Xin được gửi các thành viên của diễn đàn bài viết của mình về sự liên hệ giữa lý thuyết số và lý thuyết nút:
"Tôpô số học: số nguyên tố giống nút như thế nào?"
07-03-2023 - 05:40
Xin được gửi các thành viên của diễn đàn bài viết của mình về sự liên hệ giữa lý thuyết số và lý thuyết nút:
"Tôpô số học: số nguyên tố giống nút như thế nào?"
11-02-2023 - 06:39
THÔNG TIN CHUNG
PHẠM TRÙ
Giống như nhiều đồng nghiệp của mình, tôi bị toán học lôi cuốn phần vì trí nhớ tệ của mình. Điều này có thể làm nhiều người bối rối khi họ nhớ rằng môn toán ở phổ thông là một mớ công thức phải thuộc — các đẳng thức lượng giác chẳng hạn. Nhưng tôi lại thấy chúng rất dễ chịu vì hầu hết những công thức thường dùy đều có thể rút ra từ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$, đẳng thức mà tự thân nó có một kiến giải hình học tao nhã: đó chỉ là hệ quả trực tiếp của định lý Pythagore cho tam giác vuông với cạnh huyền bằng 1 và một góc nhọn bằng $\theta$.
ĐỐI XỨNG
Các tầng trừu tượng, từ những cấu trúc toán học cụ thể đến những hệ tiên đề và sau đó là các vật trong phạm trù, mở ra một thách thức mới: sự “như nhau” giữa một vật và một vật khác không còn rõ ràng nữa. Chẳng hạn, một nhóm, đối tượng toán học được cho bởi một họ trừu tượng các phép đối xứng mà các phần tử của nó được Amie Wilkinson (Đại học Chicago) mô tả như những “chuyển động” lật hoặc xoay một đối tượng để đưa nó về trạng thái gần giống như ban đầu.
PHẠM TRÙ VÔ CỰC
MỘT SỐ THUẬT NGỮ TOÁN HỌC HIỆN ĐẠI
CHÂN TRỜI TƯƠNG LAI
30-01-2023 - 05:09
Khái niệm phạm trù mô hình (model category) được đưa ra bởi Quillen năm 1967, trong nỗ lực tổng quát hóa đại số đồng điều thành lý thuyết đồng luân cho các đối tượng không abel như không gian tô pô, nhóm, đại số trên một vành... Ngôn ngữ phạm trù mô hình và khái niệm đồng luân tổng quát là một phần quan trọng trong K-lý thuyết đại số cũng như hình học đại số.
Một phần của lý thuyết phạm trù mô hình và đồng luân là lý thuyết đồng luân đơn hình đã được viết ở bài https://diendantoanh...g-luân-đơn-hình.
Chúng ta sẽ trình bày những khái niệm và kết quả cơ bản của lý thuyết này.
1. Ví dụ: Không gian tô pô và phức dây chuyền
Xét phạm trù $\mathbf{Top}$ các không gian tô pô.
Nhắc lại rằng hai ánh xạ liên tục $f, g: X \to Y$ được gọi là đồng luân nếu tồn tại ánh xạ liên tục $H: X \times [0,1] \to Y$ sao cho $H(-,0) = f$ và $H(-,1) = g$ (một phép đồng luân giữa $f$ và $g$). Khi đó, ta ký hiệu $f \simeq g$.
Hai không gian $X$ và $Y$ được gọi là tương đương đồng luân nếu tồn tại các ánh xạ liên tục $f: X \leftrightarrows Y: g$ sao cho $fg \simeq 1_Y$ và $gf \simeq 1_X$. Khi đó, ta ký hiệu $X \simeq Y$.
