NguyenHoaiTrung

Bài IV Giả sử trong $10$ số nguyên dương liên tiếp tồn tai hai số có ước chung lớn hơn $9$.

Gọi $2$ số đó lần lượt là $a_i$ và $a_j$, $(a_i,a_j)=d>9$

$=>a_i - a_j \vdots d $ mà $0<|a_i-a_j| \leq  10, d>9$

=> không tồn tại $a_i, a_j$ thỏa mãn nên  trong 

10 số nguyên dương liên tiếp không tồn tại hai số có ước chung lớn hơn 9

.

Ngày 1

Nguồn: sưu tầm trên facebook

Ngày thi thứ 2:  11 - 9 -2018

Nguồn: facebook abeii gia

Kết quả phân tích $2^{2003} -1$ trên wolfram alpha

Cho $1 = d_1 < d_2 < ... < d_k = n$ là tất cả các ước nguyên dương của số nguyên dương $n$ xếp theo thứ tự tăng dần. Biết rằng $(d_7)^2 + (d_{15})^2 = (d_{16})^2$. Hãy tìm $d_{17}$.

Nguồn: thầy Trần Nam Dũng 

Bài toán đã được chứng minh ở đây https://diendantoanh...3-n3-4-vdots-p/

Ta có $p^2-p+1=a^3$ với $a \in \mathbb{N}, a < p$

$<=> p(p-1)=(a-1)(a^2+a+1)$ mà $a < p => a^2+a+1 \vdots p => a^2+a+1=kp$ 

Thay $a^2+a+1=kp$ vào $<=> p(p-1)=(a-1)(a^2+a+1)$, ta được:

$p-1=k(a-1)$ thay vào $a^2+a+1=kp$, ta được: 

$a^2+a+1=k(ka-k+1)$ Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn $a$ , ta tìm $k$ và sau đó thay vào $p-1=k(a-1)$ để tìm $p,a$

1.Tìm tất cả các đa thức P(x) có hệ số $a_i \in$ {1;-1} có n nghiệm thực phân biệt

2. Tìm $a,b,c \in Z$ sao cho đa thức $P(x)=(x^2+ax+b).Q(x)$ là đa thức có hệ số 1 hoặc -1 (Q(x) là đa thức có hệ số nguyên)

Nguồn:  thầy Phạm Quốc Sang

Nguồn: thầy Võ Quốc Bá Cẩn

https://drive.google...GoZ3nGwbj7/view

Ngày 1

Câu I. Giải hệ phương trình: 

$$\left\{\begin{matrix} x+\frac{x}{2x^2+y^2}=\frac{4}{3} & & \\ y-\frac{y}{2x^2+y^2}=\frac{2}{3} & & \end{matrix}\right. $$

Câu II. Biết rằng $a,b,c$ là ba số tự nhiên thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: 

   i) $a-b$ là số nguyên tố

   ii) $ab+c(a+b)=3c^2$

   Chứng minh rằng $8c+1$ là số chính phương.

Câu III. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} +\frac{1}{c+1} =\frac{3}{2}$ Chứng minh rằng:

$\sqrt{ \frac{a^2+1}{2} } + \sqrt{ \frac{b^2+1}{2} } + \sqrt{ \frac{c^2+1}{2} } + 3 \geq 2( \sqrt{a} + \sqrt{b}+ \sqrt{c}).$

Câu IV 1. Cho tứ giác lồi $ABCD$ có $AB.CD=AD.BC$.

            a) Giả sử $ABCD$ là từ giác nội tiếp và $M$ là trung điểm$BD$. Chứng minh răng $BD$ là phân giác góc $\widehat{AMC}$

            b) Giả sử tứ giác $ABCD$ không nội tiếp. Lấy điểm $P$ thuộc đoạn thẳng $BD$ sao cho $\widehat{PAD}=\widehat{CAB}.$ Chứng minh rằng $BD$ là phân giác $\widehat{APC}.$

       2. Cho hình bình hành $ABCD$ có góc $A$ nhọn. Phân giác góc $\widehat{BAD}$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ tại $P$. $PB,PD$ theo thứ tự cắt $CD,CB$ tại $E,E$. Gọi $J,L$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $PBF,PDE$. Gọi $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $CEF$. Chứng minh $KJ=KL$.

Câu V. CHo $a,b$ là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Xét lưới điểm nguyên trên mặt phẳng tọa độ. Có hai loại bước chuyển, một bước chuyển lọa $A$ là di chuyển từ điểm $(x,y)$ đến một trong $4$ điểm sau: $(x \pm a, y\pm a)$, bước chuyển lọa $B$ di chuyển từ điểm $(x,y)$ đến một trong $4$ điểm sau: $(x \pm b, y \pm b)$. Giả sử ban đầu ta ở vị trị $(0,0)$ ta thực hiện luân phiên các bước chuyển loại $A$ và $B$, bắt đầu từ loại $A$ trước. Hỏi sau một số hữu hạn bước ta có thể đến được những điểm nào trong mặt phẳng. 

Ngày 1

Nguồn: Nguyễn Thành Đạt

https://diendantoanh...-tàu-2017-2018/

Bài 4 khối lớp 10 đã được chứng minh ở đây.