Nesbit

Để xây dựng hàm như vậy thì có thể đi từ những kết quả đơn giản và quen thuộc hơn, ví dụ bắt đầu với một song ánh từ $(0, 1)$ tới $(0,1]$:

$$f(x) = \begin{cases}2x &\mbox{if }x=\frac{1}{2^n} \ (n=1,2\dots),\\ x&\mbox{otherwise}.\end{cases}$$

Từ hàm trên dễ dàng có được một song ánh từ $(-1,1)$ tới $[-1,1]$:

$$g(x) = \begin{cases}2x &\mbox{if }|x|=\frac{1}{2^n} \ (n=1,2\dots),\\ x&\mbox{otherwise}.\end{cases}$$

Từ $g$ dùng một biến đổi affine để shift và rescale lại thành một song ánh $h$ từ $(-1,0)$ tới $[-1,0]$. Kết hợp $f$ và $h$ lại ta có một song ánh từ $(-1, 0)\cup (0,1)$ tới $[-1,1]$. Cuối cùng chỉ cần dùng tiếp một biến đổi affine để chuyển về $(0, 1/2)\cup (1/2,1)$ tới $[0,1]$. 

Thấy có vẻ phức tạp nhưng ý tưởng khá tự nhiên.

em cũng vừa mới biết tỉnh em không tổ chức thi HSG cho khối 10 mà chỉ có 11,12 thôi ạ ,thế nên mọi năm các anh chị toàn thi vượt cấp .Bây giờ nếu muốn em lại phải ôn của cả lớp 11 nữa mà thời gian ko bt đủ hay ko .Mới lại năm nay thi của CT cũ mà bọn e lại học CT mới thành ra cứ loạn hết cả lên. các anh\chị có thể cho e xin lời khuyên nên làm thế nào được không ạ?

Nếu muốn học kiến thức lớp 11 thì em phải cố gắng học hết kiến thức lớp 10 trước em ạ. Chương trình cũ hay mới thì cũng là khác nhau ở sách giáo khoa thôi, còn sách tham khảo anh nghĩ cũng gần như nhau cả (lượng sách tham khảo em cần học nhiều hơn gấp mấy lần sách giáo khoa).

Theo anh thì học vượt cấp chỉ có hại chứ không có lợi nói chung, nhưng đúng là có một số kiến thức của những lớp trên mà em hoàn toàn có thể học từ năm lớp 10. Diễn đàn có Hoang72 cũng vừa mới được vào đội tuyển QG ngay từ năm lớp 10, chắc có thể chia sẻ thêm kinh nghiệm với em.

Nếu em đặt mục tiêu vào đội tuyển QG từ năm lớp 10 thì lại càng phải dành nhiều thời gian để học. Ngoại trừ thời gian ăn uống, ngủ đêm, ngủ trưa, chơi thể thao, thì còn lại cứ tập trung học. Nếu có lên mạng giải toả thì vào diễn đàn chứ đừng đọc báo hay vào FB, TikTok. Hoang72 cũng là một trong những thành viên tích cực nhất hiện tại của diễn đàn. (Lưu ý: Anh nói vậy không phải để diễn đàn có thêm lượt truy cập, diễn đàn không quảng cáo kiếm tiền như những trang khác nên không cần thứ đó. Anh chỉ muốn một người tham gia diễn đàn khi việc đó mang lại lợi ích cho họ, còn nếu không thì anh cũng khuyên là đừng có lên nhiều.)

Mệnh đề. Cho $S\subset\mathbb{R}$ thoả mãn: nếu $x\in S$ thì $nx\in S$ với mọi $n\in\mathbb{Z}$. Khi đó:

$$0 \text{ là điểm giới hạn của } S \iff S \text{ trù mật trong }\mathbb{R}.$$ 

Bài này mình đã đăng trong một thảo luận ở box Olympic (thảo luận ở đó cũng khá hay). Vừa mới nhớ ra nên đăng lại vào đây, phù hợp hơn.

Hệ quả 1. $\mathbb{Q}$ trù mật trong $\mathbb{R}$.

Hệ quả 2. Với mọi $r$ vô tỉ, $\{m+nr: m,n\in\mathbb{Z}\}$ trù mật trong $\mathbb{R}$.

