Minhcamgia

Bài 64. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn (O’)  tiếp xúc trong với đường tròn (O) và tiếp xúc với các cạnh AB, BC lần lượt tại R, P, Q. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

           a) Chứng minh rằng $\widehat{ARK}=\widehat{CRK}$.

           b) Đường trung trực của AI cắt AC, AB theo thứ tự tại E, F. Chứng minh rằng đường tròn tiếp xúc với AC, AB tại E, F tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC.

a. $QR$ cắt $(O)$ tại $S$, Gọi $I'$ là giao của $PQ$ và $AS$, gọi $T$ là tâm đường tròn tiếp xúc với $AB,AC$ tại $E,F$.

Dễ dàng chứng minh $I'$ chính là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle ABC \Rightarrow I' \equiv I$.

Suy ra $I$ là trung điểm của $PQ$.

Để ý rằng $E,F$ là trung điểm của $AP,AQ$. Gọi $(EIB)$ giao $(FIC)$ tại $G$ khác $I$.

$\angle BGC = \angle BGI + \angle CGI = \angle PEF + \angle QFI = 2\angle BAC = \angle BOC \Rightarrow G \in (BOC)$.

$\angle EGI + \angle FGI = 180 - \angle ABI +180 - \angle ACI = 360 - \frac{\angle ABC + \angle ACB}{2} \Rightarrow \angle EGF = \frac{1}{2}( \angle ABC + \angle ACB) \Rightarrow G \in (T)$.

Ta có $\angle FGC = \angle FIC = \angle FIQ + \angle CIQ = \angle CBI +\angle FEI = \angle FEG + \angle CBG \Rightarrow (T)$ tiếp xúc với $(BOC)$.

Dễ dàng nhận thấy rằng trực tâm $H$ của $\triangle AEF$ thuộc $(EFI)$, $\triangle BPI \sim \triangle BIC \sim \triangle IQC$, $PIRB,QIRC$ là các tứ giác nội tiếp.

Bài 61.

Cho $(O;R)$ và $(O_1;R_1)$ cắt nhau tại $A,B$, tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ và $(O_1)$ cắt $(O_1)$, $(O)$ tại $D,C$, $AB$ cắt $CD$ tại $E$, $M$ là trung điểm $DE$.

1. Chứng minh $\frac{EC}{ED} = \frac{R^2}{R_1^2}$.

2. Chứng minh $\angle MAC = \angle BAD$.

Bài 62.

Cho $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $A,B$, tiếp tuyến chung ngoài $CD$, ($C \in (O), D \in (O')$). Một dường thẳng $d$ bất kì qua $B$ cắt $(O),(O')$ tại $E,F$, $CE$ cắt $DF$ tại $G$, $M$ là trung điểm $EF$. Chứng minh $\angle MGF = \angle AGC$.

Bài 24. Cho tam giác $ABC$, $M,N,P$ là các điểm bất kì trên các cạnh $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng trong các tam giác $ANP, BMP, CMN$ tồn tại một tam giác có diện tích không vượt quá $\frac{1}{4}$ diện tích tam giác $ABC$.

một kết quả khác khi $M,N,P$ là chân các đường phân giác.

$\frac{S_{ANP}}{S_{BMP}} = \frac{AN.AP}{AB.AC} , \text{ thiết lập các tỉ số tương tự rồi nhân vào được } \frac{S_{ANP}.S_{BMP}.S_{CMN}}{S_{ABC}^3} = \frac{AP.BP}{AB^2} . \frac{BM.CM}{BC^2} . \frac{AN.CN}{AC^2} \leq \frac{1}{4} . \frac{1}{4} . \frac{1}{4} = \frac{1}{64} \Rightarrow S_{ANP}.S_{BMP}.S_{CMN} \leq (\frac{S_{ABC}}{4})^3 \Rightarrow \text{ tồn tại ít nhất một tam giác có diện tích không vượt quá} \frac{1}{4} S_{ABC}$.

