Nesbit

Bài này nếu nhận xét rằng $f(1/2)$ nằm trên đoạn thẳng có hai đầu là $f(0)$ và $f(1)$ thì sẽ thấy ngay $a=1/2$.

Nếu đào sâu thêm thì sẽ có nhiều câu hỏi thú vị đấy. Ví dụ, nếu bỏ đi giả thiết $f$ liên tục, thì $f(x) = x$ (trên $[0,1]$) liệu có phải là hàm số duy nhất thoả mãn hay không? Nếu không thì $f(x) = x$ với những giá trị nào của $x$?

Nhân tiện thì, bài này có thể được giải ngắn gọn như sau.

Cho a,b,c dương. Giải hệ phương trình ẩn x,y,z

$\left\{\begin{matrix} ax+by=(x-y)^2\\by+cz=(y-z)^2 \\cz+ax=(z-x)^2 \end{matrix}\right.$

Cộng phương trình đầu và cuối rồi trừ cho phương trình giữa ta được $ax=(x-y)(x-z)$, suy ra $x(y-z) = -\frac{1}{a}(x-y)(y-z)(z-x)$. Tương tự như vậy ta có hai phương trình nữa, cộng cả ba lại thì được

$$\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)(x-y)(y-z)(z-x) = 0.$$

Nghĩa là ít nhất hai trong ba số $x,y,z$ bằng nhau. Từ đây dễ dàng suy ra 4 nghiệm ở trên.

Lưu ý là lời giải này có thể giải được bài toán trong trường hợp $a,b,c$ là số thực (không nhất thiết là số dương) thoả mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \neq 0$. Nếu áp dụng lời giải của chanhquocnghiem và Hoang72 ở trên thì có lẽ là cũng rất cồng kềnh đấy.

Câu hỏi dành cho các bạn: Giải hệ trên với $a,b,c$ là các số thực bất kì

Từ bài toán ban đầu đưa đến một thảo luận rất hay. Đây cũng là một lỗi sai rất dễ gặp của học sinh. Lúc nào thì có thể giả sử $x\ge y\ge z$? Lúc nào thì chỉ có thể giả sử $x = \max(x,y,z)$? Lúc nào thì không được "giả sử"? 

Cần lưu ý là từ "giả sử" có thể được dùng trong nhiều hoàn cảnh khác nhau:

1. "Không mất tính tổng quát, giả sử A" : cụm từ "không mất tính tổng quát" là cực kỳ quan trọng, mà có lẽ là trong sách vở hiện nay, hoặc trong các bài giảng, học sinh không được lưu ý một cách cẩn thận, do đó mà thường không viết nó ra (có lẽ là do viết dài quá , trong tiếng anh thì chỉ cần ghi là "WLOG", viết tắt của "Without loss of generality") và vô tình cũng bỏ qua luôn ý nghĩa của nó. Việc giả sử như thế này thường được áp dụng khi chứng minh một mệnh đề nào đó, mà nếu A (điều giả sử) là đúng, thì dễ dàng suy ra mệnh đề ban đầu cũng đúng với trường hợp tổng quát.

2. "Giả sử" nếu đứng một mình, thì có thể hiểu là "xét trường hợp". Ví dụ khi được dùng trong một chứng minh bằng phản chứng.

Trong lời giải của Hoang72, anh hiểu là "giả sử" được dùng theo ý nghĩa của trường hợp 1, tất nhiên là sai. Tuy nhiên, em cũng đã nhận xét là từ đáp án cho trường hợp "$x\ge y\ge z$ có thể dễ dàng suy ra đáp án cho các trường hợp còn lại, như vậy có thể trình bày lại lời giải bằng cách dùng từ "xét trường hợp" thay vì "giả sử", thì sẽ chặt chẽ hơn.

Xét trường hợp $x\ge y \ge z$, ta có... Tìm được hai nghiệm thoả mãn là $(a,0,0)$ và $(0,0,0)$.

Tương tự như vậy:

- Nếu $x\ge z\ge y$ thì có hai nghiệm $(a,0,0)$ và $(0,0,0)$.

- Nếu $y\ge x\ge z$: nghiệm $(0,b,0)$ và $(0,0,0)$.

- Nếu $y\ge z\ge x$...

- Nếu $z\ge x\ge y$...

- Nếu $z\ge y\ge x$...

Cho rõ hơn nữa thì nên thay câu cuối ở trên thành "đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $g(2) = g(1)$, nghĩa là $g$ là hàm hằng trên đoạn $[1,2]$". Ở các khoảng còn lại thì không nhất thiết là constant, miễn sao $g$ đồng biến và khả vi là được.