Nếu $(X,x)$ và $(Y,y)$ là các không gian định điểm, ta ký hiệu hởi $[(X,x), (Y,y)]$ thương của tập hợp các ánh xạ định điểm $(X,x) \to (Y,y)$ bởi quan hệ đồng luân định điểm (một phép đồng luân định điểm $H$ giữa hai ánh xạ định điểm là một phép đồng luân sao cho $H(-,t)$ là ánh xạ định điểm với mọi $t \in [0,1]$). Với $n \ge 0$, Ký hiệu bởi $\pi_n(X,x) = [(\mathbb{S}^n,\ast),(X,x)]$. Ta có các hàm tử $\pi_n: \mathbf{Top}_\ast \to \mathbf{Set}$, hơn nữa $\pi_1$ là nhóm và $\pi_n$ là nhóm abel với $n \ge 2$.
Mệnh đề 1.1. Nếu $f: X \to Y$ là một tương đương đồng luân thì $\pi_0(f): \pi_0(X,x) \to \pi_0(Y,f(x))$ là một song ánh, và với mọi $x \in X$ cũng như $n \ge 1$ thì $\pi_n(f): \pi_n(X,x) \to \pi_n(Y,f(x))$ là một đẳng cấu nhóm.
Định nghĩa. Một tương đương đồng luân yếu là một ánh xạ liên tục $f: X \to Y$ sao cho các ánh xạ cảm sinh $\pi_n(f)$ thỏa mãn các điều kiện ở mệnh đề trên. Ta ký hiệu tương đương đồng luân yếu bởi $\tilde{\rightarrow}$. Hai không gian $X$ và $Y$ được gọi là tương đương yếu nếu tồn tại các tương đương đồng luân yếu $$X \tilde{\leftarrow} X_1 \tilde{\rightarrow} \cdots \tilde{\leftarrow} X_n \tilde{\rightarrow} Y.$$
Hiển nhiên, hai không gian tương đương yếu thì các nhóm đồng luân tương ứng đẳng cấu.
Trong các không gian tô pô, các CW-phức (hoặc các phức đơn hình...) đóng vai trò như những mô hình tổ hợp để tính toán các nhóm đồng luân. Thực tế, ta chỉ cần quan tâm đến lý thuyết đồng luân của chúng, nhờ vào các định lý sau đây.
Định lý 1.2. Với mỗi không gian tô pô $X$, tồn tại một CW-phức $Z$ và một tương đương đồng luân yếu $Z \to \tilde{\rightarrow} X$.
Định lý 1.3 (Xấp xỉ CW). Mỗi ánh xạ liên tục giữa hai CW-phức đều đồng luân với một ánh xạ phân phân ngăn.
Hơn nữa, để nói về tương đương đồng luân giữa các CW-phức, ta chỉ cần quan tâm đến tương đương yếu, nhờ
Định lý 1.4 (Whitehead). Mỗi tương đương đồng luân yếu giữa hai CW-phức là một tương đương đồng luân.
Mục đích của khái niệm phạm trù mô hình là cho phép, trong một phạm trù bất kỳ, nói về:
Một phạm trù khác nơi ta có thể làm lý thuyết đồng luân là phạm trù các phức dây chuyền (đồng luân ở đây được biến đến dưới dạng đại số đồng điều). Cho $R$ là một vành. Xét phạm trù $\mathbf{Ch}_{\ge 0}(R)$ các phức dây chuyền (chiều của vi phân là chiều giảm) các $R$-môđun tập trung ở bậc không âm.
Một phép đồng luân dây chuyền giữa hai ánh xạ dây chuyền $f, g: A \to B$ là một dãy các đồng cấu $h: A_n \to B_{n+1}$ sao cho $f - g = hd + dh$. Khi $h$ tồn tại, ta nói $f$ và $g$ đồng luân và ký hiệu $f \simeq g$.
Hai phức dây chuyền $A$ và $B$ được gọi là tương đương đồng luân nếu tồn tại các ánh xạ dây chuyền $f: A \leftrightarrows B: g$ sao cho $fg \simeq 1_B$ và $gf \simeq 1_A$. Khi đó, ta ký hiệu $A \simeq B$.