$\text{Trường hợp } M,N,P \text{ là chân các đường phân giác còn có thể làm bằng cách cộng các tỉ số}$.

Bài 39: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ có các đường cao $BE,CF$. $M$ là trung điểm $BC$, $AM$ cắt $EF$ tại $N$. Kẻ $NX \perp BC$, $XY \perp AB$ , $XZ \perp AC$. Chứng minh $N$ là trực tâm của tam giác $AYZ$.

$\text{ Gọi tiếp tuyến tại B cắt tiếp tuyến tại C của } (O) \text{ tại } S.$

$\text{Dễ dàng chứng minh } S,X,A \text{ thẳng hàng và } AX \text{ là đường đối trung trong tam giác } ABC$.

$\text{ Phần chứng minh đã có tại đây }$ https://diendantoanh...-2019/page-3}$.

$\angle NAZ  = \angle YAX = 90 - \angle AZY \Rightarrow AN \perp YZ$.

$\frac{NE}{NF} = \frac{BX}{CX} = \frac{BY}{YF} = \frac{CZ}{ZE} \Rightarrow ZN \perp AY , YN \perp AZ \Rightarrow \text{ dpcm}$.

Bài 60. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) có ba đường cao AG, BD, CE cắt nhau tại H. Gọi I là giao điểm của DE và AH. Đường thẳng qua I và song song với BC cắt tia AB, tia DB lần lượt tại P và Q. Gọi M là trung điểm của AH.

       a) Chứng minh rằng IP = IQ và I là trực tâm của tam giác MBC.

       b) Từ A vẽ các tiếp tuyến AS, AT với đường tròn đường kính BC (S, T là các tiếp điểm). Chứng minh rằng ba điểm S, H, T thẳng hàng 

a.

$\text{Dễ dàng chứng minh } DH,DA \text{ là các đường phân giác trong và ngoài của } \triangle IDG \Rightarrow \frac{HI}{HG} = \frac{AI}{AG} \Rightarrow \frac{IQ}{BG} = \frac{IP}{BG} \Rightarrow IP = IQ$.

$\text{Dễ dàng chứng minh } \triangle MDI \sim \triangle MDG \Rightarrow MD^2 = MI.MG \Rightarrow GI.GM = GM^2 - MI.MG = GM^2 - MA^2 = GH.GA = GB.GC \text{ từ đây dễ dàng chứng minh } \triangle IGC \sim \triangle BGM \text{ để suy ra được } I \text{ là trực tâm } \triangle MBC$.

b.

$AS^2 = AT^2 = AB.ME = AC.AD = AH.AG \Rightarrow \triangle AHS \sim \triangle ASG , \triangle AHT \sim \triangle ATG \Rightarrow \angle AHS + \angle AHT = \angle ASG + \angle ATG = 180 \Rightarrow \text{ dpcm}.$

.

$\text{* Bài này là trường hợp đặc biệt của bài 40 đã được trình bày ở trên}$.

Bài 59. Cho đường tròn (O) có đường kính BC và A là một điểmnằm trên nửa đường tròn. Đường tròn (I) tiếp xúc với BC, CA, AB theo thứ tự tại D, E, F. Gọi M là trung điểm cạnh AC. Đường thẳng MI cắt AB tại N, đường thẳng DF cắt đường cao AH tại P.

      a) Chứng minh tam giác ANP là tam giác cân.

      b) Gọi T là hình chiếu của D trên EF. Chứng minh rằng TB.CD = TC.BD

a.

$EM = \frac{b}{2} - \frac{b+c-a}{2} = \frac{a-c}{2} \Rightarrow \frac{AN}{r} = \frac{b}{2} : \frac{a-c}{2} = \frac{b}{a-c} \Rightarrow AN = \frac{rb}{a-c} = \frac{(b+c-a)b}{2(a-c)} = \frac{a^2 - c^2 - b(a-c)}{2(a-c)} = \frac{a+c - b}{2} $.

