MoMo123

Giải các phương trình nghiệm nguyên

a, x² + xy + y² = x²y²

b, (x + 2)⁴ = y³ + x⁴

c, (x – 1)! + 1 = x² và x > 1

d, 5^x = 1 + 2^y

e, 2x² + 4x = 19 - 3y²

g, x³ - y³ = xy + 8

Mình có cách này không biết có được không 

 

a) $x^{2}+xy+y^{2}=x^{2}y^{2}\Leftrightarrow 4(x^{2}+xy+y^{2})=4x^{2}y^{2}\Leftrightarrow (2x+y)^{2}=y^{2}(4x^{2}-3)$

 

Vì $(2x-y)^{2};y^{2}$ là số chính phương $\rightarrow 4x^{2}-3=a^{2}\rightarrow (2x-a)(2x+a)=3$

Đến đây lập bảng ước  là được

b) khai triển ra ta được 

$8x^{3}+24x^{2}+32x+16=y^{3}$

Xét $y^{3}-(2x+1)^{3}=8x^{3}+24x^{2}+32x+16-(8x^{3}+12x^{2}+6x+1)=12x^{2}+26x+15>0$

 

$\rightarrow y> 2x+1$

 

bằng phương pháp kẹp như trên, ta có thể cm 2x+3>y vậy y=2x+2

đến đây bạn thay vào giải pt ẩn x là được

c) $(x-1)!=(x-1)(x+1)\rightarrow (x-2)!=x+1$ đến đay thì bạn xét x+1|x-2 rồi xét x bằng mấy là được

 

d)  Ta có TC sau : $a^{n}+b^{n}\vdots a+b$  <=> n lẻ

giả sử y lẻ $\rightarrow 2^{y}+1\vdots 3$mà VT không chia hết 3 -> vô lý 

vậy y chẵn đặt y=2k, ta có 

Đến đây ta có 2 trường hợp 

TH1 x=2m+1$\rightarrow 5.25^{m}-1=2^{y}=4^{k}$

 

k=1 -> m=0(tm)

$k\geq 2,$ ta có $25\equiv 1(mod8 )\rightarrow 25^{m}\equiv 1(mod8 )\rightarrow 5.25^{m}-1\equiv 4(mod 8)$

 

Mà VP | 8 -> ktm vậy k=1, m=0

 

TH2: x=2m, ta có : $5^{2m}-2^{2k}=1\Leftrightarrow (5^{m}-2^{k})(5^{m}+2^{k})=1$

đến đây bạn lập bảng ước ra là được

 

Giải phương trình nghiệm nguyên

\[x^{2}y^{2}-x^{2}-7y^{2}=4xy\]

 

mình có cách này không biết có được không 

Trước tiên bạn xét x=0; y=0 trước và kết luận là nghiêm

<=>$x^{2}y^{2}-3y^{2}=x^{2}+4y^{2}+4xy\Leftrightarrow y^{2}(x^{2}-3)=(x+2y)^{2}$

Vì VT là số chính phương, $y^{2}$ là số chính phương , nên $x^{2}-3$ là số chính phương

Đặt $x^{2}-3=a^{2}\Leftrightarrow x^{2}-a^{2}=3\Leftrightarrow (x-a)(x+a)=3$

đến đây bạn lập bảng ước ra là được

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq 2$

Ta có: $\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}\geq \frac{2a}{a+b+c}$(do $\sqrt{a(b+c)}\leq \frac{1}{2}(a+b+c)$)

Tương tự cộng lại thì ta có ĐPCM.

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b,c=0$ và các hoán vị của chúng.

Đề nghị bạn không làm lại bài cũ của TOPIC nữa

cho (x + căn tất cả x²+1)(y+căn tất cả y²+1)=1 tính giá trị của P=x²⁰¹⁷+y²⁰¹⁷

Mình có cách này không biết có được không

Ta có $(x+\sqrt{x^{2}+1})(y+\sqrt{y^{2}+1})=(x^{2}+1)-x^{2}\Leftrightarrow y+\sqrt{y^{2}+1}=\sqrt{x^{2}+1}-x$

 

Ta sẽ suy ra điều tương tự -> P=0 , 

 