$f(2)$ sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi $f'(x)=x+\frac{1}{x},\forall x\in \mathbb{R}^{+}$

 

Dòng này thấy chưa rõ lắm nhỉ, mặc dù đúng nhưng hơi khó hiểu. Có thể Nesbit bỏ qua điều gì đó hiển nhiên, cơ mà mệnh đề này có khi tới cuối lời giải mới thấy được, giống như lời giải bên dưới.

Nếu đặt $g(x) = f(x) - \frac{x^2}{2} - \ln x$ thì $g(x)$ đồng biến và do đó $g(2) \ge g(1)$, nghĩa là $f(2) \ge \frac{5}{2}+\ln 2$. Đẳng thức xảy ra khi $g$ là hàm constant, nghĩa là mệnh đề ở trên.

Vậy chắc là admission sur dossier chứ không phải thi, vì anh nhớ là trước đây các ENS không có thi Voie 2 (bây giờ thì anh không rõ lắm).

Lúc em đọc đến đây đã định còm là đỗ thủ khoa ENS Paris thì đỉnh hơn HCV IMO ấy chứ nhưng thấy ở dưới anh cũng nói vậy. Năm 2019 em có may mắn vào vòng thi loại trực tiếp ở ENS Paris, nói chung đề thi rất căng thẳng, dù trước đó đã ôn đề tất cả các năm trước và biết nó là kỳ thi đầu vào khó nhất thế giới nhưng vào vẫn cứ tịt, cả toán lẫn vật lý, chỉ may gỡ gạc được phần trình bày paper chuẩn bị trước. Đề thi toán năm đó là chứng minh $\pi$ và $e$ là số siêu việt, đề vật lý (môn minor thì mỗi người một đề) của em thì là giải một hệ phương trình Maxwell, bảo thằng trông thi "thôi mày cho tao nghỉ thi chứ biết mẹ gì vật lý đâu". Lúc ra về buồn rầu ủ rũ gặp một bạn nữ ở trường đó, quen ở ký túc xá, nó bảo "mày yên tâm, không thằng nào không khóc khi thi ở Pháp đâu, lại còn là cái trường này." Tới lúc phát kết quả, có hai ông đỗ môn toán, cả hai là HCV IMO từ Trung Quốc.

 

Mà cái thi này chắc khác của mấy ông kia. Một cái là chọn sinh viên quốc tế còn một cái là thi trong nước nên có khi còn khó hơn.

Ồ thì ra em có thi ENS. Nhưng biết là có thi Vật Lý thì cũng phải ôn chứ

Tiếc là chỉ có ENS Paris (Ulm) là có mở cho sinh viên quốc tế thi, nếu các ENS khác cũng có thì nhiều cơ hội hơn. Trước đây như trường hợp của em (sinh viên quốc tế) gọi là thi Voie 2, còn Voie 1 là dành cho học sinh préparatoire ở Pháp. Anh confirm là Voie 1 khó hơn nhiều so với Voie 2 nhé.

Lúc anh học năm 2 kỹ sư trường làng cũng có đăng ký thi Voie 1 vào Polytechnique, nhưng mà ông hiệu trưởng trường anh không chịu ký giấy Anh đi theo dạng học bổng liên kết giữa trường và hội Gặp gỡ Việt Nam của GS. Trần Thanh Vân, ông hiệu trưởng bảo nếu mày đi thì dẹp luôn học bổng cho các khoá sau, nên đành thôi. Mà nếu cho lựa chọn lại thì anh cũng không thi Polytechnique mà thi vào ENS, bất kỳ ENS nào cũng được không nhất thiết là Ulm, để được học Toán...

Hôm nay ghé Institut Fourier mượn mấy cuốn sách, thì nhớ ra là ở đây có ông Vincent Lafforgue, là em ruột của Laurent Lafforgue và cũng là một nhà Toán học rất nổi tiếng.

Ông em tài năng không hề kém ông anh (thậm chí có thể còn hơn). Trước khi làm nghiên cứu thì thành tích của cả hai anh em hồi còn đi học đều thuộc dạng bá đạo:

- Laurent Lafforgue được 2 HCB IMO 1984-1985 (hai năm này chúng ta có lần lượt GS. Đàm Thanh Sơn và GS. Nguyễn Tiến Dũng được HCV), đỗ thủ khoa đầu vào École Normale Supérieure năm 1986.

- Vincent Lafforgue được 2 HCV IMO 1990-1991 với số điểm tuyệt đối 42/42 cả hai năm, và là người duy nhất đạt được thành tích này cho đội tuyển Pháp cho tới nay (lưu ý thêm là cả hai năm này Việt Nam đều không có HCV). Ông đỗ thủ khoa đầu vào cả hai trường École Normale Supérieure và École Polytechnique năm 1992. Cùng năm đó có Cédric Villani cũng đỗ vào ENS và xếp hạng 4.

