souhh

Bài 124: Cho $a;b\in Q^{+}$ sao cho $a^{3}+4a^{2}b=4a^{2}+b^{4}$

Chứng minh: $\sqrt{a}-1$ là bình phương của 1 số hữu tỉ.

Có:
$n-4\vdots m$

$2n+1\vdots m$

$\Rightarrow (2n+1)-2(n-4)\vdots m$

$\Rightarrow 9\vdots m$

Ta có:

$n^{2}+2\vdots m$

$(n+1)^{2}+2\vdots m$

$\Rightarrow 2n+1\vdots m$

$\Rightarrow 2n^{2}+n\vdots m$

Mà $2(n^{2}+2)\vdots m$

$\Rightarrow n-4\vdots m$

$\Rightarrow 9\vdots m$

$\Rightarrow m\in \left \{ 3;9 \right \}$

Thử lại với $n=4$ $\Rightarrow m\in \left \{ 3;9 \right \}$

Bài này mới được đưa vào đề thi thử Toán chuyên lần 3 của trường Chuyên KHTN.

Xin đóng góp cách giải của mình cho câu hình c. Thấy đáp án họ làm dài quá:

Ta có:

$\widehat{QBH}=\widehat{QPM}$(góc trong và góc ngoài đỉnh đối diện)
$\widehat{QPM}=\widehat{QAM}$(2 góc nội tiếp)

Bạn thử xem lại đề bài xem có điều kiện $x;y>0$ không. Nếu có điều kiện đó thì:

Áp dụng bất đẳng thức C-S: 

$(x^{3}+y^{3})^{2}\leq (x^{3}+y^{4})(x^{3}+y^{2})\leq (x^{2}+y^{3})(x^{3}+y^{2})\leq \frac{(x^{2}+y^{3}+y^{2}+x^{3})^{2}}{2}$

$\Rightarrow (x^{3}+y^{3})^{2}\leq \frac{(x^{2}+y^{2}+x^{3}+y^{3})^{2}}{4}$

$\Rightarrow x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}$

Ta có:

$(x^{2}+y^{2})^{2}\leq (x^{3}+y^{3})(x+y)\leq (x^{2}+y^{2})(x+y)$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq x+y$

Ta có:

$(x+y)^{2}\leq (x^{2}+y^{2})(1+1)\leq 2(x+y)$

$\Rightarrow x+y\leq 2$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq 2$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=1$