2=0 \Leftrightarrow \sqrt{x(x-1)}=1 \Leftrightarrow x^2-x-1=0 \Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{1\pm 5}}{2}(x\geq 1)$

Giải phương trình: $\sqrt{2x^2+5x+12}+\sqrt{2x^2+3x+2}=x+5$

ĐK: $x\geq -5$

- Nếu x=-5 là nghiệm của phương trình

- Nếu $x\neq -5$

Đặt $\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x^2+5x+12}=a\geq 0\\ \sqrt{2x^2+3x+2}=b\geq 0 \end{matrix}\right.$

Ta có: $a+b=\frac{a^2-b^2}{2}\Leftrightarrow (a-b)(a+b)-2(a+b)=0 \Leftrightarrow (a+b)(a-b-2)=0$

        a + b = 0 (vô lí vì a+b > 0)

Do đó ta có hệ tạm: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x^2+5x+12}+\sqrt{2x^2+3x+2}=x+5\\ \sqrt{2x^2+5x+12}-\sqrt{2x^2+3x+2}=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow 2\sqrt{2x^2+5x+12}=x+7 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -7\\ 4(2x^2+5x+12)=(x+7)^2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow  \left\{\begin{matrix} x\geq -7\\ 8x^2+20x+48-x^2-14x-49=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow  \left\{\begin{matrix} x\geq -7\\ 7x^2+6x-1=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-1, x=\frac{1}{7}$

Quy định chung khi đăng bài:

1. Ghi rõ nguồn lấy bài, nếu tự nghĩ ra thì không cần ghi.

2. Các thành viên cần tôn trọng nhau, cấm chửi bậy.

3. Bài viết đánh LATEX, rõ ràng.

Một số bài tập: 

Mình xin đem ra một số bài (sau một thời gian, mình sẽ đem đáp án)

Bài 1: Tìm bộ ba số tự nhiên a, b, c thỏa mãn: $\frac{1}{a}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+b+c}=1$ (Nguồn: Đề thi HSG Toán 9)

Bài 2: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn $ab+a^2c+b^2c+abc^2=101^n(n\in N^*)$. Chứng minh rằng n là số chẵn (Nguồn: Toán tuổi thơ 2 số tháng 1/2016)

Xin mọi người đóng góp để $\boldsymbol{Topic}$ là một công cụ để các em học sinh lớp 8 + 9 học hỏi.

    Câu 2.

   Cho a,b,c không âm thỏa mãn $a+b+c=2$. Chứng minh rằng $\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab}\leq 3$.

 

Bài bất đẳng thức dùng dồn biến

Đặt $f(a,b,c) = \sum \sqrt{a^2+bc} $

Giả sử $a \geq b \geq c $

Khi đó $f(a+\frac{c}{2} ,b+\frac{c}{2} ; 0 ) = a+\frac{c}{2} + b+\frac{c}{2} + \sqrt{(a+\frac{c}{2})(b+\frac{c}{2} ) } $

Ta cần chứng minh $f(a+\frac{c}{2}; b+\frac{c}{2} ; 0 ) \geq f(a,b,c) $

Lấy 2 cái trừ nhau và nhân liên hợp, ta cần chứng minh 

$c[\frac{a-b+\frac{c}{4} }{a+\frac{c}{2} + \sqrt{a^2+bc} } + \frac{b-a+\frac{c}{4} }{b+\frac{c}{2} + \sqrt{b^2+ac} }  + \frac{\frac{a+b}{2} - \frac{3c}{4} }{ \sqrt{(a+\frac{c}{2})(b+\frac{c}{2} ) }+\sqrt{c^2-ab} }] \geq 0$

Do $c \geq 0 $ và $\frac{a+b}{2} - \frac{3c}{4} \geq 0 $

Do đó ,ta cần chứng minh tổng 2 căn đầu $>0 $

Thật vậy, ta có $a+\frac{c}{2} + \sqrt{a^2+bc} \geq b+\frac{c}{2} + \sqrt{b^2+ac} $

Do đó, ta có

$\frac{a-b+\frac{c}{4} }{a+\frac{c}{2} + \sqrt{a^2+bc} } + \frac{b-a+\frac{c}{4} }{b+\frac{c}{2} + \sqrt{b^2+ac} } $

$\geq \frac{a-b+\frac{c}{4} }{a+\frac{c}{2} + \sqrt{a^2+bc} } + \frac{b-a+\frac{c}{4} }{a+\frac{c}{2} + \sqrt{a^2+bc} } = \frac{c}{2(a+\frac{c}{2} + \sqrt{a^2+bc})} >0  $