P/S : SỬA LẠI TIÊU ĐỀ LẠI ĐI NHÉ BẠN, SẼ BỊ PHẠT ĐÓ

Tiếp nha 

GPT 

$\boxed{\textrm{Bài 9}}$ $\sqrt{x+3}+\sqrt{3x+1}=2\sqrt{x}+\sqrt{2x+2}$

$\boxed{\textrm{Bài 10}}$ $6x^{2}-28x+2=11\sqrt{(x-2)(x^{2}-1)}$

$\boxed{\textrm{Bài 11}}$$2x^{2}-6x- 1=\sqrt{4x+5}$

$\boxed{\textrm{Bài 12}}$ $2x^{2}-11x+21-3\sqrt[3]{4x-4}=0$

P/s : mong các anh chị vào post đề nữa ,em ít đề lắm

Bài 1 ; Cho tam giác ABC có đường cao BH. Chứng minh rằng

a) Nếu BAC>90 độ thì $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2.AB.AC.cosBAC$

b) Nếu BAC>90 độ thì $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}+$2.AB.AC.cos(180^{^{0}}-BAC))$

Mình có cách này ko bt có đc không

Vì geogebra bị lỗi nên chịu khó xem nha bạn

$2AB.AC.cos(\widehat{BAC})=2AB.AC.\frac{AH}{AB}=2AC.AH$

$\rightarrow AB^{2}+AC^{2}-2AB.AC.cos(\widehat{BAC})=AB^{2}+AC^{2}-2AC.AH=AB^{2}+AC(AC-2AH)=AB^{2}+(HC+AH)(HC-AH)=AB^{2}+HC^{2}-AH^{2}=BH^{2}+HC^{2}=BC^{2}$ (đpcm)

1) Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix}3xy=x+y+1 \\ \frac{x^{2}}{(y+1)^{2}}+\frac{y^{2}}{(x+1)^{2}}=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

2) Giải phương trình: $2x+27-4\sqrt{x-3}-7\sqrt{3x-8}=0$

Câu 1) 

Áp dụng bđt $a^{2}+b^{2}\geq 2ab$ , ta có : 

$\frac{x^{2}}{(y+1)^{2}}+\frac{y^{2}}{(x+1)^{2}}\geq \frac{2xy}{(x+1)(y+1)}$

$\Leftrightarrow (x+1)(y+1)\geq 4xy\Leftrightarrow x+y+1\geq 3xy$

Dấu bằng xảy ra -> x=y=1

 

P/s: đúng như bạn didifulls nói , mình chưa bt (x+1)(y+1) dương hay ko nên không được nhân chéo, tốt nhất là trừ sang ntn

$1-\frac{4xy}{(x+1)(y+1)}\geq 0\Leftrightarrow \frac{x+y+1-3xy}{(x+1)(y+1)}\geq 0$

Tiếp theo thì làm như cũ

Cho số thực a >= 2. Cm:

$\frac{1}{a^{2}-a}+\frac{1}{a^{2}+a}+\frac{1}{a^{2}-1}\geq \frac{9}{a^{3}+2a+1}$

Mình nghĩ là không xảy ra giấu bằng bạn ạ :

 

VT= $\frac{3}{(a-1)(a+1)}> \frac{9}{a^{3}+2a+1}$

$\Leftrightarrow 3(a^{2}-1)< a^{3}+2a+1$
$\Leftrightarrow a(a-1)(a-2)+4> 0$

$1) 2^{2x}-\sqrt{2^{x}+6}=6$

$2) 27^{x}+2=3\sqrt[3]{3^{x+1}-2}$

$3)3^{x+1}-2x.3^{x}=3$

$4)2^{x^{2}-x}+12^{x^{2}-x}=2.7^{x^{2}-x}$

 

3)

 $3^{x+1}-2x.3^{x}=3\Leftrightarrow 3^{x}(3-2x)=3\rightarrow 3\vdots 3^{x}\rightarrow x\leq 1$

Đến đây xét x là được 

4) $2^{x^{2}-x}+12^{x^{2}-x}=2.7^{x^{2}-x}$

$\Leftrightarrow 2^{x^{2}-x}(6^{x^{2}-x}+1)=2.7^{x^{2}-x}$

Xét x=0 -> Là nghiệm của PT

Xét x=1-> là nghiệm của PT

Xét x>1, ta có :$2^{x^{2}-x}(6^{x^{2}-x}+1)=2.7^{x^{2}-x}\vdots 7$

Vì 2$^{x^{2}-x}$ không chia hết 7

$\Leftrightarrow 6^{x^{2}-x}+1\vdots 7$

 Ta có T/c sau : $a^{n}+b^{n}\vdots a+b$

$\Leftrightarrow$ n lẻ 

Mà $x^{2}-x$ luôn chẵn nên $6^{x^{2}-x}+1$ không chia hết 7 

Vậy PT có nghiệm là 0;1

Câu 1: Cmr:$(x+y)^{2}-xy+1\geq (x+y)\sqrt{3}$ với mọi $x,y\epsilon \mathbb{R}$

Câu 2: Cho $x,y,z\geq 0;x^{2}+y^{2}+z^{2}\neq 0$ t/m: $\frac{16}{x+24}+\frac{25}{y+16}+\frac{9}{z+4}\leq 1.$ Tìm GTNN:$P=x+y+z+\frac{1}{x+y+z}$

