SUPERMAN2000

 Câu 1 :

a ) Đặt $a=2cosA,b=2cosB,c=2cosC$ => $cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosA.cosB.cosC=1$ nên $A,B,C$ là 3 đỉnh của tam giác nhọn

 ta có bdt quen thuộc $cosA+cosB+cosC \leq 3/2 $ nên $a+b+c \leq 3$

 ta có $\sum \frac{a}{\sqrt{(b+2)(c+2)}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum a\sqrt{(b+2)(c+2)}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca+2a+2b+2c}\geq \frac{ab+bc+ca+\frac{2(a+b+c)^2}{3}}{ab+bc+ca+2a+2b+2c}\geq 1$

Ngược dấu rồi bạn

Ý mình 

P4 D2

là sao nghĩ ra ấy

$\frac{2(a^{2}+b)(b^{2}+a)}{(a+b-1)^{2}}\geq \frac{4a+4b-1}{2}$

Làm sao để suy ra bất đẳng thwucs này vậy nhỉ?

Làm sao ta có được bất đẳng thức này vậy?

 

Trước hết, ta chứng minh kết quả sau: Với $a,b>0,\ a+b\neq 1$ ta có

$$\dfrac{2(a^2+b)(a+b^2)}{(a+b-1)^2} \geq \dfrac{4a+4b-1}{2}.$$

Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với

$$4(a^3+b^3+a^2b^2+ab)\geq (4a+4b-1)(a+b-1)^2,$$

$$ 4\big[(a+b)^3-3ab(a+b)+a^2b^2+ab\big]\geq 4(a+b)^3-9(a+b)^2+6(a+b)-1,$$

$$ 9(a+b)^2-6(a+b)(2ab+1)+(2ab+1)^2\geq 0,$$

$$(3a+3b-2ab-1)^2\geq 0.$$

Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng, ta có điều phải chứng minh.

 

 

Cái kết quả quen thuộc ấy chứng minh ntn ạ?

Câu 3. a, Do $EF\parallel BC$ nên $\angle FPC=\angle FCE$. Mặt khác dễ thấy $\triangle OCE\sim \triangle BAH$ nên $\frac{OE}{EC}=\frac{BH}{AH}$. Từ đó suy ra $\frac{MH}{HB}=\frac{EC}{EF}$ nên $\triangle FEC\sim \triangle BHM$ (cạnh - góc - cạnh). Do đó $\angle BMQ=\angle FCE=\angle FPC$ nên tứ giác $MQBP$ nội tiếp.

b, Gọi $R$ là giao điểm của $EM$ với $(K)$. Dễ thấy chỉ cần chứng minh tứ giác $RSMT$ điều hòa $\Leftrightarrow P(RMAH)=-1$. Mặt khác do $M$ là trung điểm $AH$ nên ta chỉ cần chứng minh $PR\parallel AH$. Điều này tương đương với chứng minh $\angle PQM+\angle EMQ=180^\circ$.

Do $\angle PQM=90^\circ+\angle BPQ=90^\circ+\angle BMH$ nên ta chỉ cần chứng minh $\angle BME=90^\circ$. Kết quả này quen thuộc!

 

PS

Bài số 2 không biết có nhầm lẫn gì không nhưng nếu xét bậc của đa thức thì suy ra ngay bằng $0$ hoặc $1$ mà?

Em hơi nhầm lẫn, cho em xin lỗi!