Do đó $f(a+\frac{c}{2}; b+\frac{c}{2} ; 0 ) \geq f(a,b,c) $

Đặt $a+\frac{c}{2} =x ; b+\frac{c}{2} = y $

Khi đó $x+y = 2 $

Ta cần chứng minh $x+y+\sqrt{xy} \leq 3 $

Mà này hiển nhiên do $\sqrt{xy} \leq \frac{x+y}{2} $ 

Do đó ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=1; c=0 $ và các hoán vị tương ứng

Một số quy định khi đăng bài ở $\mathit{Topic}$: 

1. Cần ghi rõ nguồn gốc, nếu tự mình nghĩ ra thì không cần ghi.

2. Các bài hình đảm bảo hay, khò và gồm từ 2 ý trở lên. 

3. Các thành viến đăng bài cần tôn trọng nhau, không được nói tục, chửi bậy.

p là gì bạn?

Mình quên p nguyên tố. Đánh nhầm x, y

Mình góp bài nghiệm nguyên

Tìm x, y nguyên sao cho xy = p(x+y) với p số nguyên tố

Mình góp một bài :

Cho các số thực $a, b, c\in [0;1]$. Chứng minh rằng:

 $a^3+b^3+c^3\leq a^3b+b^3c+c^3a+1$

Cho x, y, z là độ dài 3 cạnh tam giác có chu vi bằng 2p thỏa mãn: 15yz + 10zx + 1964xy= 2023xyz

Tìm GTNN: 

Với $x>0, y>0 \Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$ 

$K=\frac{1974}{p-x}+\frac{1979}{p-y}+\frac{25}{p-z}=1964(\frac{1}{p-x}+\frac{1}{p-y})+10(\frac{1}{p-x}+\frac{1}{p-z})+15(\frac{1}{p-y}+\frac{1}{p-z})\geq 1964\frac{4}{2p-x-y}+10\frac{4}{2p-z-x}+15\frac{4}{2p-y-z}=1964.\frac{4}{z}+10\frac{4}{y}+15\frac{4}{x}=4(\frac{1964}{z}+\frac{10}{y}+\frac{15}{x})=4.\frac{1964xy+15yz+10xz}{xyz}=4\frac{2023xyz}{xyz}=4.2023=8092$

Dấu "="... $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1989}{2023}=\frac{117}{119}$

Bài 5: Cho a, b và c là những số thực dương thỏa mãn $a+b+c=\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}$

Chứng minh rằng: $ab+bc+ca\leq 3$

Ta có: $(a+b+c)(ab+bc+ca)=(a+b+c)2(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})=2(\frac{ab+bc+ca}{a+b}+\frac{ab+bc+ca}{b+c}+\frac{ab+bc+ca}{a+c})=2(a+b+c)(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a})\leq 2(a+b+c)(\frac{ab}{2\sqrt{ab}}+\frac{bc}{2\sqrt{bc}}+\frac{ca}{2\sqrt{ca}})=2(a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\leq 2(a+b+c)(a+b+c)\Rightarrow (ab+bc+ca)(a+b+c)\leq 3(a+b+c)\Rightarrow ab+bc+ca\leq 3$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

PHÒNG GD & ĐT ĐỨC THỌ                   KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

                                                                                    NĂM HỌC 2016 - 2017 

                                                                           Môn thi: TOÁN - LỚP 9. VÒNG 1

                                                                                  Thời gian làm bài: 120 phút 

_____________________________________________________________________

Bài 1: a) Tìm m đề $\sqrt{\sqrt{3}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}}$ là một nghiệm của đa thức P(x) = x⁹ - 2017x⁸ + m.

           b) Cho a, b và c là các số thực dương thỏa mãn: 2b = a + c. Chứng minh rằng:   $\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{2}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}$

Bài 2: a) Tìm tất cả các số nguyên dương x, y sao cho $\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}$ là số nguyên tố.

           b) Cho a và b là các số thực thỏa man a > b > 0 và a³ - a²b + ab² - 6b³ = 0. Tính giá trị của biểu thức: 

$B=\frac{a^4-4b^4}{b^4-4a^4}$

Bài 3: Giải các phương trình:

          a) $5x\sqrt{x-3}+8=4\sqrt{x-3}+10x$

          b) $\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x+1}-\frac{2}{(x+1)^2}=2$

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm di động trên cạnh AC. (M không trùng với A và C). Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM tại H, cắt tia BA tại D. Chứng minh rằng:

         a) DA.DB = DH.DC

         b) $\widehat{DHA}=\widehat{DBC}$

         c) Tổng BM.BH + CM.CA không đổi.

Bài 5: Cho a, b và c là những số thực dương thỏa mãn $a+b+c=\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}$

Chứng minh rằng: $ab+bc+ca\leq 3$