$\text{Qua A kẻ } AK \text{ song song } CB $ $(K \in DF)$.

$\triangle APK \sim \triangle BID \Rightarrow AP = ANtan \angle APK = AF . \frac{BD}{DI} = BD = \frac{a+c-b}{2}$

$\Rightarrow \triangle ANP$ $\text{cân}$.

b.

$\text{Gọi } R,S \text{ là hình chiếu của } B,C \text{ trên } EF$.

$\triangle BRF \sim \triangle BPE \Rightarrow \frac{BR}{CP} = \frac{BF}{CE} = \frac{BD}{CD} = \frac{SR}{SP} \Rightarrow \triangle BRS \sim \triangle CPS \Rightarrow \frac{BS}{CS} = \frac{BD}{CD} \Rightarrow DS$ $BS \text{ là phân giác góc BSC} \Rightarrow \text{dpcm}$.

 

Bài $57$: Cho $\triangle ABC$ có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Đường trung trực đoạn $IC$ cắt $AI, BI, AC, BC$ lần lượt tại $D,E,H,F$. Gọi $T$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle AIH$.

a, Chứng minh $(T)$ đi qua $E$ và $5$ điểm $A,B,C,D,E$ cùng thuộc một đường tròn.

b, Chứng minh $IT \perp BD$.

Bài $58$: Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. $HD, HE$ lần lượt là phân giác góc $BHA$ và $CHA$ ($D,E$ thuộc $AB, AC$). $I$ là trung điểm $DE$. $BI$ cắt $DH, CD$ lần lượt tại $M,P$; $CI$ cắt $EH$, $BE$ lần lượt tại $N,Q.$ $BE$ cắt $CD$ tại $K.$ Chứng minh:

a, Tứ giác $APKQ$ nội tiếp.

b*, $MN//DE$ và $MN$ cắt $AH$ tại $K$.

 

Bài 57. 

Dễ dàng chứng minh được $\angle IEC = 2\angle IAC \Rightarrow I$ là tâm ngoại tiếp $\triangle IAC$. Tương tự $D$ là tâm ngoại tiếp $\triangle IBC$.

Suy ra $\angle BEC = \angle BAC$ , $\angle ADC = \angle ABC \Rightarrow A,B,E,C,D$ thuộc $(ABC)$.

Dựng tiếp tuyến $IL$ của $(T) \Rightarrow \angle IBC = \angle LIB \Rightarrow IL \parallel DB \Rightarrow TI \perp BD$.

1. Ta có: $\widehat{AEO}=\widehat{ADC}=90^0+\widehat{BAE}$

Tương tự: $\widehat{AFO}=\widehat{ADB}\Rightarrow \widehat{AEO}+\widehat{AFO}=180^0$

hay t/g $AEOF$ nt

2. Dễ dàng chứng minh $\widehat{EAO}=\widehat{EBO}$ , $\widehat{OAF}=\widehat{OCF}$ (1)

Lại có: $\widehat{BED}=\widehat{DFC}=\widehat{ABC}$ $\Rightarrow \widehat{EBD}=\widehat{FCD}$

mà $\widehat{OBC}=\widehat{OCB}$ suy ra: $\widehat{EBO}=\widehat{FCO}$ (2)

Từ (1)(2) suy ra: $\widehat{EAO}=\widehat{FAO}\Rightarrow \widehat{OEF}=\widehat{EFO}$ (do $t/g AEOF nt$)

hay $\Delta OEF$ cân

 

p/s: Ý 3 đang làm

Ý 3. 

$AD$ giao $(O)$ tại $H$. Ta có $\triangle BDH \sim \triangle AEO$ , $\triangle CDH \sim \triangle AFO \Rightarrow \frac{S_{AEO}}{S_{BDH}} = \frac{S_{AFO}}{S_{CDH}} = \frac{OA^2}{DB^2} $ không đổi.