Mệnh đề 1.5. Nếu $f: A \to B$ là một tương đương đồng luân thì nó cảm sinh đẳng cấu $H_n(f): H_n(A) \to H_n(B)$ với mỗi $n \ge 0$.
Định nghĩa. Một tựa đẳng cấu là một ánh xạ dây chuyền $f: A \to B$ sao cho $H_n(f)$ là một đẳng cấu với mỗi $n \ge 0$. Ta ký hiệu tựa đẳng cấu bởi $\tilde{\rightarrow}$. Hai phức dây chuyền $A$ và $B$ được gọi là tựa đẳng cấu nếu tồn tại các tựa đẳng cấu $$A \tilde{\leftarrow} A_1 \tilde{\rightarrow} \cdots \tilde{\leftarrow} A_n \tilde{\rightarrow} B.$$
Hiển nhiên, hai phức tựa đẳng cấu thì các nhóm đồng điều tương ứng đẳng cấu.
Nhắc lại rằng một $R$-môđun $P$ được gọi là xạ ảnh nếu hàm tử $\text{Hom}_R(P,-): {}_R\mathbf{Mod} \to \mathbf{Ab}$ khớp (bảo toàn toàn cấu). Một $R$-môđun $I$ được gọi là nội xạ nếu hàm tử $\text{Hom}_R(-,I): {}_R\mathbf{Mod} \to \mathbf{Ab}$ khớp (biến đơn cấu thành toàn cấu).
Mệnh đề 1.6. Cho $f: A \to B$ là một tựa đẳng cấu giữa hai phức tập trung ở bậc không âm. Nếu $A$ nội xạ ở mọi bậc hoặc $B$ xạ ảnh ở mọi bậc thì $f$ là một tương đương đồng luân.
Như vậy, nếu muốn làm đại số đồng điều trong đó các phức sai khác tựa đẳng cấu, ta có hai mô hình:
Một trong những mục tiêu của lý thuyết đồng luân của Quillen là tổng quát hóa khái niệm "giải" ở trên cho các phạm trù không abel.
Ta nhắc lại về dãy khớp dài. Giả sử $0 \to A \xrightarrow{i} B \xrightarrow{p} C \to 0$ là một dãy khớp ngắn các phức dây chuyền, khi đó ta có dãy khớp dài $$\cdots \to H_n(A) \xrightarrow{i_\ast} H_n(B) \xrightarrow{p_\ast} H_n(C) \xrightarrow{\partial} H_{n-1}(A) \to \cdots \to H_0(C) \to 0,$$ trong đó $\partial$ là các đồng cấu nối. Có hai cách xây dựng các đồng cấu nối.
Để xây dựng dãy khớp dài cho các nhóm đồng luân của các không gian tô pô, ta cần các khái niệm tương tự (theo nghĩa đồng luân) với khái niệm đơn cấu và toàn cấu của phức dây chuyền. Đó là khái niệm (đối) phân thớ.
Định nghĩa 1.7. Một phân thớ Hurewicz là một ánh xạ liên tục $p: E \to B$ sao cho trong mọi biểu đồ giao hoán
1.png 12.76K
2 Số lần tải
$H$ có thể nâng thành một ánh xạ liên tục $\tilde{H}$. Nói cách khác, nếu ta có một phép đồng luân $H: X \times [0,1] \to B$ giữa hai ánh xạ liên tục $f,g: X \to B$ và một nâng $\tilde{f}: X \to E$ của $f$, thế thì ta có thể nâng $H$ thành một phép đồng luân giữa $\tilde{f}$ và một nâng $\tilde{g} = \tilde{H}(-,1)$ của $g$.
Mệnh đề 1.8. Kéo lùi của một phân thớ Hurewicz là một phân thớ Hurewicz.
