Đến nội dung


Nesbit

Đăng ký: 26-12-2004
Online Đăng nhập: Hôm nay, 15:40
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Tính $f \left( \frac{1}{7} \right...

Hôm qua, 23:34

Bài này nếu nhận xét rằng $f(1/2)$ nằm trên đoạn thẳng có hai đầu là $f(0)$ và $f(1)$ thì sẽ thấy ngay $a=1/2$.

 

Nếu đào sâu thêm thì sẽ có nhiều câu hỏi thú vị đấy. Ví dụ, nếu bỏ đi giả thiết $f$ liên tục, thì $f(x) = x$ (trên $[0,1]$) liệu có phải là hàm số duy nhất thoả mãn hay không? Nếu không thì $f(x) = x$ với những giá trị nào của $x$?

 


Trong chủ đề: $\left\{\begin{matrix} ax+by=(x-y)^2...

20-05-2022 - 18:36

Nhân tiện thì, bài này có thể được giải ngắn gọn như sau.

 

Cho a,b,c dương. Giải hệ phương trình ẩn x,y,z

$\left\{\begin{matrix} ax+by=(x-y)^2\\by+cz=(y-z)^2 \\cz+ax=(z-x)^2 \end{matrix}\right.$

 

Cộng phương trình đầu và cuối rồi trừ cho phương trình giữa ta được $ax=(x-y)(x-z)$, suy ra $x(y-z) = -\frac{1}{a}(x-y)(y-z)(z-x)$. Tương tự như vậy ta có hai phương trình nữa, cộng cả ba lại thì được

$$\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)(x-y)(y-z)(z-x) = 0.$$

Nghĩa là ít nhất hai trong ba số $x,y,z$ bằng nhau. Từ đây dễ dàng suy ra 4 nghiệm ở trên.

 

 

Lưu ý là lời giải này có thể giải được bài toán trong trường hợp $a,b,c$ là số thực (không nhất thiết là số dương) thoả mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \neq 0$. Nếu áp dụng lời giải của chanhquocnghiem và Hoang72 ở trên thì có lẽ là cũng rất cồng kềnh đấy.

 

Câu hỏi dành cho các bạn: Giải hệ trên với $a,b,c$ là các số thực bất kì :)


Trong chủ đề: $\left\{\begin{matrix} ax+by=(x-y)^2...

20-05-2022 - 18:27

Từ bài toán ban đầu đưa đến một thảo luận rất hay. Đây cũng là một lỗi sai rất dễ gặp của học sinh. Lúc nào thì có thể giả sử $x\ge y\ge z$? Lúc nào thì chỉ có thể giả sử $x = \max(x,y,z)$? Lúc nào thì không được "giả sử"? 

 

Cần lưu ý là từ "giả sử" có thể được dùng trong nhiều hoàn cảnh khác nhau:

 

1. "Không mất tính tổng quát, giả sử A" : cụm từ "không mất tính tổng quát" là cực kỳ quan trọng, mà có lẽ là trong sách vở hiện nay, hoặc trong các bài giảng, học sinh không được lưu ý một cách cẩn thận, do đó mà thường không viết nó ra (có lẽ là do viết dài quá :D, trong tiếng anh thì chỉ cần ghi là "WLOG", viết tắt của "Without loss of generality") và vô tình cũng bỏ qua luôn ý nghĩa của nó. Việc giả sử như thế này thường được áp dụng khi chứng minh một mệnh đề nào đó, mà nếu A (điều giả sử) là đúng, thì dễ dàng suy ra mệnh đề ban đầu cũng đúng với trường hợp tổng quát.

 

2. "Giả sử" nếu đứng một mình, thì có thể hiểu là "xét trường hợp". Ví dụ khi được dùng trong một chứng minh bằng phản chứng.

 

Trong lời giải của Hoang72, anh hiểu là "giả sử" được dùng theo ý nghĩa của trường hợp 1, tất nhiên là sai. Tuy nhiên, em cũng đã nhận xét là từ đáp án cho trường hợp "$x\ge y\ge z$ có thể dễ dàng suy ra đáp án cho các trường hợp còn lại, như vậy có thể trình bày lại lời giải bằng cách dùng từ "xét trường hợp" thay vì "giả sử", thì sẽ chặt chẽ hơn.

 

Xét trường hợp $x\ge y \ge z$, ta có... Tìm được hai nghiệm thoả mãn là $(a,0,0)$ và $(0,0,0)$.

Tương tự như vậy:

- Nếu $x\ge z\ge y$ thì có hai nghiệm $(a,0,0)$ và $(0,0,0)$.

- Nếu $y\ge x\ge z$: nghiệm $(0,b,0)$ và $(0,0,0)$.

- Nếu $y\ge z\ge x$...

- Nếu $z\ge x\ge y$...

- Nếu $z\ge y\ge x$...

 


Trong chủ đề: Cho $f'(x) \geqslant x + \frac{1}{x...

19-05-2022 - 19:03

Cho rõ hơn nữa thì nên thay câu cuối ở trên thành "đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $g(2) = g(1)$, nghĩa là $g$ là hàm hằng trên đoạn $[1,2]$". Ở các khoảng còn lại thì không nhất thiết là constant, miễn sao $g$ đồng biến và khả vi là được.


Trong chủ đề: Cho $f'(x) \geqslant x + \frac{1}{x...

19-05-2022 - 18:36

$f(2)$ sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi $f'(x)=x+\frac{1}{x},\forall x\in \mathbb{R}^{+}$

 

Dòng này thấy chưa rõ lắm nhỉ, mặc dù đúng nhưng hơi khó hiểu. Có thể Nesbit bỏ qua điều gì đó hiển nhiên, cơ mà mệnh đề này có khi tới cuối lời giải mới thấy được, giống như lời giải bên dưới.

 

Nếu đặt $g(x) = f(x) - \frac{x^2}{2} - \ln x$ thì $g(x)$ đồng biến và do đó $g(2) \ge g(1)$, nghĩa là $f(2) \ge \frac{5}{2}+\ln 2$. Đẳng thức xảy ra khi $g$ là hàm constant, nghĩa là mệnh đề ở trên.