TenLaGi

Đây là đề thi tuyển sinh vào 10 môn toán chuyên tỉnh Quảng Nam năm 2014

 Ý a : bài 251 sách Nâng cao và phát triển của Vũ Hữu Bình

Ý b : lấy P đối xứng với M qua AB

        lấy Q đối xứng với M qua AC

  suy ra B'C' là đường trung bình tam giác PQM

 Gọi B'C' giao MH tại E

Ta có:  $\frac{ME}{MH}=\frac{MC'}{MP}=\frac{1}{2}$

Từ đó suy ra E là trung điểm MH (ĐPCM)

Bài toán này khá phức tạp. Quan trọng là phải tìm được dấu = xảy ra khi nào.

Từ giả thiết ta suy ra $4y^2< 60$ và$3z^2< 60$ hay $y^2< 15 ; z^2< 20$

 Ta coi đẳng thức $5x^2+4y^2+3z^2+2xyz =60$ như 1 phương trình bậc 2 ẩn x

Khi đó $x=\frac{-yz+\sqrt{(15-y^2)(20-z^2)}}{5}$

              $\leq \frac{-yz +\frac{1}{2}(15-y^2+20-z^2)}{5}$

              $= \frac{35-(y+z)^2}{10}$

Từ đó suy ra $x+y+z\leq \frac{35-(y+z)^2+10(y+z)}{10}=\frac{60-(y+z-5)^2}{10}\leq 6$

Dấu ''='' xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} & x=1 & & \\ &y=2 & & \\ &z=3 & & \end{matrix}\right.$

Cho $x,y\in N$ thỏa mãn x+y=2003 . Tìm min , max của A= x!+y!

 

$\frac{(x+y)^2}{x^2+y^2}$ + $\frac{(x+y)^2}{xy}$ = $3$ + $\frac{2xy}{x^2+y^2}$ + $\frac{x^2+y^2}{xy}$ = $3$ + $\frac{2xy}{x^2+y^2}$ + $\frac{x^2+y^2}{2xy}$ + $\frac{x^2+y^2}{2xy}$ $\geq$ $3$ + $2$ + $1$ = $6$

(Áp dụng BĐT AM-GM)

$Dấu$ = tại $a$ = $b$

 

Dấu  = tại x=y chứ a,b đâu ra

Ta có:$\widehat{NEH}=\widehat{EMN}=\widehat{EON}$

Mà$\widehat{EON}+\widehat{ENO}=90^\circ$

Suy ra NO vuông góc với EF 

 Mặt khác:$\widehat{NEH}=\widehat{NOF};\widehat{EMN}=\widehat{EON}$ (góc nội tiếp cùng chắn 1 cug)

$\Rightarrow \widehat{EON}=\widehat{NOF}$

 Suy ra tam giác EOF có đường cao đồng thời là phân giác 

 $\Rightarrow \Delta EOF$  cân tại O

$\Rightarrow ON$  là trung trực của EF hay E đối xứng với F qua NO

$\Rightarrow \widehat{NEO}=\widehat{NFO}=90^\circ$

Vậy NF là tiếp tuyến của (O)

Câu b chắc chắn sai đề. Bạn xem lại nhé

c,Ta có: CE//AM vì cùng vuông góc với MO

Suy ra $\widehat{FCI}=\widehat{MAI}$

Mà MANI nội tiếp suy ra $\widehat{FNI}=\widehat{MAI}$

Suy ra $\widehat{FCI}=\widehat{FNI}$

Suy ra CFIN nội tiếp (ĐPCM)

Đỡ tốn time nên mình ko ghi kí hiệu góc nhé~

b,Vì AMC là góc tạo bởi tiếp tuyến và day cung suy ra AMC =ADM=1/2 sđ cung MC

Suy ra $\Delta AMC$~$\Delta ADM$(g.g)

Suy ra $ AC.AD=AM^2$

 Mặt khác tam giác AMO vuông tạo M có MH là đường cao

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông suy ra $AH.AO=AM^2$

 Suy ra AC.AD=AH.AO

 Suy ra CHOD nội tiếp

Chứng minh phương trình sau ;

 

a)    a^{2}x^{2}+(a^{2}+b^{2}-c^{2})x+b^{2}=0 vô nghiệm với mọi a,b,c >0

b)  (x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0  có nghiệm với mọi a, b, c 

Bài 2:

Ta viết lại PT: $ 3x^2-2(a+b+c)x+ab+bc+ca=0$

Xét $\Delta ^,=(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)$

Mà $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\Rightarrow (a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)$

Suy ra $\Delta^, \geq 0$

Vậy nên PT có nghiệm với mọi a,b,c

Câu a nếu thay a =c=1;b=2 thì PT có nghiệm x=-2 mà

Xem lại đề bài đi bạn

Bài 77:

a,Ta có : $\widehat{ENC}=\widehat{PNA }=\frac{180^\circ -\widehat{BAC}}{2}$

Mặt khác: $\widehat{COE}=180^\circ -\widehat{BOC}=180^\circ -(180^\circ -\frac{\widehat{ABC}}{2}-\frac{\widehat{ACB}}{2})=\frac{180^\circ -\widehat{BAC}}{2}$

Suy ra $\widehat{COE}=\widehat{CNE}$$\Rightarrow CONE nội tiếp$ 

$\Rightarrow \widehat{OEN}=\widehat{OCA}$

b,Vì OCEN nội tiếp $\Rightarrow \widehat{OEC}=\widehat{ONC}=90^\circ =\widehat{OPB}=\widehat{OFB}$

Suy ra BFEC nội tiếp

c,Kẻ đường kính OI .Vì E thuôc đường tròn đường kính OI $\Rightarrow \widehat{OEI}=\widehat{OEC}=90^\circ$

Suy ra I,E,C thẳng hàng.

Mặt khác:$\widehat{OIE}=\widehat{OFE}$ do OFIE nội tiếp

$\widehat{BFP}=\widehat{BCE}$ do BFEC nội tiếp

Mà $\widehat{BFP}+\widehat{OFE}=90^\circ$

Suy ra$\widehat{OIE}+\widehat{BCI}=90^\circ$

suy ra OI vuông góc với BC

Mà OM vuông góc với BC

Suy ra O,M,K thẳng hàng 

Dưới mẫu là x^2 nha. Đây là đề thi ĐH KHTN vòng 2 năm 2k11-2k12

Cho ab+cb+ca+abc$\leq 4$.CMR $ a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq 2(ab+bc+ca)$$

Đề phải là $\leq \sqrt{3}$ chứ bạn

Áp dụng Bunhiacopxki:$\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right )^2\leq 3(a+b+c)=3\Rightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq \sqrt{3}$