Ví dụ 1.9. Cho $f: X \to Y$ là một ánh xạ liên tục. Ta định nghĩa không gian đường của $f$ bởi $$P_f = Y^{[0,1]} \times_Y X = \{(\gamma,x) \,|\, \gamma: [0,1] \times X, x \in X, \gamma(0) = f(x)\},$$ trong đó tô pô trên $Y^{[0,1]}$ là tô pô compact-mở. Thế thì ánh xạ $\text{ev}_1: P_f \to Y$ cho bởi $\text{ev}_1(\gamma,x) =\gamma(1)$ là một phân thớ Hurewicz. Hơn nữa, ta có phân tích $X \tilde{\hookrightarrow} P_f \xrightarrow{\text{ev}_1} Y$ - nghĩa là có thể phân tích mọi ánh xạ liên tục thành hợp của một phân thớ và một tương đương đồng luân yếu.
Mệnh đề 1.10. Cho $p: E \to B$ là một phân thớ với $B$ liên thông đường. Khi đó các thớ $E_b = p^{-1}(b)$ (với $b \in B$) tương đương đồng luân. Nếu ta lấy $b_0 \in B$, $F = p^{-1}(b_0)$ và $f_0 \in F$ thì ta có dãy khớp dài các nhóm đồng luân $$\cdots \to \pi_n(F,f_0) \to \pi_n(E,f_0) \to \pi_n(B,b_0) \to \pi_{n-1}(F,f_0) \to \cdots$$
Một cách đối ngẫu, ta có
Định nghĩa 1.11. Một đối phân thớ (Hurewicz) là một ánh xạ liên tục $i: A \to X$ sao cho trong mọi biểu đồ giao hoán
2.png 11.97K
2 Số lần tải
$h$ có thể mở rộng thành một ánh xạ liên tục $H$. Nói cách khác, nếu ta có một ánh xạ liên tục $f: X \to Y$ và một phép đồng luân giữa $h$ "hạn chế" $f \circ i = f|_A$ và một ánh xạ khác $g: A \to Y$, thì ta có thể mở rộng $h$ lên cả $X$.
Mệnh đề 1.12. Một đối phân thớ $i: A \to X$ cảm sinh một phép đồng phôi $i: A \to i(A)$. Nếu $X$ Hausdorff thì $i(A)$ đóng.
Ví dụ 1.13. Phép bao hàm của một CW-phức con trong một CW-phức là một đối phân thớ.
Ví dụ 1.14. Cho $f: A \to X$ là một ánh xạ liên tục. Ta định nghĩa hình trụ của $f$ bởi $$C_f = (A \times [0,1] \sqcup X) / \left\langle(a,0) \sim f(a): a \in A \right\rangle.$$ Ta có phân tích của $f$ thành hợp của một tương đương đồng luân yếu và một đối phân thớ $A \hookrightarrow C_f \tilde{\rightarrow} X$.
Cho hai ánh xạ liên tục $f,g: A \to X$. Nhận xét rằng, với $\gamma = (1_A,1_A): A \sqcup A \to A$ là ánh xạ hiển nhiên, cho một phép đồng luân giữa $f$ và $g$ cũng là cho một ánh xạ liên tục $H: C_\gamma \to Y$ sao cho hợp $A \sqcup A \to C_f \to X$ chính là ánh xạ $(f,g)$. Một cách đối ngẫu, xét $\delta = (1_X,1_X): X \to X \times X$ là ánh xạ đường chéo. Thế thì cho một ánh xạ liên tục $H: X \to P_\delta$ sao cho $\text{ev}_0 \circ H = f$ và $\text{ev}_1 \circ H = g$ cũng là cho một ánh xạ liên tục $u: A \to X$ cùng hai phép đồng luân $f \simeq u \simeq g$.
