taconghoang

Cách của mình:

Dễ thấy CK vuông góc với AK(1)

Ta có: ABC đồng dạng với SHA(g.g)

=> AHC đồng dạng với SMA (c.g.c)

=> CH vuông góc với AM(2)
từ 1 và 2 suy ra A, K, M thẳng hàng

Hình như nó thiếu thiếu kiểu gì ấy  

AK giao HS tại M'

Có : $HM'$\bigtriangleup BHK \sim \bigtriangleup AM'S (g.g) \Rightarrow M'A=\frac{HK.HB}{AM}$=\frac{HK.AM'}{AH}$

Mặt khác : tg BHK~tgAM'S (g.g) => M'S=HK.HB/AM=HK.AH/AM=M'H => M trùng M' => thẳng hàng

Cộng góc thôi bạn à

Lấy G trên AD sao cho AE=AG => DG=EB và $\widehat{EGD}=\widehat{EBF}=135^{\circ}$

Mà $\widehat{GDE}=\widehat{BEF}=90^{\circ}-\widehat{AED}$

Nên $\bigtriangleup DGE =\bigtriangleup EBF$ => đpcm

Viết n+1 số đã cho dưới dạng : 

$a_{1}=2^{k_{1}}b_{1}, a_{2}=2^{k_{2}}b_{2},...,a_{n+1}=2^{k_{n+1}}b_{n+1}$

trong đó b1,b2,...,bn+1 là các số lẻ. Ta có $1\leq b_{1},b_{2},...,b_{n+1}\leq 2n-1$

Mà trong khoảng từ 1 đến 2n-1 có n số lẻ nên tồn tại 2 số p khác q sao cho $b_{p}=b_{q}$

Khi đó $a_{p}$ và $a_{q}$ có 1 số là bội của số kia

Chứng minh rằng trong n+1 số bất kỳ thuộc tập hợp {1,..2n} luôn chọn được 2 số mà số này là bội của số kia

Bài 2 : d) Dễ dàng cm đc MS vuông FO mà TV cũng vuông FO nên T , M, S, V thẳng hàng => TV, MS, FH đi qua trung điểm của FH

Bài 1 : c) chu vi APQ=2AB = ... (tự tính AB nha)

d) Vẽ OF vuông MD cắt BC tại K'

Ta có : OK=$\frac{R^{2}}{OF}$ ( K là giao điểm của 2 tt từ M với D)

Mà : $\bigtriangleup AFO\sim \bigtriangleup K'HO(g.g) \Rightarrow \frac{OK'}{AO}=\frac{HO}{OF} \Rightarrow OK'=\frac{AO.HO}{OF}=\frac{OC^{2}}{OF}=\frac{R^{2}}{OF}$

Mặt khác K và K' cùng nằm trên tia OF nên suy ra K trùng K' hay K,B,C thẳng hàng 

Kẻ các đường cao AD,BE,CF

Ta có : $\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=cos^{2}A$

Tương tự ta có : $cos^{2}B=\frac{S_{BDF}}{S_{ABC}}; cos^{2}C=\frac{S_{CDE}}{S_{ABC}}$

Cộng lại => đpcm

<Hình ảnh>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                              KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 

          QUẢNG NGÃI                                                      NĂM HỌC 2017-2018

                                                                                       Môn thi: Toán 

                                                                  Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 : (4 điểm) 

       Câu 1 : Cho A = $\frac{15\sqrt{x}-11}{x+2\sqrt{x}-3}$-$\frac{3\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}$-$\frac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}$

             a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn A

             b) Tìm giá trị lớn nhất của A

       Câu 2 : Tìm số dư của phép chia $3^{6}+3^{8}+3^{2016}$ cho 91 

Bài 2 : (4 điểm)

       Câu 1 : Tìm a,b nguyên dương sao cho $\frac{a^{2}-2}{ab+2}$ là số nguyên dương

       Câu 2 : Cho các số thực x,y thoả mãn $8x^{2}+y^{2}+\frac{1}{4x^{2}}=4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của tích xy

Bài 3 : (2 điểm) Giải phương trình sau : $3\sqrt{x^{3}+8}$ = $2x^{2}-6x+4$

Bài 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{ABC}=60^{\circ}$. Vẽ đường cao AH. Gọi D,E lần lượt là chân đường cao hạ từ H tới AB,AC. Một đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC tại O.

a) Chứng minh : O là trung điểm BC

b) Chứng minh : AD.BD+AE.CE$\leq$$OA^{2}$

c) Trên mặt phẳng bờ BC chứa A vẽ tia Cx sao cho $\widehat{BCx}=20^{\circ}$. Trên tia Cx lấy Q sao cho BC=CQ. Cho BC=CQ=b;BQ=a. Chứng minh $a^{3}+b^{3}=3ab^{2}$

Bài 5 : Cho tam giác ABC nhọn và MNPQ là hình chữ nhật nội tiếp tam giác (M,N$\in$BC,P$\in$AC,Q$\in$AB).

a) Chứng minh khi diện tích MNPQ lớn nhất thì PQ đi qua trung điểm AH là đường cao của tam giác ABC

b) Cho AH=BC. Chứng minh chu vi MNPQ không đổi