Suy ra $S_{AEOF} = S_{BHC} . \frac{R^2}{HB^2}$ không đổi.

Bài 54. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, $M,N$ là trung điểm của $AB,AC$, đường tròn $(AMC)$ cắt đường tròn $(ANB)$ tại $G$, $AG$ cắt đường tròn $(O)$ tại $P$, $D$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh $\angle DAC = \angle PAB$.

Bài 55. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, $D,E$ là trung điểm $AB,AC$, đường tròn $(ADC)$ cắt đường tròn $(AEB)$ tại $J$, trung trực $BC$ cắt $DE$ tại $G$. Chứng minh $AJOG$ nội tiếp.

Bài 56. Từ $M$ nằm ngoài $(O)$ dựng tiếp tuyến $MA,MB$, kẻ đường kính $AE$, trên $ME, MO$ lấy $C,D$ sao cho $MC = MD = MA = MB$, $H$ là giao của $AB$ và $MO$. Chứng minh $\angle OCD = \angle DCH$.

bài 36.b

Dễ dàng có $\angle AIP = \angle ARP = \frac{1}{2} \angle KIP$ nên $IA$ là trung trực $KP$ suy ra dpcm.

diendan(82).PNG

Mở rộng bài 35. 

Bài 40. Từ $A$ nằm ngoài $(O)$ kẻ hai cát tuyến $ABC$ và $ADE$. Chứng minh rằng  $I$ là giao của $BE$ và $CE$ chạy trên một đường cố định khi cát tuyến thay đổi..

diendan(83).PNG

Bài 40.

Gọi $(BIC)$ giao $(CID)$ tại $K$, $AM,AN$ là hai tiếp tuyến, $AO$ cắt $MN$ tại $H$.

Theo brocard thì $OK \perp AK$.

Ta có $AI.AK = AB.AC = AD.AE = AM^2 = AH.AO \Rightarrow IKOH$ nội tiếp $\Rightarrow HI \perp OA \Rightarrow M,I,N$ thẳng hàng nên $I$ chạy trên $MN$.

Bài 53. Cho đường tròn tâm O. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến MA, MC (A, C là tiếp điểm), B thuộc cung lớn AC sao cho MB nằm giữa MO và MC. Tia MB cắt đường tròn tại Q khác B, cắt CA tại N.

        a) Gọi T là trung điểm của BQ. Chứng minh rằng MQ.MB=MN.MT

        b) Gọi K là điểm đối xứng với C qua B. Qua Q kẻ đường thẳng song song với BC cắt CM tại H. Chứng minh rằng QH, AC, MK đồng quy.

a) $O,T,C,M,A$ thuộc đường tròn đường kính $OM \Rightarrow \angle NCM = \angle CTM \Rightarrow MN.MT = MC^2 = MQ.MB$.

b) $QH$ cắt $AC$ tại $S$.

Dễ dàng chứng minh $CN$ là đường đối trung trong $\triangle QCB \Rightarrow \frac{QN}{NB} = \frac{QC^2}{BC^2} = \frac{MQ}{MB} \Rightarrow \frac{QS}{BC} = \frac{QH}{BC} \Rightarrow M,S,K$ thẳng hàng $\Rightarrow $ dpcm.

Bài 52. Cho điểm A thuộc đường tròn tâm O đường kính BC (A khác B và C). Vẽ đường tròn tâm A tiếp xúc với BC tại H, cắt đường tròn (O) tại E và F. Gọi I là trung điểm của HC, D là hình chiếu của I trên EF. Đường tròn đường kính AH cắt đường tròn (O) tại G.

         a) Chứng minh rằng các đường thẳng AG, EF, AB đồng quy.

         b) Chứng minh rằng ba điểm A, D, C thẳng hàng.

a) Gọi $AH$ giao $EF$ tại $S$, cắt $(O)$ tại $K$ và cắt $(A)$ tại $J$, $AC$ cắt đường tròn đường kính $AH$ tại $D'$, $EF$ cắt $BC$ tại $T$, $TA$ cắt $(O)$ tại $G'$..