Định nghĩa. Cho $(X,A)$ là một cặp không gian và $a \in A$. Ta định nghĩa các tập hợp đồng luân tương đối $\pi_n(X,A)$ (với $n \ge 1$) là thương của tập hợp các ánh xạ liên tục $\gamma: [0,1]^n \to X$ sao cho $\gamma(\partial [0,1]^n) \subset A$ và $\gamma(\partial [0,1]^n \setminus ([0,1]^{n-1} \times \{0\})) \subset A = \{a\}$ sai khác đồng luân tương đối $A$. Đó là một nhóm với $n \ge 2$ và là một nhóm abel với $n \ge 3$.
Mệnh đề 1.15. Ta có dãy khớp dài các nhóm đồng luân $$\cdots \to \pi_n(A) \to \pi_n(X) \to \pi_n(X,A) \to \pi_{n-1}(A) \to \cdots$$
04-12-2022 - 04:06
1 - GIỚI THIỆU
Một định lý quen thuộc nói rằng mọi đa thức đối xứng đều biểu diễn được (một cách duy nhất) dưới dạng hàm đa thức theo các đa thức đối xứng sơ cấp. Cụ thể, nếu ta xét tác động hiển nhiên của nhóm đối xứng $S_n$ trên đại số đa thức $K[x_1,\ldots,x_n]$ (với $K$ là một trường tùy ý) thì ta có đẳng cấu đại số $$K[y_1,\ldots,y_n] \to K[x_1,\ldots,x_n]^{S_n} := \{f \in K[x_1,\ldots,x_n]: \forall \sigma \in S_n, \sigma \cdot f = f\}$$ $$y_i \mapsto e_i,$$ trong đó $e_i$ là đa thức đối xứng sơ cấp thứ $i$, được định nghĩa bởi $$\begin{align*} e_1 & = x_1 + \cdots + x_n, \\ e_2 & = \sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j, \\ \vdots \\ e_n & = x_1\cdots x_n.\end{align*}$$
Dễ thấy trong trường hợp trên, nhóm $S_n$ tác động lên $K[x_1,\ldots,x_n]$ bằng các đẳng cấu $K$-đại số phân bậc. Lý thuyết bất biến của nhóm hữu hạn quan tâm đến bài toán tổng quát: cho $G$ là một nhóm ma trận hữu hạn (một nhóm con của $\text{GL}_n(K)$), nó tác động lên không gian các đa thức thuần nhất bậc 1 (sinh bởi $x_1,\ldots,x_n$), vì thế tác động lên $K[x_1,\ldots,x_n]$ một cách tự nhiên. Ta biết gì về đại số con bất biến $K[x_1,\ldots,x_n]^G$?
Về mặt tính toán toán, người ta quan tâm đến các câu hỏi sau.
Các bài toán trên đều có lời giải bằng cách dùng cơ sở Gröbner.
Ở bài này, mình đề cập đến một số tính Để đơn giản, người ta thường xét trường hợp $K$ là một trường đóng đại số với đặc số 0, ký hiệu bởi $\mathbb{C}$. $G$ luôn là một nhóm con hữu hạn của $\text{GL}_n(\mathbb{C})$.
2 - TÍNH HỮU HẠN SINH
Ở mục này, ta chứng minh
Định lý hữu hạn Hilbert. $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$ là một $\mathbb{C}$-đại số hữu hạn sinh.
Trước hết, nhận xét rằng chiều Krull của $K[x_1,\ldots,x_n]^G$ bằng $n$. Thật vậy, thêm biến mới $t$ và xét các đa thức ẩn $t$ $$P_i(t) = \prod_{\sigma \in G} (t - g \cdot x_i)$$ với $i = 1,\ldots,n$. Dễ thấy $P_i \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G[t]$, $P_i$ là đa thức đơn khởi (monic) và $t = x_i$ là một nghiệm của $t$. Vậy $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$ là một mở rộng nguyên của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$ (hay $\mathbb{C}(x_1,\ldots,x_n)$ là một mở rộng đại số của trường các thương của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$).