Mình có cách này không biết có đúng không

Áp dụng bđt phụ $xy\leq \frac{(x+y)^{2}}{4}$

 

$\rightarrow (x+y)^{2}-xy+1\geq (x+y)^{2}-\frac{(x+y)^{2}}{4}+1= \frac{3(x+y)^{2}}{4}+1\geq 2\sqrt{\frac{3(x+y)^{2}}{4}}=|x+y|\sqrt{3}$

Xét $x+y< 0\rightarrow VT>0;VP<0$ -> Bất đẳng thức được CM

Xét $x+y\geq 0$ -> đpcm

2)

Áp dụng bất đẳng thức Caushy Swarch , ta có $1\geq \frac{16}{x+24}+\frac{25}{y+16}+\frac{9}{z+4}\geq \frac{(4+5+3)^{2}}{x+y+z+44}=\frac{144}{x+y+z+44}$

$\rightarrow x+y+z\geq 100$

 

$P=\frac{x+y+z}{10000}+\frac{1}{x+y+z}+\frac{999(x+y+z)}{10000}\geq ...$

 

• Tìm các số nguyên a,b sao cho đa thức
• A(x)=x⁴-3x³+ax+b chia hết cho đa thức B(x)=x²-3x+4

 

 

 

A(x)=$x^{2}(x^{2}-3x+4)-3(x^{2}-3x+4)-(x^{2}-(a-9)x-(b+12))$

$\rightarrow x^{2}-(a-9)x-(b+12)|x^{2}-3x+4$

$\Leftrightarrow a-9=3; b+12=-4$

$\Leftrightarrow a=12;b=-16$

Phương pháp 2: Tạo ra dạng$A^{2}\pm B^{2}=0$

 

$\boxed{\textrm{Bài 5}}$ : GPT  $x^{2}+x-6=4\sqrt{x+3}$

$\boxed{\textrm{Bài 6}}$: GPT $5x^{2}-x+4=4x\sqrt{x+3}$

$\boxed{\textrm{Bài 7}}$: GPT $x^{2}+4x=\sqrt{x+6}$

$\boxed{\textrm{Bài 8}}$: GPT $3x^{2}-13x+8=2x\sqrt{x+1}$

mình cảm ơn bạn đã làm nhưng bạn có thể bỏ ra vài giây nữa để làm rõ hơn đc k mình k hiểu lắm 
bạn làm thì mình cảm ơn nhưng k làm cx k sao 

thế này nha vì x,y nguyên $\rightarrow (x+1)^{2};(y-2)^{2}$ là các số chính phương

$\rightarrow (x+1)^{2}+(y-2)^{2}$ là tổng 2 số chính phương , mà 15 không là tổng 2 số chính phương nào nên không có x,y nào TM

 

P/s: chú ý cách đặt tiêu đề nha bạn, bị phạt đó

Đề bài : 

           Tìm x,y

   x²+y²+2x-4y-10=0       Với x,y nguyên dương

PT <=> $(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=15$

Đến đây bạn lấy 15 là tổng của những số chính phương nào sau đó sẽ giải được x,y

      Cho $a,b, c> 0$ và a+b+c=3. Chứng minh rằng :

Đặt M=        $\frac{a^{3}}{(2a^{2}+b^{2})(2a^{2}+c^{2})}+\frac{b^{3}}{(2b^{2}+c^{2})(2b^{2}+a^{2})}+\frac{c^{3}}{(2c^{2}+a^{2})(2c^{2}+b^{2})}\leq \frac{1}{3}$

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có

$(2a^{2}+b^{2})(2a^{2}+c^{2})=(a^{2}+a^{2}+b^{2})(c^{2}+a^{2}+a^{2})\geq (ab+a^{2}+ab)^{2}=a^{2}(a+b+c)^{2}=9a^{2}$

Tương tự với các biểu thức dưới mẫu khác -> ta có

$\rightarrow M\leq \frac{a^{3}}{9a^{2}}+\frac{b^{3}}{9b^{2}}+\frac{c^{3}}{9c^{2}}=\frac{a+b+c}{9}=\frac{1}{3}$