duylax2412

Bài 3: (Cách giải hoàn toàn cấp 2)
a) Dễ thấy tam giác $AMQ$ cân tại $M$ nên $\widehat{DPQ}=\widehat{DMQ} $ (cùng phụ $\widehat{BAC}$
Nên tứ giác $MPDQ$ nội tiếp. Tương tự $MDNQ$ nội tiếp nên (C) qua $D$ cố định
b) Gọi $J$ là trung điểm $MN$ và $I$ là tậm (C)
Lấy $L$ đối xứng $M$ qua $D$ thì $C$ là trực tâm $LDN$ . Suy ra $JD \bot BC$ và $JD=\frac{LN}{2}=\frac{CD.tanA}{2}$ ( chú ý $\widehat{LDN}=\widehat {A}$)
Nên $J$ cố định. Gọi $K$ là trung điểm $AD$ và $Z$ là trung điểm DJ; X,Y là trung điểm DB,DC
Khi đó $K,I$ đối xứng qua Z. Mà $\widehat{XKY}=\widehat{BAC}$ nên K di động trên đường tron $(T)$ cố định
Nên $I$di động trên đường tròn có tâm đối xứng với tâm đường tròn $(T)$ qua Z cố định

Giả sử n có nhiều hơn 3 ước. Gọi k là ước lẻ lớn nhất của n. Khi đó tồn tại số a|n, a>1 và (a,k)=1 sao cho a+k-1 | n. 

Mà a+k-1 > k $\Rightarrow$ k không phải ước lớn nhất của n (vô lý) 

$\Rightarrow$ n=$k^x$ với k là số nguyên tố lẻ và x là số nguyên dương

Chưa chắc đã tồn tại số a như thế đâu. Ví dụ 45 có ước lẻ lớn nhất là 15 nhưng không có ước nào của nó nguyên tố cùng nhau với 15 (trừ 1)
Giả sử $n$ không là lũy thừa số nguyên tố. Đặt $n=p^{k}.m$ với $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$ , $(m,p)=1$; m>1 ;với q là ước nguyên tố nào đó của m thì q không là ước p-1 $\rightarrow q$ không là ước $p+m-1$.Nghĩa là $(p+m-1,m)=1$

Có $p+m-1 |n \Rightarrow p+m-1 | p^k$ .
$(p+m-1,m)=1 \Rightarrow p+2m-2| p^k$ ( do (p+2m-2,m)=1)

Suy ra $p$ có dạng $2p^s-p^r$ với $s,r >1$ vô lý

Hướng giải : Gọi $C'M $ cắt $A_1A'$ tại $S$. 

Ta có $ \triangle BMA_1 \sim \triangle IAC$ và $\triangle IAC' \sim \triangle ICA'$

Từ đó $\frac{BM}{BA_1}= \frac{IA}{IC}=\frac{AC'}{A'C}=\frac{BC'}{BA'}$ 

Nên $\triangle BMC' \sim \triangle BA_1A'$. Suy ra $\widehat{BA'A_1}=\widehat{BC'S}$ tức S thuộc $(\omega)$

Tương tự $C'M $ cắt $B_1B'$ tại điểm thuộc $(\omega)$ nên có đpcm

Người ta bảo tìm giá trị nhỏ nhất n mà. Lạ thay mình cũng ra $8$??

Gọi các thành viên là $1,2,..,n$ và các ngôn ngữ là $L_1;L_2;...;L_{14}$. Thiết lập bảng vuông $n$ dòng là các thành viên ; $14$ cột là các ngôn ngữ

Điền vào ô $ (L_i;j)$ số $1$ nếu $j$ nói được tiếng $L_i$ và số $0$ trong trường hợp ngược lại. Gọi $d(L_i)$ là số các số 1 điền vào cột $L_i$ ($d(L_i)\leq \frac{n}{2}$)

Mỗi cột có $\binom{d(L_i)}{3}$ bộ ba số $1$. Vậy trên bảng có tối đa $14\binom{\frac{n}{2}}{3}$ bộ ba số $1$ cùng cột

Với $3$ hàng tùy ý, luôn có  một cột có $3$ ô đánh số 1 ứng với ba hàng đó. Nên số các bộ ba ô điền số $1$ cùng cột $\geq$ số bộ ba hàng là $\binom{n}{3}$ Suy ra $\binom{n}{3} \leq 14\binom{\frac{n}{2}}{3} \Rightarrow n \geq 8$

$n=8$ chỉ ra như trên

 

 

Chứng minh bằng quy nạp rằng với mọi số nguyên dương $n$ thì tồn tại $x$ nguyên dương sao cho $3^n| 10^x+2$

Kiểm tra $n=1,2,3$. Giả sử với $n$ thì tồn tại $x$ thỏa. Xét $n+1$

Nếu $3^{n+1} | 10^x+2$ thì có đpcm. Xét $3^{n+1}$ không là ước $10^x+2$ thì do $10^x+2$ chia hết $3^n$ nên $10^x+2 \equiv 3^n;2.3^n (mod 3^{n+1})$

Xét hai số $3^{n-2}k$ và $3^{n-2}(k+1)$ trong đó $(k,3)=(k+1,3)=1$

Áp dụng bổ đề $LTE$ thì $v_3(10^{3^{n-2}k} -1)=v_3(10^{3^{n-2}(k+1)} -1)=n$

Do đó $10^{3^{n-2}k} -1;10^{3^{n-2}(k+1)} -1 \equiv 3^n;2.3^n (mod 3^{n+1})$

Mặt khác giả sử $10^{3^{n-2}k} -1 \equiv 10^{3^{n-2}(k+1)}-1 (mod 3^{n+1})$ suy ra $ 10^{3^{n-2}}-1$ chia hết $3^{n+1}$

Vô lý vì $v_3(10^{3^{n-2}} -1)=n < n+1$. Vậy $10^{3^{n-2}k} -1;10^{3^{n-2}(k+1)} -1$ nhận các số dư $mod 3^{n+1}$ khác nhau và thuộc $3^n;2.3^n$. 

Nếu $10^x+2 \equiv 3^n (mod 3^{n+1})$. Chọn $d=3^{n-2}k$ nếu $10^{3^{n-2}k} -1 \equiv 2.3^n (mod 3^{n+1})$ hoặc $d=3^{n-2}(k+1)$ nếu $10^{3^{n-2}(k+1)} -1 \equiv 2.3^n (mod 3^{n+1})$

Lúc đó $2(10^d-1) \equiv 4.3^n \equiv 3^n.10^d (mod 3^{n+1})$. Đặt $x'=x+d$

Từ $10^x+2 \equiv 3^n (mod 3^{n+1})$ suy ra $10^{x'}+2.10^d \equiv 3^n.10^d \equiv 2(10^d-1) (mod 3^{n+1})$

Suy ra $10^{x'}+2 $ chia hết $3^{n+1}$

Nếu $10^x+2 \equiv 2.3^n (mod 3^{n+1})$. Chọn $d=3^{n-2}k$ nếu $10^{3^{n-2}k} -1 \equiv 3^n (mod 3^{n+1})$ hoặc $d=3^{n-2}(k+1)$ nếu $10^{3^{n-2}(k+1)} -1 \equiv 3^n (mod 3^{n+1})$ thì lý luận như trên cũng ra

Tóm lại theo quy nạp , nhận xét chứng minh .

Quay lại bài toán , tồn tại $k$ sao cho $3^{2017} |10^k+2| 3.10^k+6$

Dễ thấy tổng các chữ số $3.10^k+6$ là $9$