Kết quả ở trên khá đẹp nhưng thực ra không quá mạnh (chẳng hạn, nó không suy ra được $\{2^m 3^n: m,n\in\mathbb{Z}\}$ trù mật trong $\mathbb{R}$). Nếu anh em có hứng thú thì trong topic này chúng ta sẽ cố gắng tìm được tập $S$ tổng quát nhất có thể thoả mãn tính chất ở trên.

Cho dãy hàm số phức $(f_n)$ bị chặn trên tập đếm được $X$. Chứng minh tồn tại một dãy con $(f_k)_{k\in I}$ ($I \subset \mathbb{N}$) sao cho $(f_k(x))_{k\in I}$ hội tụ với mọi $x\in X$.

Lưu ý là với một hàm cụ thể nếu tốc độ đổi dấu không đúng thì cũng không thể làm cho tích phân hội tụ được. Ví dụ như hàm $1/x$ nếu cho đổi dấu chậm quá thì cũng không hội tụ, chẳng hạn thay $\left(\frac{1}{2n+1},\frac{1}{2n}\right]$ bằng $\left(\frac{1}{2^{2n+1}},\frac{1}{2^{2n}}\right]$.

Sau đây là kết quả tổng quát hơn mà Nesbit nhắc tới hôm trước. Ý tưởng là chia đoạn $(0,1]$ ra nhiều đoạn nhỏ bằng một dãy số nào đó, rồi cho $f$ đổi dấu liên tục trên các đoạn đó.

Mệnh đề. Cho $(c_n)$ là một dãy số giảm từ $1$ tới $0$ (tức là $c_1 = 1$ và $c_n\searrow 0$). Cho $F$ là một hàm tăng và khả vi trên $(0,1]$ sao cho $F(c_n) - F(c_{n+1}) \searrow 0$, đồng thời $\lim_{x\to 0} F(x)$ không tồn tại (hoặc bằng vô cùng). Khi đó hàm số sau khả tích trên $[0,1]$ nhưng không khả tích tuyệt đối trên $[0,1]$:

\begin{equation}f(x) = \begin{cases} F'(x),&\mbox{nếu } x\in (c_{2n+1},c_{2n}] \\  -F'(x),&\mbox{nếu } x\in (c_{2n},c_{2n-1}] \end{cases}.\end{equation}

Chứng minh cũng rất đơn giản, cứ cộng các tích phân trên từng đoạn nhỏ là ra. Có kết quả này rồi thì ta cứ lấy một dãy $(c_n)$ tiến đến $0$ (ví dụ $c_n=1/n$ ở trên kia), sau đó tìm hàm $F$ thoả mãn điều kiện.

Cách của Hoang72 rất hay! Ở trên bangbang1412 có nhầm chút xíu khi suy ra $Q=0$ thay vì hằng số. 

Vâng em viết nhầm ạ, phải là 1. Tích phân suy rộng loại I là tích phân có cận vô cùng, còn tích phân suy rộng loại II là tích phân trên khoảng hữu hạn mà hàm có điểm kỳ dị trên khoảng này ạ.

Anh check thì thấy đúng như vậy nhưng nhìn lại thấy cận dưới của em là $0$ nên mới hỏi lại để xác minh. Cách phân loại này anh cũng từng đọc trong sách nhưng không bao giờ nhớ nổi, và cũng không hiểu tại sao lại phân ra như vậy. Đối với anh thì hai kiểu này không có gì khác nhau, nhưng có thể anh bỏ sót điều gì đó chăng?

Nếu dùng phép đổi biến $t=1/x$ thì tích phân $\int_{1}^{\infty}\dfrac{\sin{x}}{x}dx$ trở thành $\int_{0}^{1}\dfrac{\sin{(1/t)}}{t}dt$, nên có thể chọn $f(x)=\dfrac{\sin{(1/x)}}{x}$ cho câu hỏi ban đầu của anh. Một điều em thấy hơi lạ là trong các sách giải tích em đọc thì có rất ít ví dụ về tích phân suy rộng loại II.

Đúng là nếu đổi cận thành $1$ thì kết quả ra rất đẹp khi đổi biến. Ví dụ này anh cũng có biết trước khi đăng bài.