Ta có $AJ = AH = HK$ , $EF$ là trục đẳng phương của $(O)$ và $(A) \Rightarrow SH.SJ  = SA.SK \Rightarrow \frac{SA}{SJ} = \frac{SH}{SK} = \frac{SA+SH}{SJ+SK} = \frac{AH}{KJ} = \frac{1}{3} \Rightarrow SA = SH.$

$SH^2 = SE.SF = SB.SC = SA.SG' \Rightarrow G$ nằm trên đường tròn $(S)$ nên $G \equiv G$.

Suy ra $AG,EF,BC$ đồng quy.

ý b.

Ta có $CD'.CA = CH^2 \Rightarrow HD' \perp AC \Rightarrow ID' \perp SD' \Rightarrow D' \equiv D \Rightarrow$ $dpcm$.

Bài 50:  Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong 1 đường tròn và ngoại tiếp một đường tròn khác , các tiếp điểm lần lượt là E,F,G,H. 

C/m: EG vuông góc với FH 

Cộng góc suy ra $\angle HGE + \angle GHF = \angle AHE  +\angle CGF = 90 \Rightarrow EG \perp FH$.

 

Bài 49. Cho tam giác ABC có B, C cố định và điểm A thay đổi sao cho tam giác ABC nhọn không cân. Gọi D là trung điểm của BC và E, F tương ứng là hình chiếu của D trên AC, AB.

         a) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Đường thẳng EF cắt AO và BC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua một điểm cố định.

         b) Các tiếp tuyến tại E, F của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt nhau tại T. Chứng minh rằng T luôn thuộc một đường thẳng cố định.

 

ý a.

$\angle ANM = \angle OAC + \angle EFA = \angle ADM \Rightarrow ANSM$ nội tiếp $\Rightarrow (AMN)$ đi qua $M$ cố định.

Ý b.

Gọi $ME$ cắt $AC$ tại $I$, $MF$ cắt $AB$ tại $J$, $S$ là trung điểm $IJ$.

Dễ dàng chứng minh $SE,SF$ là tiếp tuyến với $(AEF)$.

Bổ đề. Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$, $M$ là trung điểm của $BC$ ,đường thẳng qua $H$ vuông góc $HM$ cắt $AB,AC$ tại $D,E$, khi đó $HE = HD$.

Bổ đề khá quen thuộc.

Áp dụng bổ đề suy ra $SB = SC \Rightarrow S$ thuộc trung trực $BC$.

một cách chứng minh bổ đề.

Qua $C$ kẻ song song $DE$ cắt $AB$ tại $K$, $AH$ cắt $CK$ tại $N$.

Dễ dàng chứng minh $M$ là trực tâm $\triangle HCN \Rightarrow NM \parallel AB \Rightarrow NC = NK \Rightarrow HD = HE$.

Bài 46. Thi Nghệ An 2017 - 2018.

Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $A$ và $B$ . Trên tia đối của tia $AB$ lấy điểm $M$ từ $M$ kẻ hai tiếp tuyến $MC,MD$ với $(O')$, $AC,AD$ cắt $(O)$ tại $E,F$. Chứng minh rằng

1. Chứng minh rằng $CD$ đi qua trung điểm của $EF$.

2. $EF$ luôn đi qua một điểm cố định khi $M$ di động trên tia đối của tia $AB$.

Bài 47. Thi Thanh Hóa 2017 - 2018.

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ cố định và $D$ là chân đường phân giác trong góc $A$ của tam giác. Gọi $E$ và $F$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABD$ và tam giác $ACD$.

1. Chứng minh $\angle AEO = \angle ADC$ và tứ giác $AEOF$ là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh tam giác $EOF$ là tam giác cân.

3. Khi $BC$ cố định và $A$ di động trên $(O)$, chứng minh tứ giác $AEOF$ có diện tích không đổi.

.