Nói thêm một chút là kì thi vào các trường Grandes Écoles của Pháp được xem là kì thi khó nhất của học sinh, nó cũng gần giống như thi HSG Quốc gia ở bên mình vậy, trong đó thì Polytechnique và ENS là khó hơn cả (Polytechnique là trường kĩ sư số 1 của Pháp, còn ENS đào tạo giáo viên và nhà nghiên cứu, cũng là số 1 của Pháp). Cá nhân mình đánh giá thì thành tích đỗ thủ khoa của một trong hai trường này còn hơn cả HCV IMO. Ông Vincent Lafforgue đỗ thủ khoa cả hai trường thì phải nói là thuộc dạng siêu nhân. Tuy nhiên ông không được Fields. Giải Fields phụ thuộc rất nhiều yếu tố, tài năng không thì chưa đủ: làm đúng đề tài đúng thời điểm, chọn đúng thầy hướng dẫn  , và cần cả may mắn. Đọc Wikipedia thì thấy ông làm PhD về Noncommutative geometry, rồi sau đó vài năm thì chuyển qua chương trình Langlands. Nếu làm Langlands từ đầu thì chưa biết chừng  

Cách đây vài năm có đọc một số báo Toán học & Tuổi trẻ, trong đó có bài viết hình như của thầy Lê Văn Thiêm bình luận về bài thi HSG Toán của thầy Ngô Việt Trung, hình như tựa đề là "Nhận xét về bài làm của em Ngô Việt Trung". Tìm lại thì không thấy đâu, bạn nào biết xin chỉ giúp.

Thông tin về giải thưởng Tạ Quang Bửu 2022

Bài viết rất hay! Tuy mấy đoạn technical không hiểu gì nhưng đọc những phần bình luận của GS Lê Tuấn Hoa cũng biết được tầm vóc các công trình của GS Ngô Việt Trung. Anh xin phép chỉnh lại bài viết của Nxb để đăng nguyên bài báo lên luôn để còn đưa ra trang chủ và share trên FB.

Có một số đoạn sau đây trong bài viết có thể tạo "cảm hứng" thảo luận cho những anh em nào đang làm nghiên cứu.

Kỹ thuật chứng minh cần những kiến thức sâu sắc trong Đại số giao hoán và sự kết hợp tài tình với những tính toán tổ hợp phức tạp, cũng như vận dụng thành thạo qui hoạch nguyên – một chuyên ngành có vẻ khá xa Đại số giao hoán. Chính vì vậy mà công trình đã được nhận đăng trong tạp chí Inventiones Mathematicae. Đây là một trong 2-3 tạp chí có uy tín nhất trong Toán học. Đây cũng là lần đầu tiên có một công trình thuần Việt được đăng trong một tạp chí lớn như vậy. Hoàn toàn thuần Việt theo nghĩa: cả hai tác giả đều là người Việt Nam và từ khi hình thành đến khi kết thúc, hoàn toàn được thực hiện trong nước. Nó còn đặc biệt ở chỗ, hiếm lắm mới có bài báo chuyên ngành Đại số giao hoán được đăng trên tạp chí Annals of Mathematics hay tạp chí Inventiones Mathematicae nêu trên.

Top 3 tạp chí theo GS Hoa là Annals of Mathematics, Inventiones Mathematicae, và tạp chí còn lại là gì ấy nhỉ? Acta Mathematica chăng?

Đó chỉ là vài trong số nhiều kết quả khác của ông được nhiều nhà toán học quan tâm. Tuy nhiên, trước khi có bài báo ở tạp chí đỉnh cao, không có gì chắc chắn để khẳng định trước sau ông cũng sẽ có bài đăng ở đó. Xét về góc độ này thì việc có được bài đăng ở đấy như là một sự ngẫu nhiên, hay chí ít là một sự gặp may. Nhưng nếu xét từ cả quá trình làm việc và công bố đồ sộ của ông thì lại có dáng dấp như một qui luật. Chí ít thì có thể khẳng định: trong số người nghiên cứu Đại số ở Việt Nam, nếu có ai đó đăng được bài ở một trong hai tạp chỉ đỉnh cao nói trên, thì người đầu tiên phải là ông! (Trước ông, năm 1976 có giáo sư Nguyễn Hữu Anh có bài đăng ở Annals of Mathematics, khi làm việc ở Mỹ).