Về ý tưởng để giải bài này, thì một cách tự nhiên ta sẽ cố gắng tìm $f$ sao cho $\int |f|$ không bị chặn, đồng thời $f$ đổi dấu liên tục trên $(0, 1]$ để hi vọng khi lấy tích phân của $f$ thì các khoảng sẽ triệt tiêu lẫn nhau. Ví dụ mà vutuanhien đưa ra ở trên cũng là một hàm đổi dấu liên tục như vậy. Nesbit tìm được một ví dụ khác như sau (với $n\ge 1$):

\begin{equation}f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x},&\mbox{nếu } x\in\left(\frac{1}{2n+1},\frac{1}{2n}\right] \\
-\frac{1}{x},&\mbox{nếu } x\in\left(\frac{1}{2n},\frac{1}{2n-1}\right] \end{cases}.\end{equation}

(Trên thực tế thì ví dụ trên không phải mình mò ra ngay mà được chọn ra từ một kết quả tổng quát hơn, mai sẽ đăng tiếp vì bây giờ phải off mất rồi.)

Lâu ngày không động đến mấy cái này nên em cũng chưa nghĩ ra được phản ví dụ nào cho hội tụ có điều kiện kiểu này. Nếu là tính phân suy rộng loại I thì có ví dụ đó là $\int_{0}^{\infty}\dfrac{\sin{x}}{x}dx$. Có lẽ bằng một phép đổi biến có thể đưa tích phân này về tính phân suy rộng loại 2.
 

Định nghĩa loại 1 loại 2 chính xác là thế nào ấy em nhỉ? Tích phân ở trên có vẻ thuộc cả hai vì cận dưới cũng là limit nốt (hoặc có thể em nhầm $1$ thành $0$).

Cảm ơn vutuanhien. Đó đúng là cách kinh điển được trình bày trong nhiều sách (có tác giả dùng $V_n = X\setminus U_n$ thay vì $U_n$ như ở trên, cũng tương đương nhau cả). Cách này cũng rất tự nhiên vì tìm cách xây dựng một phủ mở hữu hạn theo định nghĩa của tập compact.

Cách của anh dùng một tính chất "khác" của tập compact đó là mọi dãy trong $X$ tồn tại một dãy con hội tụ trong $X$.

Đặt $g_n = f_n-f$ như trên thì ta cần chứng minh $g_n$ hội tụ đều về $0$, nghĩa là $M_n\to 0$ với $M_n = \sup_{x\in X}|g_n(x)|$. Vì $X$ compact nên $\sup$ có thể đạt được, tức là tồn tại $x_n\in X$ sao cho $M_n = |g_n(x_n)|$. Vì $g_n\ge g_{n+1}$ và $g_n\to 0$ nên ta có $g_n\ge g_{n+1}\ge 0\forall n$. Lấy $\sup$ ta được $M_n\ge M_{n+1}\ge 0$, nghĩa là $(M_n)$ là một dãy giảm bị chặn dưới bởi $0$, nên nó có giới hạn $L\ge 0$. Ta cần chứng minh $L=0$.

Từ đây trở đi ta chỉ cần làm việc với một dãy con hội tụ $(x_k)_{k\in I}$ của $(x_n)$ (để cho đơn giản ta không cần viết rõ $k\in I$). Giả sử $x_k\to x^*\in X$. Với mọi $\epsilon > 0$, vì $g_n\searrow 0$ nên tồn tại $N$ sao cho $0\le g_N(x^*)\le \epsilon$. Vì $x_k\to x^*$ và $g_N$ liên tục nên tồn tại $p\ge N$ sao cho $|g_N(x_p) - g_N(x^*)| \le \epsilon$. Thế thì $g_N(x_p) \le g_N(x^*)+\epsilon \le 2\epsilon$. Do $g_N\ge g_p$ nên $g_N(x_p) \ge g_p(x_p) = M_p \ge L$. Vậy $L \le 2\epsilon$. Điều này đúng với mọi $\epsilon > 0$ nên $L=0$.

Hi vọng không có chỗ nào sai. Ở trên tính compact của $X$ được sử dụng thêm ở chỗ lấy $\sup$ (ngoài chỗ lấy dãy con hội tụ), nhưng thực ra không cần thiết. Ở bước này không cần $\sup$ phải đạt được mà chỉ cần lấy $x_n$ sao cho $g_n(x_n) \ge M_n - \epsilon$.

