MarkGot7

Bài 136: Cho đồ thị hàm số $(P): y= x^{2}$

 Lấy 3 điểm $M(a;a^{2}); N(b;b^{2});P(c;c^{2}) \epsilon (P)$

thỏa mãn: $a^{2}-b= b^{2}-c= c^{2}-a.$ Tính giá trị của biểu thức:

 $P= (a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)$

Bài 56: Giải phương trình:

        $2x+1+x\sqrt{x^{2}+2}+(x+1)\sqrt{x^{2}+2x+3}=0$

Bài 31: Giải hệ phương trình:

      $\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}= xy\sqrt{2(x^{2}+y^{2})} & \\ 4\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}= 9(y-1)\sqrt{2x-2}& \end{matrix}\right.$

bạn xem lại đoạn này vì chia 2 thì còn là $3\sqrt{x^2+x-2}$

https://i.pinimg.com...2580335ba33.jpg 

Bài 17: Giải phương trình:

          $x+\sqrt{17-x^{2}}+x\sqrt{17-x^{2}}=9$

Bài 92: Cho $a+b+c=3$ và $a,b,c> 0$ . C/m:

      $\frac{a}{b^{2}c+1}+\frac{b}{c^{2}a+1}+\frac{c}{a^{2}b+1}\geq \frac{3}{2}$

Bài 108: Giải phương trình:

  $\frac{x+1}{\sqrt{x}}+ \frac{4(y-1)\sqrt[3]{y-1}+4}{\sqrt[3]{(y-1)^{2}}}= 10$

Bài 92: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

                            $x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz= 20$

Bài 93: Một tam giác có số đo các đường cao là số nguyên dương và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1. C/m Tam giác đó đều.

ĐK: $0\leq x\leq 3$

 $\sqrt{\sqrt{3}-x}= x\sqrt{\sqrt{3}+x}$

$\Leftrightarrow \sqrt{3}-x= x^{2}\sqrt{3}+x^{3}$

$\Leftrightarrow x^{2}\sqrt{3}+x^{3}+x-\sqrt{3}=0$

$\Leftrightarrow x^{3}+3\frac{1}{\sqrt{3}} x^{2}+3\frac{1}{3}x+\frac{1}{3\sqrt{3}}= \frac{10}{3\sqrt{3}}$

$\Leftrightarrow \left ( x+\frac{1}{\sqrt{3}} \right )^{3}=\frac{10}{3\sqrt{3}}$

$\Leftrightarrow x+ \frac{1}{\sqrt{3}}= \sqrt[3]{\frac{10}{3\sqrt{3}}}$

$\Leftrightarrow x+\frac{1}{\sqrt{3}}= \frac{\sqrt[3]{10}}{\sqrt[3]{(\sqrt{3})^{3}}}$

$\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt[3]{10}-1}{\sqrt{3}}$ ( t/m)

Mình cần bạn MarkGot7 kiểm tra xem đề có lỗi không!

Ở đây ta thấy a₁=1 nên có thể a₀=1 hoặc a₀=0

Nếu a₀=1 thì a₃=2 , a₄=0 và a₅=5 nhưng khi đó 4a₃a₅+1 = 4*2*5+1=41 không phải là scp

Nếu a₀=0 thì a₃=a₄=0, a₅=7, a₆=1 và a₇=-6 => 4a₅a₇ +1=-187 không phải scp 

Hơn nữa bài này thiên về đại số nhiều hơn

Ta chứng minh $a_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$ với mọi n thuộc $\mathbb{Z}^{+}$ bằng quy nạp:

  Với n=1 thì: $a_{1}= 1$ ( đúng với giả thiết).

Giả sử khẳng định trên đúng với mọi $n=k$

Xét $n= k+1$ ta có: $a_{k+1}= 2a_{k}- a_{k-1}+ 1= 2\frac{k(k+1)}{2}- \frac{k(k-1)}{2}+1$

                                               $= \frac{2k^{2}+ 2k-k+k-2}{2}= \frac{(k+1)(k+2)}{2}$

$\Rightarrow$ Khẳng định đúng với mọi $n= k+1$ .

$\Rightarrow A_{n}= 4a_{n}a_{n+2}+1= \frac{4n(n+1)}{2}+\frac{(n+2)(n+3)}{2}+1$

                              $= n(n+1)(n+2)(n+3)+1 \Rightarrow A_{n}= (n^{2}+3n+1)^{2}$ $\rightarrow$ đpcm

P/S: Mình không biết bạn làm theo cách nào mà liên quan đến $a_{0}$ . Còn theo như cách của mình thì đề như vậy là ổn. Nếu được, bạn có thể nói ra cách làm của bạn được không, để cho mình xem với !!^^

Bài 36: Cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=4.CMR:

$\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3}>2\sqrt{2}$

Nguồn: Đề thi tuyển sinh tỉnh Vĩnh Phúc 2012-2013

https://i.pinimg.com...7e4a089987e.jpg

 Nhân cả hai vế với $\sqrt{2}$ , ta được:

  $\sqrt[4]{4a^{3}}+ \sqrt[4]{4b^{3}}+ \sqrt[4]{4c^{3}}> 4$ (*)

$\Rightarrow$ Cần chứng minh (*):

 Vì $a+b+c=4 \Rightarrow VT\doteq \sqrt[4]{(a+b+c)a^{3}} + \sqrt[4]{(a+b+c)b^{3}} + \sqrt[4]{(a+b+c)c^{3}}$

Vì $a, b,c > 0$ $\Rightarrow$ VT $> \sqrt[4]{a^{4}}+ \sqrt[4]{b^{4}}+ \sqrt[4]{c^{4}} \doteq a+b+c\doteq 4= VP \Rightarrow (*)\Rightarrow$

đpcm

Bài 50: Xét dãy số: $a_{1}= 1; a_{2}= 3; a_{n+2}= 2a_{n-1}- a_{n}+1$ với $n= 2, 3, 4,...$ . Chứng minh: Số $A= 4a_{n}a_{n+2}+1$ là số chính phương với mọi $n\geq 2$ 

Bài 31: Tìm tất cả các số nguyên tố p có dạng $p= n^{n}+1$ ( n là một số nguyên dương). Biết p có không nhiều hơn 19 chữ số.

Bài 32: Cho n lá số tự nhiên. Đặt $A= 2+ 2\sqrt{28n^{2}+1}$ . Chứng minh rằng: Nếu A là số nguyên thì A là SCP

Bạn ơi dấu | này là gì vậy?

Mình nghĩ là dấu chia hết đó bạn.

Bài 19: Giải phương trình nghiệm nguyên: 

 a, $x_{1}^{4}+ x_2^{4}+...+ x_{14}^{4}= 1599$

b, $x^{4}y^{3}(y-x)=x^{3}y^{4}- 216$ ( Nguồn: Đề Olympic Áo 2012)

Bài 20: Giả sử p là số nguyên tố sao cho cả hai nghiệm của phương trình:

$x^{2}+px-444p= 0$ là các số nguyên. Tìm p và các nghiệm của phương trình.