Nesbit

Tìm $k$ lớn nhất sao cho

\begin{equation}\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \ge k\sqrt[7]{a^7+b^7+c^7} \qquad \forall a,b,c > 0.\end{equation}

 

Bài này đẳng thức xảy ra khi $a,b,c$ hoàn toàn khác nhau (và tất nhiên là không có số nào tiến đến $0$). Bài kiểu này chắc sẽ không xuất hiện trong đề thi đâu, nhưng có thể bạn nào có hứng thú thử sức chăng.

Cho $a,b,c\ge 0$ thoả mãn $(a+b)(b+c)(c+a) = 8$. Chứng minh rằng $(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2) \ge 9.$

Viện Hàn lâm Khoa học và Văn học Na Uy vừa trao Giải thưởng Abel 2023 cho Luis A. Caffarelli (Đại học Texas ở Austin, Mỹ) vì những đóng góp quan trọng của ông cho lý thuyết chính quy (regularity theory) cho các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến, bao gồm các bài toán biên tự do và phương trình Monge-Ampère.

 

 LuisCaffarelli_Photo_TheUniversityofTexasatAustin.jpg   16.57K   5 Số lần tải

 

 

Các phương trình đạo hàm riêng phát sinh một cách tự nhiên như các quy luật tự nhiên, cho dù để mô tả dòng chảy của nước hay sự phát triển của dân số. Những phương trình này luôn là đề tài nghiên cứu sôi nổi kể từ thời của Newton và Leibniz. Tuy nhiên, bất chấp những nỗ lực đáng kể của các nhà toán học trong nhiều thế kỷ, những câu hỏi cơ bản liên quan đến tính ổn định hoặc thậm chí tính duy nhất, sự xuất hiện và loại điểm kỳ dị của một số phương trình chính vẫn chưa được giải quyết.

Trong khoảng thời gian hơn 40 năm, Luis Caffarelli đã có những đóng góp đột phá trong lý thuyết chính quy (tức là việc loại trừ hoặc mô tả các điểm kỳ dị). Lý thuyết chính quy nắm bắt các đặc điểm định tính chính của các lời giải ngoài thiết lập giải tích hàm ban đầu. Điều này rất quan trọng cho việc mô hình hóa (ví dụ, liệu giả định về các trường biến đổi vĩ mô có tự nhất quán không?), đồng thời cung cấp thêm thông tin về các chiến lược rời rạc hóa và do đó rất quan trọng để đạt được mô phỏng số hiệu quả và đáng tin cậy. Các định lý của Caffarelli đã thay đổi hoàn toàn hiểu biết của chúng ta về các lớp phương trình đạo hàm riêng phi tuyến với nhiều ứng dụng. Các kết quả đi vào cốt lõi của vấn đề, các kỹ thuật đồng thời thể hiện sự điêu luyện và đơn giản, đồng thời bao hàm nhiều lĩnh vực toán học khác nhau và các ứng dụng của nó.

 

Mời các bạn đọc toàn bộ bài viết gốc bằng tiếng Anh ở đây: https://abelprize.no...luis-caffarelli

Các bạn thân mến,

 

Sau một thời gian bị Google từ chối thì từ ngày hôm qua diễn đàn đã có thể gửi email trở lại cho những bạn dùng Gmail. Tuy nhiên, rất có thể email được gửi đến các bạn vẫn bị chuyển vào thư mục Spam. Vì vậy, nếu bạn dùng Gmail thì xin hãy góp một tay để giúp email từ diễn đàn được Google chuyển vào thư mục chính bằng cách sau.

 

• Nếu bạn vừa mới đăng ký với tài khoản Gmail của mình thì bạn đã nhận được một email từ diễn đàn. Xin hãy  thực hiện các bước như ở bên dưới.
• Nếu bạn đang là thành viên và muốn giúp thì xin hãy đăng kí bằng cách bình luận bên dưới, BQT sẽ gửi một bạn một tin nhắn để có thể nhận email thông báo từ hệ thống.

 

Bây giờ, giả sử bạn đã nhận được email từ diễn đàn, thế nhưng email không nằm trong Inbox mà lại nằm trong thư mục Spam. Bạn hãy thực hiện những bước sau:

 

Bước 1: Đăng nhập vào Gmail và ở thanh tìm kiếm, bạn gõ: in:spam diendantoanhoc.org rồi nhấn Enter. Lệnh này sẽ tìm kiếm những email có liên quan tới diễn đàn ở trong thư mục Spam:

 

 gmail0.jpg   15.89K   6 Số lần tải

 

 

 

Ngoài ra bạn cũng có thể tự vào thư mục Spam bằng cách nhấn vào nút More ở cột bên trái:

 

 gmail1.jpg   58.75K   6 Số lần tải

 

 gmail2.jpg   39.97K   6 Số lần tải

 

 

 

Nếu trong thư mục này có nhiều email spam quá thì bạn có thể gõ diendantoanhoc.org trên thanh tìm kiếm để lọc ra những email từ diễn đàn.