Thực ra, giáo sư Ngô Việt Trung là người thể hiện có năng khiếu Toán học rất sớm. Ông là người đã đạt Giải Nhất lớp 10 kì thi Học sinh giỏi toàn miền Bắc về Toán. Thời đó, kì thi Học sinh giỏi toàn miền Bắc chỉ tổ chức cho Toán và Văn, trao rất ít giải, kể cả giải khuyến khích thường không quá 10, và nhiều năm không trao giải Nhất (trước năm 1975, tôi chưa từng nghe có năm nào trao hai giải nhất và tôi nghĩ là không). Do vậy, những người đạt giải khi đó được các bạn cùng trang lứa nhớ tên rất lâu. Rất may là thời đó thông tin không nhiều như bây giờ, nên người ta biết đến tên tuổi ông như một nhà khoa học thành đạt, chứ không phải nhờ dư âm từ thời học sinh!

Em cứ thong thả suy nghĩ lại xem, rồi thấy có gì chưa thông thì đừng ngại chia sẻ với anh em trên diễn đàn. Ở trên anh lấy ví dụ ngành Toán, nhưng cũng chưa chắc là em đã thích Toán nhất. Có thể em thích machine learning, nếu như vậy thì không cần thi lại, mà có thể học lại một năm để đủ điểm trung bình rồi chuyển ngành. Ví dụ như vậy. Cần biết là mình thích ngành nào trước, rồi sau đó mới suy nghĩ xem là làm sao để học được ngành đó, rồi lên kế hoạch thực hiện. Nếu thấy có khó khăn gì thì đăng lên hỏi, biết đâu có người giúp em được.

Dạ thực ra Thống kê Bóng đá liên quan tới đồ án bên xử lý dữ liệu (môn học cuối cùng của em liên quan Khoa học dữ liệu). Còn điều kiện chuyển ngành thì em xin lỗi anh nhiều, em không đáp ứng đủ. Thầy trưởng Khoa kêu em trở lại cho những môn ngành học cũ.

Điều trước tiên em cần xác định rõ là em thích học và làm về cái gì, rồi sau đó mới có thể lên kế hoạch và đặt mục tiêu hoàn thành. Nếu thích học Toán thì cũng có thể thi lại đại học vào ngành Toán, 2 hay 3 năm bỏ đi không là gì cả so với cả sự nghiệp mấy chục năm còn lại của em.

Anh có biết một người học chuyên Toán sau anh 2 khoá, thi vào Ngoại Thương Tp. HCM học hai năm rồi thi lại vào ĐHSP Huế ngành Toán, bây giờ đang làm PhD ở Mỹ với thầy Hà Huy Tài.

Đừng để phí phạm những năm tháng tuổi trẻ của em vào việc học và làm những thứ mình không thấy thích.

Anh đã từng khuyên em nên (a) đổi topic cho đề án và (b) thử xin trường chuyển ngành. Về (a) thì có vẻ em vẫn trung thành với đề tài xác suất trong bóng đá, chúc em may mắn. Còn về (b) thì anh không thấy em phản hồi lại. 

Lời khuyên chung chung của anh là em cần xác định rõ mục tiêu của mình là gì, làm sao để đạt được mục tiêu đó, sau đó thì chiến đấu hết sức để thực hiện. (Ví dụ nếu em xác định mình thích học data science, thì trước hết có thể hỏi trường xem làm thế nào để có thể chuyển sang ngành đó, nếu trường đồng ý có điều kiện thì gắng hết sức đạt được điều kiện đó).

Real Madrid đúng chân mệnh thiên tử  

Kết thúc hành trình ôn luyện toán trong 4 năm, thực chất là 3 năm vì năm lớp 6 mình chả biết gì về toán, sau kì thi HSG Tỉnh Quảng Nam 2021-2022 thì bao nhiêu giấc mơ, hoài bão của mình đã mở ra, mình rất xúc động khi cầm trên tay bảng điểm và mình là người có số điểm cao nhất, ước mơ nhất tỉnh của mình đã ấp ủ từ rất lâu và hiện tại nó đã thành sự thật, mình tin rằng đây chỉ là một khởi đầu nho nhỏ trong cuộc đời mình, mình sẽ lấy nó làm động lực để phát triển hơn nữa trong tương lai, điều khiến mình tâm đắc nhất không phải là hơn nhiều người vì thực chất mình đạt 16,5 điểm và bạn giải Nhì đạt 16 điểm, không hơn là bao nhưng việc mình vui nhất chính là mình đã giải ra câu bất đẳng thức trong đề, và không ai trong tỉnh mình làm được câu này. (Cũng hơi tiếc vì mình thiếu nghiệm câu hệ và câu số chứ không là điểm tối đa). Mình xin chia sẻ câu bất đó và cách làm của mình như sau (Đây cũng là bài cuối cùng của Topic, khép lại quãng đường bất đẳng thức thời thơ ấu)

Chúc mừng KietLW9! Cố gắng lên cấp 3 phát huy nhé em.