Đến nội dung

Nesbit

Nesbit

Đăng ký: 26-12-2004
Offline Đăng nhập: 26-05-2024 - 16:39
****-

Michel Talagrand nhận giải thưởng Abel 2024

20-03-2024 - 21:54

Giải thưởng Abel 2024 được trao cho Michel Talagrand. Các bạn có thể xem thông báo ở trang https://abelprize.no...-laureates/2024. Xin trích dẫn lại bên dưới, kèm theo một video phỏng vấn của CNRS. 

 

The development of probability theory was originally motivated by problems that arose in the context of gambling or assessing risks. It has now become apparent that a thorough understanding of random phenomena is essential in today's world. For example, random algorithms underpin our weather forecast and large language models. In our quest for miniaturisation, we must consider effects like the random nature of impurities in crystals, thermal fluctuations in electric circuits, and decoherence of quantum computers. Talagrand has tackled many fundamental questions arising at the core of our mathematical description of such phenomena.

Michel_Talagrand_portrait_Color_Peter%20

One of the threads running through Talagrand's work is to understand geometric properties of a high-dimensional phenomenon and to crystallise this into sharp estimates with broad scopes of applicability. This led him to obtain many influential inequalities. For instance, Talagrand derived powerful quantitative results to prove the sharp threshold phenomena that often appear in the study of phase transitions in statistical mechanics. He also obtained a useful inequality bounding the quadratic "từ cấm" cost distance between a probability measure and a Gaussian distribution by their relative entropy.

Much of Talagrand's work concerns the geometry of stochastic processes. A classical problem going back to Kolmogorov – arising for instance when one wants to analyse regularity properties of stochastic processes – is to estimate the supremum of a large collection of correlated random variables. Building on the works of Fernique and Dudley, Talagrand developed his theory of generic chaining, which provides sharp upper and lower bounds on the expectation of suprema of Gaussian processes. This illuminated the mysterious connection between the distance function (on the underlying index set) determined by the covariance of the process and the expectation of its supremum.

A key result in probability theory is the law of large numbers asserting that the normalised sum of independent random variables converges towards its mean. This normalised sum is therefore concentrated, using the terminology coined in the early work of Milman, or self-averaging, using physics terminology. It was gradually realised that concentration is ubiquitous, since many random variables defined as functions of a large number of independent random variables appeared to be close to their mean with high probability. In an amazing tour de force, Talagrand provided quantitative versions of this phenomenon that hold in great generality, including the case of discrete random variables. This result applies to functions of independent variables that are Lipschitz with respect to the Euclidean metric and convex, yielding one of several celebrated "Talagrand inequalities." It laid the groundwork for a non-asymptotic theory of independence applicable to high-dimensional statistical problems.

Since the works of Edwards and Anderson, physicists have been fascinated by the complex behaviour exhibited by disordered systems, which describe phenomena like magnetisation in the presence of impurities, and more recently also the energy landscapes arising in machine learning. In 1980, Parisi (Nobel Prize in Physics, 2021) proposed an expression for the free energy of one of the simplest models of this type, namely the Sherrington–Kirkpatrick model. Guerra showed rigorously that this formula is an upper bound for the free energy. In a groundbreaking article, Talagrand proved the complementary lower bound, hence completing the proof of the Parisi formula. This provided the foundation for the development of a mathematical theory of spin glasses and its applications in statistical learning.

Talagrand also obtained a rich variety of important results in measure theory and functional analysis. To cite only the most recent one, he answered a longstanding question by von Neumann and Maharam in the negative by showing that there exist submeasures which are exhaustive, but are not absolutely continuous with respect to any finitely additive measure. This fact implies the existence of radically new Boolean algebras.

Talagrand is an exceptionally prolific mathematician whose work has transformed probability theory, functional analysis, and statistics. His research is characterised by a desire to understand interesting problems at their most fundamental level, building new mathematical theories along the way. He disseminated many of his insights in the form of very influential research monographs. Combining technical virtuosity with deep analytical and geometric insights to construct new powerful tools and answer longstanding hard questions, Michel Talagrand has had and continues to have an enormous impact on mathematics and its applications.

 

 

Video phỏng vấn của CNRS:

 

https://www.youtube....Fb9bWxhtfzqGdHg


$\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} +...

26-03-2023 - 20:50

Tìm $k$ lớn nhất sao cho

\begin{equation}\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \ge k\sqrt[7]{a^7+b^7+c^7} \qquad \forall a,b,c > 0.\end{equation}

 

Bài này đẳng thức xảy ra khi $a,b,c$ hoàn toàn khác nhau (và tất nhiên là không có số nào tiến đến $0$). Bài kiểu này chắc sẽ không xuất hiện trong đề thi đâu, nhưng có thể bạn nào có hứng thú thử sức chăng.


