Ruby Dalek

Cả 2 trường hợp phải là $n\in \mathbb{Z}$ nhé. 

A giải thích giúp e sao lại là $n\in \mathbb{Z}$ được không?

Có nên 'giới thiệu' cho $a$ không? Ruby?

 

Từ \[0< \frac{|a|^n}{n^n} \le \frac{1}{2^n}\forall n\ge 2|a|,\]

Do đó, theo định lý kẹp, ta có $\lim \frac{a^n}{n^n}=0.$

Dạ đề có vậy thôi ạ
Không nói rõ $a$ :<

A giúp e bài này vs ạ :<
 

Cho dãy $\{x_n\}$ là dãy bị chặn thỏa mãn điều kiện $x_{n+1} \geq x_n - \frac{1}{2^n}, n \in \mathbb{N}$.

Chứng minh rằng: dãy $\{x_n\}$ hội tụ.
 

Bài 5: Chứng minh bằng qui nạp là đơn giản nhất. Nếu muốn "phức tạp" hơn thì dùng lý thuyết sai phân, dãy truy hồi tuyến tính, kỹ thuật hàm sinh.

 

Không mất tổng quát, ta giả sử $\alpha>\beta$.

 

\[\sqrt[n]{a_n} = \alpha \sqrt[n]{\frac{ 1 - \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n }{ \alpha - \beta }}.\]

Vì $\lim \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n=0$ nên tồn tại $N$

\[ \sqrt[n]{\frac{ 1 }{ 2(\alpha - \beta) }}\sqrt[n]{\frac{ 1 - \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n }{ \alpha - \beta }} \le  \sqrt[n]{\frac{ 1  }{ \alpha - \beta }}\forall n\ge N.\]

Bài 5 này a có thể giải thích rõ hơn được không ạ?
Não e vẫn chưa load đc vấn đề :3

*** Ý tưởng chứng minh vai mượn lý thuyết chuỗi số.

Nhận xét: Xét dãy $\{a_n\}$ và ${S}_n= \sum_{k=1}^na_k,\, \tilde{S}_n= \sum_{k=1}^n|a_k|$.

 

(i) Nếu $\{\tilde{S}_n\} $ hội tụ thì $\{S_n\}$ hội tụ.

 

(ii) Nếu tồn tại số thực dương $C$ sao cho $\tilde{S}_n \le C\, \forall n\in \mathbb{N}$ thì  $\{\tilde{S}_n\}$ là dãy tăng và bị chặn. Do đó, nó hội tụ.

 

Kiểm tra i): 

Vì $\{\tilde{S}_n\} $ hội tụ nên bản thân nó là dãy Cauchy. Do đó, với $\epsilon>0, \exists N_{\epsilon}\in \mathbb{N}$: 

\[|\tilde{S}_n-\tilde{S}_m| \le \epsilon\forall m, n \ge N_{\epsilon}.\]

Hơn nữa, theo BĐT trị tuyệt đối, ta có $|S_n-S_m| \le |\tilde{S}_n-\tilde{S}_m|\, \forall m, n\in \mathbb{N}.$

 

Vì thế $\{S_n\}$ là dãy Cauchy trong không gian 'đầy đủ' $\mathbb{R}$. Do đó, $\{S_n\}$ hội tụ.

 

Áp dụng: $a_{n}=x_{n+1}-x_n\, \forall n\in \mathbb{N}$. Khi đó $\{S_{n-1}:=x_n-1\}$ hội tụ. Do đó $\{x_n\}$ hội tụ.

 

 

P.S: Ruby có nhiều bài toán hay thế!

Còn cách nào khác không ạ?
Chứ lúc học phần này e đã đc học về Chuỗi số đâu :<<<