 

Sau đó bạn có thể nhận được kết quả tương tự như sau:

 

 gmail3.jpg   18.92K   6 Số lần tải

 

 

 

Bước 2: Nhấn vào từng email từ diễn đàn mà bạn thấy trong thư mục Spam, rồi chọn nút "Report not Spam" (hoặc "Không phải thư rác"):

 

 gmail4.jpg   29.17K   6 Số lần tải

 

 

Càng nhiều bạn làm được càng nhiều những email như vậy thì sẽ cho được kết quả tốt nhất. Xin cảm ơn tất cả các bạn.

Sau vài ngày làm việc thì cũng viết xong được tính năng này để bổ sung cho diễn đàn. Kể từ bây giờ chúng ta có thể trình bày định lý, định nghĩa, v.v... bằng cú pháp chuẩn của $\LaTeX$ cho môi trường định lý. Các định lý sẽ được đánh số một cách tự động và có thể tham chiếu đến.

Cách dùng như sau:

\begin{x}[tên] \label{nhãn}Nội dung.\end{x}

trong đó x nhận một trong các giá trị sau: theorem, definition, proposition, lemma, corollary, example, remark, problem, proof, solution. Nếu không muốn đánh số thì thêm dấu * ở cuối: theorem*, definition*, v.v...

 

Để tham chiếu đến thì dùng lệnh

\thref{nhãn}

Lưu ý: Một định lý không nhất thiết phải có tên, và nếu bạn không cần tham chiếu đến nó sau này thì cũng không cần phải dán nhãn. Tức là bạn chỉ cần gõ:

\begin{x}Nội dung.\end{x}

 
Một số ví dụ:
 

\begin{definition}[Số Nguyên Tố] \label{def:prime}Một số nguyên dương được gọi là số nguyên tố nếu nó có đúng hai ước số dương là $1$ và chính nó.\end{definition}

Một số nguyên dương được gọi là số nguyên tố nếu nó có đúng hai ước số dương là $1$ và chính nó.

 

\begin{theorem}[Euclid] \label{thm:euclid}Có vô hạn số nguyên tố.\end{definition}

Có vô hạn số nguyên tố.

 

\begin{theorem}\label{thm:theorem1}Tồn tại hai số vô tỉ $x$, $y$ sao cho $x^y$ là hữu tỉ.\end{theorem}
\begin{proof}Nếu $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ hữu tỉ thì xem như xong. 
Ngược lại nếu $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ vô tỉ thì chọn $x=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ và $y=\sqrt{2}$. 
Thế thì: \begin{equation}\bigg(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\bigg)^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}^{\sqrt{2}\sqrt{2}}=\sqrt{2}^{2}=2.\end{equation} 
Định lý đã được chứng minh.\end{proof}

Tồn tại hai số vô tỉ $x$, $y$ sao cho $x^y$ là hữu tỉ.

Nếu $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ hữu tỉ thì xem như xong. Ngược lại nếu $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ vô tỉ thì chọn $x=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ và $y=\sqrt{2}$. Thế thì: \begin{equation}\bigg(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\bigg)^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}^{\sqrt{2}\sqrt{2}}=\sqrt{2}^{2}=2.\end{equation} Định lý đã được chứng minh.

\begin{theorem*}\label{thm:myTheorem2}
Một định lý không đánh số. Định lý này được gắn nhãn thm:myTheorem2 nên vẫn có thể được tham chiếu đến bằng lệnh \thref{thm:myTheorem2}.
\end{theorem*}

Một định lý không đánh số. Định lý này được gắn nhãn thm:myTheorem2 nên vẫn có thể được tham chiếu đến bằng lệnh Theorem.

 

Tồn tại hai số vô tỉ $x$, $y$ sao cho $x^y$ là hữu tỉ.

Tồn tại hai số vô tỉ $x$, $y$ sao cho $x^y$ là hữu tỉ.

​

Tồn tại hai số vô tỉ $x$, $y$ sao cho $x^y$ là hữu tỉ.

​​

Tồn tại hai số vô tỉ $x$, $y$ sao cho $x^y$ là hữu tỉ.

​

Tồn tại hai số vô tỉ $x$, $y$ sao cho $x^y$ là hữu tỉ.

​

Tồn tại hai số vô tỉ $x$, $y$ sao cho $x^y$ là hữu tỉ.

​

Ta có...

Tham chiếu:
 

Theo \thref{def:prime} ta có...

Theo Theorem ta có...


Hi vọng tính năng mới này sẽ giúp các bạn viết bài thuận tiện hơn nữa trên diễn đàn. Mọi góp ý hoặc báo lỗi xin các bạn hãy đăng vào chủ đề này.

Tính năng này xin dành tặng @Nxb, người đã đề xuất vài năm trước nhưng lúc đó Nesbit đã không có đủ thời gian và động lực để bắt tay vào làm. Sau ngừng ấy thời gian, thấy diễn đàn có nhiều bài chất lượng (đặc biệt từ @bangbang1412, @nmlinh16, @Nxb) nên đã gắng dành thời gian để bổ sung thêm tính năng này. Rất mong chờ những bài viết chất lượng tiếp theo của tất cả thành viên diễn đàn.