$(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2) \ge 9$ nếu $(a+b)(b+c)(c+a) = 8$

26-03-2023 - 18:39

Cho $a,b,c\ge 0$ thoả mãn $(a+b)(b+c)(c+a) = 8$. Chứng minh rằng $(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2) \ge 9.$


Luis A. Caffarelli được trao giải Abel năm 2023

24-03-2023 - 04:44

Viện Hàn lâm Khoa học và Văn học Na Uy vừa trao Giải thưởng Abel 2023 cho Luis A. Caffarelli (Đại học Texas ở Austin, Mỹ) vì những đóng góp quan trọng của ông cho lý thuyết chính quy (regularity theory) cho các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến, bao gồm các bài toán biên tự do và phương trình Monge-Ampère.

 

File gửi kèm  LuisCaffarelli_Photo_TheUniversityofTexasatAustin.jpg   16.57K   32 Số lần tải

 

 

Các phương trình đạo hàm riêng phát sinh một cách tự nhiên như các quy luật tự nhiên, cho dù để mô tả dòng chảy của nước hay sự phát triển của dân số. Những phương trình này luôn là đề tài nghiên cứu sôi nổi kể từ thời của Newton và Leibniz. Tuy nhiên, bất chấp những nỗ lực đáng kể của các nhà toán học trong nhiều thế kỷ, những câu hỏi cơ bản liên quan đến tính ổn định hoặc thậm chí tính duy nhất, sự xuất hiện và loại điểm kỳ dị của một số phương trình chính vẫn chưa được giải quyết.

Trong khoảng thời gian hơn 40 năm, Luis Caffarelli đã có những đóng góp đột phá trong lý thuyết chính quy (tức là việc loại trừ hoặc mô tả các điểm kỳ dị). Lý thuyết chính quy nắm bắt các đặc điểm định tính chính của các lời giải ngoài thiết lập giải tích hàm ban đầu. Điều này rất quan trọng cho việc mô hình hóa (ví dụ, liệu giả định về các trường biến đổi vĩ mô có tự nhất quán không?), đồng thời cung cấp thêm thông tin về các chiến lược rời rạc hóa và do đó rất quan trọng để đạt được mô phỏng số hiệu quả và đáng tin cậy. Các định lý của Caffarelli đã thay đổi hoàn toàn hiểu biết của chúng ta về các lớp phương trình đạo hàm riêng phi tuyến với nhiều ứng dụng. Các kết quả đi vào cốt lõi của vấn đề, các kỹ thuật đồng thời thể hiện sự điêu luyện và đơn giản, đồng thời bao hàm nhiều lĩnh vực toán học khác nhau và các ứng dụng của nó.

 

Mời các bạn đọc toàn bộ bài viết gốc bằng tiếng Anh ở đây: https://abelprize.no...luis-caffarelli


Nếu bạn dùng Gmail, xin hãy giúp diễn đàn một việc nhỏ

15-03-2023 - 22:36

Các bạn thân mến,

 

Sau một thời gian bị Google từ chối thì từ ngày hôm qua diễn đàn đã có thể gửi email trở lại cho những bạn dùng Gmail. Tuy nhiên, rất có thể email được gửi đến các bạn vẫn bị chuyển vào thư mục Spam. Vì vậy, nếu bạn dùng Gmail thì xin hãy góp một tay để giúp email từ diễn đàn được Google chuyển vào thư mục chính bằng cách sau.

 

  • Nếu bạn vừa mới đăng ký với tài khoản Gmail của mình thì bạn đã nhận được một email từ diễn đàn. Xin hãy  thực hiện các bước như ở bên dưới.
  • Nếu bạn đang là thành viên và muốn giúp thì xin hãy đăng kí bằng cách bình luận bên dưới, BQT sẽ gửi một bạn một tin nhắn để có thể nhận email thông báo từ hệ thống.

 

Bây giờ, giả sử bạn đã nhận được email từ diễn đàn, thế nhưng email không nằm trong Inbox mà lại nằm trong thư mục Spam. Bạn hãy thực hiện những bước sau:

 

Bước 1: Đăng nhập vào Gmail và ở thanh tìm kiếm, bạn gõ: in:spam diendantoanhoc.org rồi nhấn Enter. Lệnh này sẽ tìm kiếm những email có liên quan tới diễn đàn ở trong thư mục Spam:

 

File gửi kèm  gmail0.jpg   15.89K   35 Số lần tải

 

 

 

Ngoài ra bạn cũng có thể tự vào thư mục Spam bằng cách nhấn vào nút More ở cột bên trái:

 

File gửi kèm  gmail1.jpg   58.75K   33 Số lần tải

 

File gửi kèm  gmail2.jpg   39.97K   34 Số lần tải

 

 

 

Nếu trong thư mục này có nhiều email spam quá thì bạn có thể gõ diendantoanhoc.org trên thanh tìm kiếm để lọc ra những email từ diễn đàn.

 

Sau đó bạn có thể nhận được kết quả tương tự như sau:

 

File gửi kèm  gmail3.jpg   18.92K   31 Số lần tải

 

 

 

Bước 2: Nhấn vào từng email từ diễn đàn mà bạn thấy trong thư mục Spam, rồi chọn nút "Report not Spam" (hoặc "Không phải thư rác"):

 

File gửi kèm  gmail4.jpg   29.17K   33 Số lần tải

 

 

Càng nhiều bạn làm được càng nhiều những email như vậy thì sẽ cho được kết quả tốt nhất. Xin cảm ơn tất cả các bạn.