Tìm kiếm
Nam
Gửi bởi
Chưa hẳn vì đoạn chứng minh $(x;y)=1$ của bạn chưa rõ ràng lắm. Nhưng cảm ơn bạn vì đoạn chứng minh bạn đã gợi ý cho mình.
My solution.
Đầu tiên ta chứng minh $(x;y)=1$. Thật vậy
Ta có $(x^{2}+y^{2}) \mid (x^{3}+y) \Rightarrow (x^{2}+y^{2}) \mid (x^{3}+xy^{2}+y-xy^{2})$
$\Rightarrow (x^{2}+y^{2}) \mid [y(xy-1)]$
Gọi $(x;y)=d \Rightarrow x=dx_{1} , y=dy_{1}$ và $(x_{1};y_{1})=1$
Ta có $d^{2}(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}) \mid y_{1}d(d^{2}x_{1}y_{1}-1)$
$\Rightarrow d(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}) \mid y_{1}(d^{2}x_{1}y_{1}-1)$
$\Rightarrow d \mid y_{1}(d^{2}x_{1}y_{1}-1)$
Mà $(d^{2}x_{1}y_{1}-1 ; d) =1$ suy ra $d\mid y_{1}$Tương tự với giả thiết $x^{2}+y^{2} \mid (y^{3}+x)$ thì ta cũng có được $d\mid x_{1}$Từ đó suy ra $d=1$ vì $(x_{1};y_{1})=1$ cho nên $(x;y)=1$Suy ra $(x+y;x^{2}+y^{2})=1$Lại có $(x^{2}+y^{2})\mid x(xy-1)$ và $(x^{2}+y^{2}) \mid y(xy-1)$$\Rightarrow x^{2}+y^{2} \mid (x+y)(xy-1)$$\Rightarrow x^{2}+y^{2} \mid (xy-1)$ (Vì $(x+y;x^{2}+y^{2})=1$)i) Xét $xy=1$ thì dễ suy ra nghiệm
ii) Xét $xy \not{=} 1$ thì $ \left | xy-1 \right |\geq \left | x^{2}+y^{2} \right |$
$\Rightarrow \left | xy-1 \right |\geq \left | 2xy \right |$
- Xét $xy>1$ suy ra $xy-1 \geq 2xy \Rightarrow -1\geq xy$ (vô lí).
- Xét $xy< 1$ suy ra $1-xy \geq -2xy \Rightarrow 1+xy \geq 0 \Rightarrow xy\geq -1$
$\Rightarrow xy=0$ hoặc $xy=-1$ đến đây dễ suy ra nghiệm.
Tóm lại bài toán có các nghiệm nguyên $(x;y)$ là $(1;1) ; (-1;1) ; (1;-1) ; (0;1) ; (1;0)
Suy nghĩ lại mình thấy chỗ bôi đỏ đó không đúng vì với $x,y$ là số lẻ thì $x+y$ và $x^2+y^2$ vẫn có ước là 2. 
- NHoang1608 yêu thích