Chứng minh tồn tại hàm số $f:(0,1]\to\mathbb{R}$ khả tích trên $[a,1]$ với mọi $a>0$ sao cho

$\lim_{a\to 0} \int_a^1 f(x)dx$ tồn tại nhưng $\lim_{a\to 0} \int_a^1 |f(x)|dx$ không tồn tại.

$(u_{2n})$ và $(u_{2n+1})$ là hai dãy con của $(u_n)$. Giới hạn của $(u_{2n})$ không nhất thiết sẽ đúng cho giới hạn của $(u_n)$.

VTHuan đang nói về giới hạn riêng (subsequential limit) Hân ạ, chứ không phải là giới hạn. VTHuan nói đúng rồi, chắc Hân chưa được học nên thấy lạ.

Ở trên Nesbit dùng thuật ngữ "giới hạn con" do tự dịch, không để ý là VTHuan đã có nhắc đến "giới hạn riêng" rồi. Kiểm tra lại thì thấy đây đúng là thuật ngữ chính thức, nên xin phép sửa lại bài viết ở trên theo thuật ngữ này. 

Giới hạn trên và giới hạn dưới không được học ở cấp phổ thông nên Nesbit đã chuyển chủ đề này vào box Toán đại học.

Theo định nghĩa thì giới hạn trên và giới hạn dưới lần lượt là cận trên và cận dưới của tập hợp các giới hạn riêng (subsequential limits), cho nên phải tồn tại. Cụ thể hơn nữa thì tập hợp các giới hạn riêng khác rỗng: nếu dãy bị chặn thì theo định lý Bolzano–Weierstrass tồn tại dãy con hội tụ, nếu không bị chặn trên hoặc chặn dưới thì lần lượt tồn tại dãy con tiến tới $+\infty$ hoặc $-\infty$. Hi vọng đã trả lời đúng câu hỏi của bạn.

Cho $X$ compact trong một không gian metric và $(f_n)_{n\ge 1}$ là một dãy các hàm số thực liên tục trên $X$, $f_n\to f$ trên $X$ với $f$ liên tục trên $X$, đồng thời $f_n(x) \ge f_{n+1}(x) \forall x\in X,\forall n$. Chứng minh rằng $f\to f_n$ đều (converges uniformly) trên $X$.

Đây là một định lý khá quen thuộc trong giải tích, mình đang ôn lại vài kiến thức cũ nên tình cờ thấy nó. Cách chứng minh của mình khác với trong sách nên thấy có chút thú vị, đăng lên đây để anh em cùng thảo luận, tập chút thể dục đầu tuần cũng hay.

Ngoài ra:

• Không chơi game trên máy tính. Dành thời gian đó đi đá bóng hoặc chơi một môn thể thao mà em thích thì tốt hơn, thậm chí những môn không vận động như cờ vua cũng tốt hơn là chơi game trên máy tính.
• Không lên FB, thời gian đó để sinh hoạt trên diễn đàn, đăng bài, giải bài, thảo luận, hoặc chỉ cần đọc những bài có sẵn trên diễn đàn cũng tốt hơn là lướt FB để đọc những thứ vô bổ. Trên diễn đàn cũng có những bạn cùng lứa với em và cũng có những mục tiêu giống em, ví dụ như KietLW9. Luyện kiếm mà có người luyện cùng thì cũng sẽ hiệu quả hơn.

Chúc em thành công!

Em mua bộ sách Toán nâng cao lớp 10 của NXBGD rồi gắng đọc và làm hết toàn bộ bài tập (bộ sách cần đủ tất cả các môn từ Đại số, Giải tích, Số học, Tổ hợp, Hình học, v.v... đừng thiếu môn nào). Lúc nào xong rồi học tiếp những tài liệu khác cũng không muộn. Đồng thời ăn uống đầy đủ, ngủ ngày 8 tiếng, chơi thể thao hoặc chạy thể dục.

Những anh chị khác có thể khuyên em thêm và cũng có thể khác anh, nhưng nếu anh quay lại lớp 10 thì anh sẽ làm vậy.