Để xây dựng hàm như vậy thì có thể đi từ những kết quả đơn giản và quen thuộc hơn, ví dụ bắt đầu với một song ánh từ $(0, 1)$ tới $(0,1]$:
$$f(x) = \begin{cases}2x &\mbox{if }x=\frac{1}{2^n} \ (n=1,2\dots),\\ x&\mbox{otherwise}.\end{cases}$$
Từ hàm trên dễ dàng có được một song ánh từ $(-1,1)$ tới $[-1,1]$:
$$g(x) = \begin{cases}2x &\mbox{if }|x|=\frac{1}{2^n} \ (n=1,2\dots),\\ x&\mbox{otherwise}.\end{cases}$$
Từ $g$ dùng một biến đổi affine để shift và rescale lại thành một song ánh $h$ từ $(-1,0)$ tới $[-1,0]$. Kết hợp $f$ và $h$ lại ta có một song ánh từ $(-1, 0)\cup (0,1)$ tới $[-1,1]$. Cuối cùng chỉ cần dùng tiếp một biến đổi affine để chuyển về $(0, 1/2)\cup (1/2,1)$ tới $[0,1]$.
Thấy có vẻ phức tạp nhưng ý tưởng khá tự nhiên.
- perfectstrong, nhungvienkimcuong, DOTOANNANG và 2 người khác yêu thích