duylax2412

Cho đường tròn $(O)$ và dây $AB$ cố định. Gọi $C$ là điểm chính giữa cung $AB$.Đường thẳng $(d)$ thay đổi qua $C$ cắt tiếp tuyến tại $A$ và $B$ lần lượt ở $D$ và $E$.$AE$ cắt $BD$ tại $Q$ và đường thẳng $(d)$ cắt $(O)$ tại $P$ Chứng minh $PQ$ luôn đi qua 1 điểm cố định khi $d$ thay đổi  (dễ đoán là trung điểm AB nhưng chưa tìm ra cách chứng minh  )

Cho tam giác nhọn $ABC$ có tâm đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $AB,AC,BC$ tại $P,Q,R$.$H$ là giao điểm $PQ$ và $IR$,$M$ là giao điểm $AH$ và $BC$.Hãy chứng minh:$(AB+AC)AH=2.AM.AQ$

Ghi chú:bài này là do đứa bạn hỏi nhưng mình (em) giải bằng tứ giác nội tiếp nên nó không chấp nhận,Mong mọi người giải bằng kiến thức học kì 1 lớp 9

I)Bất đẳng thức với số nguyên tố:

1)Cho $n$ là số nguyên dương.Kí hiệu $\pi(n)$ là số các số nguyên tố không vượt quá $n$.Chứng minh rằng $\forall n\geq 14$ thì ta có bất đẳng thức $\pi(n) \leq \frac{n}{2}-1$.

2)Gọi $P_n$ là tích tất cả các số nguyên tố $\leq n$.Chứng minh rằng:$P_n <4^n$.

II)Bất đẳng thức với tính chia hết

1) Cho $n$ là số tự nhiên sao cho $2003!$ chia hết $5^n$.Chứng minh:$n\leq 499$

2) Cho $n>1$ là số tự nhiên sao cho $(n+1)(2n+1)$ chia hết cho $6$ và được thương là số chính phương.Chứng minh rằng $ n\geq 337$

Cho ba số tự nhiên:$a,b,c$,Chứng minh rằng:

$a^a.b^b.c^c\geq \frac{(a+b+c)^{a+b+c}}{3}\geq \frac{(b+c)^a(c+a)^b(a+b)^c}{2^{a+b+c}}$

Giả sử hình chữ nhật $ABCD$ được chia thành nhiều hình chữ nhật con sao cho mỗi hình chữ nhật con có ít nhất một cạnh có độ dài là số nguyên.Chứng minh rằng hình chữ nhật $ABCD$ cũng có ít nhất $1$ cạnh có độ dài là số nguyên.