Sketchpad3356

Có nhiều nhất bao nhiêu đường tròn có bán kính $\frac{1}{\sqrt{10}-1}$ có thể sắp xếp tiếp xúc ngoài với các đường tròn đơn vị nếu các hình tròn nhỏ không chờm lên nhau?

Bài 1: Cho $a,b,c\geq 0$ sao cho không có hai số nào cùng bằng 0 đồng thời. Chứng minh: 

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+3\sqrt{3}.\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}}\geq \frac{7\sqrt{2}}{2}$

Bài 2: Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx=1$. Tìm $Min$ của: $x^2+y^2+2z^2$

Giải bất phương trình: $2\sqrt{(x-1)^3}+\sqrt{3x^2-2x}\geq \sqrt{6x^3-7x^2+2x}$

Lời giải.

Ta có $\sum \frac{a-bc}{a+bc} =$ $\sum \frac{2a}{a+bc} - 3= \sum \frac{2a}{(a+b)(a+c)} - 3$

Mặt khác $\sum \frac{2a}{(a+b)(a+c)} = \frac{4\sum ab}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Mà $(a+b)(b+c)(c+a) \geq \frac{8}{9} ( ab+bc+ca)(a+b+c) = \frac{8}{9}(\sum ab)$

$\Rightarrow  \frac{4\sum ab}{(a+b)(b+c)(c+a)} \leq \frac{9}{2}$

Suy ra $\sum \frac{2a}{(a+b)(a+c)} - 3=   \frac{4\sum ab}{(a+b)(b+c)(c+a)}- 3 \leq \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2}$

Hay $\sum \frac{a-bc}{a+bc} \leq \frac{3}{2}$.

 

Cái $\sum$ là kí hiệu tổng sigma đối xứng hoặc hoán vị. Nói nôm na là $\sum a = a+b+c, \sum ab = ab+ca+bc$

Ko hiểu

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng:

$\frac{2a^2}{a+b^2}+\frac{2b^2}{b+c^2}+\frac{2c^2}{c+a^2}\geq a+b+c$