Ý tưởng ở trên là xuất phát từ đa thức $t - x_i$, sau đó lấy tích của các $\sigma \cdot (t - x_i) = t - \sigma \cdot x_i$ với $\sigma \in G$ để thu được một phần tử của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G[t]$. Điều này gợi ý rằng việc lấy tích (hoặc tổng, hoặc trung bình...) theo $G$-quỹ đạo là một thao tác tự nhiên để thu được các đa thức bất biến.
Định nghĩa. Toán tử Reynolds $(-)^\ast: \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n] \to \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$ được định nghĩa bởi $$f \mapsto f^\ast := \frac{1}{|G|}\sum_{\sigma \in G} \sigma \cdot f.$$
Dễ thấy toán tử Reynolds thỏa mãn các tính chất sau.
Trong các chứng minh về sau, ta chỉ cần sử dụng 2 tính chất này của toán tử Reynolds. Nếu $G \subseteq \text{GL}_n(\mathbb{C})$ là một nhóm Lie compact (nói riêng, nó reductive) thì ta có thể định nghĩa $$f^\ast: = \int_G (\sigma \cdot f) d\sigma,$$ với $d\sigma$ là độ đo xác suất Haar trên $G$. Toán tử $(-)^\ast$ cũng thỏa mãn 2 tính chất trên nên nó sẽ đóng vai trò như toán tử Reynolds trong trường hợp $G$ hữu hạn.
Chứng minh Định lý hữu hạn Hilbert. Xét $I$ là ideal của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$ sinh bởi các đa thức bất biến thuần nhất bậc dương. Theo định lý cơ sở Hilbert, tồn tại các đa thức bất biến thuần nhất bậc dương $f_1,\ldots,f_m \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$ sao cho $$I = \left\langle f_1,\ldots,f_m \right\rangle.$$ Ta chứng minh rằng $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G = \mathbb{C}[f_1,\ldots,f_m]$. Giả sử phản chứng rằng tồn tại $g \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G \setminus \mathbb{C}[f_1,\ldots,f_m]$, thế thì ít nhất một thành phần thuần nhất của $g$ cũng không nằm trong $\mathbb{C}[f_1,\ldots,f_m]$, nên ta có thể giả sử $g$ thuần nhất. Chọn $g$ có bậc nhỏ nhất (và thuần nhất) như vậy. Vì $g \in I$ nên ta có thể viết $$g = g_1f_1 + \cdots g_m f_m$$ với $g_1,\ldots,g_m \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$. So sánh thành phần thuần nhất bậc $\deg(g)$ ở hai vế, ta có thể giả sử rằng mỗi đa thức $g_i$ thuần nhất bậc $\deg(g) - \deg(f_i) < \deg(g)$. Áp dụng toán tử Reynolds lên hai vế, ta được $$g = g_1^\ast f_1 + \cdots + g_m^\ast f_m.$$ Khi đó mỗi đa thức $g_i^\ast$ là bất biến và thuần nhất với bậc $\deg(g_i) < \deg(g)$, nên theo cách chọn $g$ thì $g_1^\ast,\ldots,g_m^\ast \in \mathbb{C}[f_1,\ldots,f_m]$, suy ra $g \in \mathbb{C}[f_1,\ldots,f_m]$, mâu thuẫn. $\square$
Theo chứng minh trên, ta thấy rằng một hệ sinh của ideal $I$ sẽ tự động là một hệ sinh của đại số con $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$.
3 - CÔNG THỨC MOLIEN
Ta muốn đếm số bất biến (độc lập tuyến tính) bậc $d$ cho trước. Ta có thể làm điều này bằng các tính chuỗi Hilbert $$\Phi_G(t) = \sum_{d = 0}^\infty \dim(\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G_d) t^d$$ của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$, trong đó $(-)_d$ chỉ thành phần thuần nhất bậc $d$.
