tr2512

1. Cho 3 số thực a,b,c không âm và 2 trong 3 số không đồng thời bằng 0. chứng minh:

$\frac{1}{4a^{2}+b^2+c^2}+ \frac{1}{4b^2+c^2+a^2}+\frac{1}{4c^2+a^2+b^2}\leq \frac{1}{2(a^2+b^2+c^2)}+\frac{1}{ab+bc+ca}$

 

2. cho các số thực a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ca=1. chứng minh:

$\frac{a}{(3b+5c)^3}+\frac{b}{(3c+5a)^3}+\frac{c}{(3a+5b)^3}\geq \frac{9}{513}$

$2)$ Nhân cả 2 vế với $a^2+b^2+c^2$ bất đẳng thức trở thành:

$$\sum \dfrac{4a^2+b^2+c^2-3a^2}{4a^2+b^2+c^2} \le \dfrac{1}{2}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}$$

$$\Leftrightarrow 3\sum \dfrac{a^2}{4a^2+b^2+c^2}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \ge \dfrac{5}{2}$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$$\sum \dfrac{a^2}{4a^2+b^2+c^2} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{6(a^2+b^2+c^2)}$$

Đặt $a^2+b^2+c^2=x$; $ab+bc+ca=y$ bất đẳng thức trở thành:

$$\dfrac{x+2y}{2x}+\dfrac{x}{y} \ge \dfrac{5}{2}$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{(x-y)^2}{xy} \ge 0$$

Bất đẳng thức cuối luôn đúng.

Hoàn tất chứng minh.

$\lceil$ Chứng!minh $\rfloor$ ($\sqrt{2}\angle\pi/12-\angle\pi/3=-\angle\pi/6$)

$$\sqrt{2}\,\cos(\,4\pi w+ \pi/12\,)- \cos(\,4\pi w+ \pi/3\,)= \cos(\,4\pi w- \pi/6\,)$$

\[\begin{array}{l}
\sqrt 2 \cos \left( {4\pi \omega  + \frac{\pi }{{12}}} \right) - \cos \left( {4\pi \omega  + \frac{\pi }{3}} \right)\\
= \sqrt 2 \cos \left( {4\pi \omega  + \frac{\pi }{{12}}} \right) + \cos \left( {4\pi \omega  - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\\
= \sqrt 2 \left[ {\cos \left( {4\pi \omega } \right)\cos \left( {\frac{\pi }{{12}}} \right) - \sin \left( {4\pi \omega } \right)\sin \left( {\frac{\pi }{{12}}} \right)} \right] + \left[ {\cos \left( {4\pi \omega } \right)\cos \left( {\frac{{ - 2\pi }}{3}} \right) - \sin \left( {4\pi \omega } \right)\sin \left( {\frac{{ - 2\pi }}{3}} \right)} \right]\\
= \cos \left( {4\pi \omega } \right)\left[ {\sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{{12}}} \right) + \cos \left( {\frac{{ - 2\pi }}{3}} \right)} \right] - \sin \left( {4\pi \omega } \right)\left[ {\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{{12}}} \right) + \sin \left( {\frac{{ - 2\pi }}{3}} \right)} \right]
\end{array}\]

Để ý:

$$\cos {\left( {4\pi \omega } \right)^2} + \sin {\left( {4\pi \omega } \right)^2} = 1$$
$${\left[ {\sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{{12}}} \right) + \cos \left( {\frac{{ - 2\pi }}{3}} \right)} \right]^2} + {\left[ {\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{{12}}} \right) + \sin \left( {\frac{{ - 2\pi }}{3}} \right)} \right]^2} = 1$$

Do đó, đặt:

$$\sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{{12}}} \right) + \cos \left( {\frac{{ - 2\pi }}{3}} \right) = \cos \left( \alpha  \right)$$
$$\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{{12}}} \right) + \sin \left( {\frac{{ - 2\pi }}{3}} \right) = \sin \left( \alpha  \right)$$

$$\Rightarrow \tan \left( \alpha  \right) = \frac{{\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{{12}}} \right) + \sin \left( {\frac{{ - 2\pi }}{3}} \right)}}{{\sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{{12}}} \right) + \cos \left( {\frac{{ - 2\pi }}{3}} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \alpha  = \frac{{ - \pi }}{6}$$Do đó:

\[\sqrt 2 \cos \left( {4\pi \omega  + \frac{\pi }{{12}}} \right) - \cos \left( {4\pi \omega  + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {4\pi \omega } \right)\cos \left( \alpha  \right) - \sin \left( {4\pi \omega } \right)\sin \left( \alpha  \right) = \cos \left( {4\pi \omega  + \alpha } \right) = \cos \left( {4\pi \omega  - \frac{\pi }{6}} \right)\]

Mọi người ơi cho mình hỏi khi nào ta có thể giả sử a>=b>=c hay b nằm giữa a và c ạ.Mình cảm ơn

Giả sử $a \ge b \ge c$ khi $f(a,b,c)=f(a,c,b)=f(b,c,a)=f(b,a,c)=f(c,b,a)=f(c,a,b)$

Giả sử $b$ nắm giữa $a$ và $c$ khi $f(a,b,c)=f(b,c,a)=f(c,a,b)$

Câu 4:

Sử dụng bổ đề quen thuộc:

$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \ge \dfrac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2}}{{\sqrt[3]{{abc}}}}$$

Quy bài toán về chứng minh:

$$\frac{{\sqrt {3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} }}{{\sqrt[3]{{abc}}}} + \frac{3}{2}\frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} \ge \frac{9}{2}$$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$$\frac{{\sqrt {3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} }}{{\sqrt[3]{{abc}}}} + \frac{3}{2}\frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} $$

$$\ge\frac{{\sqrt {3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} }}{{\frac{{\sqrt {ab + bc + ca} }}{{\sqrt 3 }}}} + \frac{3}{2}\frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$$

$$=\frac{3}{2}\sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{ab + bc + ca}}}  + \frac{3}{2}\sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{ab + bc + ca}}}  + \frac{3}{2}\frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$$

$$\ge \dfrac{9}{2}$$

Hoàn tất chứng minh.

Viết dạng S*O*S $($với $a,\,b,\,c\geqq 0$$)$ của$:$

$$G= a^{\,3}+ b^{\,3}+ c^{\,3}- 3\,abc- 4(\,a- b\,)(\,b- c\,)(\,c- a\,)= G_{\,i}$$

$$(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3=3(a-b)(b-c)(c-a)$$