Bài 124: Cho $a;b\in Q^{+}$ sao cho $a^{3}+4a^{2}b=4a^{2}+b^{4}$
Chứng minh: $\sqrt{a}-1$ là bình phương của 1 số hữu tỉ.
Gửi bởi souhh trong 29-04-2018 - 22:43
Bài 124: Cho $a;b\in Q^{+}$ sao cho $a^{3}+4a^{2}b=4a^{2}+b^{4}$
Chứng minh: $\sqrt{a}-1$ là bình phương của 1 số hữu tỉ.
Gửi bởi souhh trong 19-04-2018 - 18:05
Có:
$n-4\vdots m$
$2n+1\vdots m$
$\Rightarrow (2n+1)-2(n-4)\vdots m$
$\Rightarrow 9\vdots m$
Gửi bởi souhh trong 18-04-2018 - 01:08
Ta có:
$n^{2}+2\vdots m$
$(n+1)^{2}+2\vdots m$
$\Rightarrow 2n+1\vdots m$
$\Rightarrow 2n^{2}+n\vdots m$
Mà $2(n^{2}+2)\vdots m$
$\Rightarrow n-4\vdots m$
$\Rightarrow 9\vdots m$
$\Rightarrow m\in \left \{ 3;9 \right \}$
Thử lại với $n=4$ $\Rightarrow m\in \left \{ 3;9 \right \}$
Bài này mới được đưa vào đề thi thử Toán chuyên lần 3 của trường Chuyên KHTN.
Gửi bởi souhh trong 05-04-2018 - 23:23
Xin đóng góp cách giải của mình cho câu hình c. Thấy đáp án họ làm dài quá:
Ta có:
$\widehat{QBH}=\widehat{QPM}$(góc trong và góc ngoài đỉnh đối diện)
$\widehat{QPM}=\widehat{QAM}$(2 góc nội tiếp)
Gửi bởi souhh trong 15-11-2017 - 21:39
Cho $x;y>0$ thỏa mãn: $\sqrt{xy}(x-y)=x+y$
Tìm min: $x+y$
Gửi bởi souhh trong 24-10-2017 - 22:00
Bạn thử xem lại đề bài xem có điều kiện $x;y>0$ không. Nếu có điều kiện đó thì:
Áp dụng bất đẳng thức C-S:
$(x^{3}+y^{3})^{2}\leq (x^{3}+y^{4})(x^{3}+y^{2})\leq (x^{2}+y^{3})(x^{3}+y^{2})\leq \frac{(x^{2}+y^{3}+y^{2}+x^{3})^{2}}{2}$
$\Rightarrow (x^{3}+y^{3})^{2}\leq \frac{(x^{2}+y^{2}+x^{3}+y^{3})^{2}}{4}$
$\Rightarrow x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}$
Ta có:
$(x^{2}+y^{2})^{2}\leq (x^{3}+y^{3})(x+y)\leq (x^{2}+y^{2})(x+y)$
$\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq x+y$
Ta có:
$(x+y)^{2}\leq (x^{2}+y^{2})(1+1)\leq 2(x+y)$
$\Rightarrow x+y\leq 2$
$\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq 2$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=1$
Gửi bởi souhh trong 25-09-2017 - 21:22
Cho $a$, $b$, $c$ là các số nguyên dương.
CMR: $A=a+b+2\sqrt{ab+c^{2}}$ không là số nguyên tố.
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học