Bổ đề. Cho $V$ là một không gian vector và $G$ là một nhóm con hữu han của $\text{GL}(V)$. Ký hiệu bởi $V^G = \{v \in V: \forall \sigma \in G, \qquad \}$ Khi đó $$\dim(V^G) = \frac{1}{|G|}\sum_{\sigma \in G} \text{Tr}(\sigma)$$ ($\text{Tr}$ chỉ vết của tự đồng cấu).
Chứng minh. Xét trung bình hóa $$\pi = \frac{1}{|G|} \sum_{\sigma \in G} \sigma: V \to V.$$ Dễ thấy $\pi(v) \in V^G$ với mọi $v \in V$ và $\pi(v) = v$ với mọi $v \in V^G$. Nói riêng, $\pi^2 = \pi$, hay $\pi$ là phép chiếu lên $V^G$. Vì thế $\pi$ chéo hóa được với các giá trị riêng là $0$ hoặc $1$. Do đó $\dim(V^G) = \text{rank}(\pi) = \text{Tr}(\pi) = \dfrac{1}{|G|}\sum_{\sigma \in G} \text{Tr}(\sigma).$ $\square$
Công thức Molien. Chuỗi Hilbert của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$ được cho bởi $$\Phi_G(t) = \frac{1}{|G|}\sum_{\sigma \in G} \frac{1}{\det(\text{id} - t \sigma)}.$$
Chứng minh. Cố định $\sigma \in G$. Với mỗi $d \ge 0$, ta có $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]_d = S^d \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]_1$ (ký hiệu $S^d$ chỉ lũy thừa đối xứng bậc $d$. Ký hiệu $\sigma_d = S^d\sigma: \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]_d \to \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]_d$ là tác động của $\sigma$ trên thành phần thuần nhất bậc $d$. Theo bổ đề trên, ta cần tính $\text{Tr}(\sigma_d)$. Vì $\sigma^{|G|} = \text{id}$ nên $\sigma$ chéo hóa được, gọi $v_1,\ldots,v_n$ là một cơ sở của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]_1$ gồm các vector riêng của $\sigma$, với các giá trị riêng tương ứng là $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$. Dễ thấy các $\sigma_d$ cũng chéo hóa được: Các vector $$v_{i_1}\cdots v_{i_d},$$ với $(i_1,\ldots,i_d) \in \{1,\ldots,n\}^n$ chạy trên các bộ sao cho $1 \le i_1 \le \cdots \le i_d \le n$, tạo thành một cơ sở của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]_d$ với các giá trị riêng tương ứng $\lambda_{i_1}\cdots \lambda_{i_d}$. Từ đây ta có $$\begin{align*} \sum_{d = 0}^{\infty} \text{Tr}(\sigma_d) & = \sum_{d = 0}^{\infty} \sum_{1 \le i_1 \le \cdots \le i_d \le n} \lambda_{i_1}\cdots \lambda_{i_d}t^d \\ & = (1 + \lambda_1t + \lambda_1^2t^2 + \cdots) \cdots (1 + \lambda_nt + \lambda_n^2t^2 + \cdots) \\ & = \frac{1}{(1 - \lambda_1 t) \cdots (1 - \lambda_n t)} \\ & = \frac{1}{\det(\text{id} - t\sigma)}. \end{align*}$$ Theo bổ đề trên, ta có $$\Phi_G(t) = \sum_{d = 0}^{\infty} \frac{1}{|G|} \sum_{\sigma \in G} \text{Tr}(\sigma_d) = \frac{1}{|G|}\sum_{\sigma \in G} \frac{1}{\det(\text{id} - t\sigma)}.$$ $\square$
09-07-2022 - 13:26
Gửi các thành viên trên diễn đàn ghi chú của mình về định lý phân loại mặt đóng, một định lý cơ bản của tô pô. Học sinh phổ thông có thể đọc được ghi chú này.
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học