Đến nội dung


Nesbit

Đăng ký: 26-12-2004
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 05:45
****-

Chủ đề của tôi gửi

$0$ là điểm giới hạn của $S$ $\iff$ $S$ tr...

23-09-2022 - 20:06

Mệnh đề. Cho $S\subset\mathbb{R}$ thoả mãn: nếu $x\in S$ thì $nx\in S$ với mọi $n\in\mathbb{Z}$. Khi đó:

$$0 \text{ là điểm giới hạn của } S \iff S \text{ trù mật trong }\mathbb{R}.$$ 

 

Bài này mình đã đăng trong một thảo luận ở box Olympic (thảo luận ở đó cũng khá hay). Vừa mới nhớ ra nên đăng lại vào đây, phù hợp hơn.

 

Hệ quả 1. $\mathbb{Q}$ trù mật trong $\mathbb{R}$.

 

Hệ quả 2. Với mọi $r$ vô tỉ, $\{m+nr: m,n\in\mathbb{Z}\}$ trù mật trong $\mathbb{R}$.

 

Kết quả ở trên khá đẹp nhưng thực ra không quá mạnh (chẳng hạn, nó không suy ra được $\{2^m 3^n: m,n\in\mathbb{Z}\}$ trù mật trong $\mathbb{R}$). Nếu anh em có hứng thú thì trong topic này chúng ta sẽ cố gắng tìm được tập $S$ tổng quát nhất có thể thoả mãn tính chất ở trên.


$(f_n)$ bị chặn trên $X$, $X$ đếm được, thì tồn tại dãy c...

23-09-2022 - 19:43

Cho dãy hàm số phức $(f_n)$ bị chặn trên tập đếm được $X$. Chứng minh tồn tại một dãy con $(f_k)_{k\in I}$ ($I \subset \mathbb{N}$) sao cho $(f_k(x))_{k\in I}$ hội tụ với mọi $x\in X$.


Tồn tại $f$ sao cho $\lim_{a\to 0} \int_a^1 f(x...

20-09-2022 - 20:31

Chứng minh tồn tại hàm số $f:(0,1]\to\mathbb{R}$ khả tích trên $[a,1]$ với mọi $a>0$ sao cho

$\lim_{a\to 0} \int_a^1 f(x)dx$ tồn tại nhưng $\lim_{a\to 0} \int_a^1 |f(x)|dx$ không tồn tại.


$X$ compact, $(f_n)$ liên tục trên $X$, $f_n\to...

19-09-2022 - 16:08

Cho $X$ compact trong một không gian metric và $(f_n)_{n\ge 1}$ là một dãy các hàm số thực liên tục trên $X$, $f_n\to f$ trên $X$ với $f$ liên tục trên $X$, đồng thời $f_n(x) \ge f_{n+1}(x) \forall x\in X,\forall n$. Chứng minh rằng $f\to f_n$ đều (converges uniformly) trên $X$.

 

Đây là một định lý khá quen thuộc trong giải tích, mình đang ôn lại vài kiến thức cũ nên tình cờ thấy nó. Cách chứng minh của mình khác với trong sách nên thấy có chút thú vị, đăng lên đây để anh em cùng thảo luận, tập chút thể dục đầu tuần cũng hay.


Từ $2^{100} \equiv 1\pmod{125}$ suy ra $2...

13-09-2022 - 19:10

Ngày xưa mình không thích Số Học nên học rất kém môn này, để lại hậu quả đến bây giờ.

 

Đang đọc một cuốn sách trong đó có đoạn như sau: Vì $2^{100} \equiv 1\pmod{125}$, mà $2^{100}$ lại chia hết cho $8$, suy ra $2^{100} \equiv 376\pmod{1000}$.

 

Nếu chứng minh thì cũng khá dễ như sau: Ta có $2^{100} = 125k+1$. Nếu chia $k$ cho $8$ được $q$ dư $r$ thì $2^{100} = 125(8q + r) + 1 = 1000q + 120r + 5r + 1$. Vì $8\mid 2^{100}$ nên suy ra $8\mid 5r+1$, vậy $r=3$, nghĩa là $2^{100} = 1000q + 376$.

 

Điều Nesbit thắc mắc là đối với những bạn giỏi Số Học, cái đoạn suy ra ở trên có hiển nhiên không và tại sao? Cảm ơn các bạn.