nmlinh16

Xin được gửi các thành viên của diễn đàn bài viết của mình về sự liên hệ giữa lý thuyết số và lý thuyết nút:

"Tôpô số học: số nguyên tố giống nút như thế nào?"

https://drive.google...?usp=share_link

THÔNG TIN CHUNG

• Bài viết gốc: Infinity Category Theory Offers a Bird’s-Eye View of Mathematics, đăng trên Scientific American, Volume 325, Issue 4, October 2021. https://www.scientif...f-mathematics1/
• Tác giả: Giáo sư Emily Riehl, Johns Hopkins University, chuyên gia về lý thuyết phạm trù bậc cao và lý thuyết đồng luân, các công trình của cô liên quan đến phạm trù mô hình và nền tảng của lý thuyết phạm trù vô cực.
• Hình vẽ: Họa sĩ Matteo Farinella.
• Người dịch: Nguyễn Mạnh Linh, Université Paris-Saclay.

Với “vũ khí đầy mình”, tôi không kìm được mà lại gần người đàn ông trên đường. Đúng như dự đoán, nỗ lực giải thích, rằng vì sao tôi biết bài toán này không có lời giải, đã không đi tới đâu cả. Ngược lại, người đàn ông tuyên bố rằng những gì được dạy đã khiến tôi trở nên bảo thủ và không thể “mở mang cái đầu ra”. Sau cùng, bạn gái đã kéo được tôi khỏi cuộc tranh cãi và chúng tôi tiếp tục đi.

 

Nhưng vẫn còn đó một câu hỏi thú vị: Tại sao tôi, một đứa sinh viên năm ba vắt mũi chưa sạch, lại có thể học được cách dễ dàng thao túng các hệ thống số trừu tượng như các trường Galois chỉ trong vài tuần? Phần cuối của lớp học đó gồm nhóm đối xứng, vành đa thức và các cấu trúc liên quan, những thứ có lẽ sẽ làm đau đầu cả những người khổng lồ như Isaac Newton, Gottfried Leibniz, Leonhard Euler hay Carl Friedrich Gauss. Tại sao các nhà toán học lại có thể dạy cho các thế hệ sinh viên sau những khám phá làm kinh động cả những chuyên gia ở thế hệ trước?

 

PHẠM TRÙ

Giống như nhiều đồng nghiệp của mình, tôi bị toán học lôi cuốn phần vì trí nhớ tệ của mình. Điều này có thể làm nhiều người bối rối khi họ nhớ rằng môn toán ở phổ thông là một mớ công thức phải thuộc — các đẳng thức lượng giác chẳng hạn. Nhưng tôi lại thấy chúng rất dễ chịu vì hầu hết những công thức thường dùy đều có thể rút ra từ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$, đẳng thức mà tự thân nó có một kiến giải hình học tao nhã: đó chỉ là hệ quả trực tiếp của định lý Pythagore cho tam giác vuông với cạnh huyền bằng 1 và một góc nhọn bằng $\theta$.

Một ý tưởng toán học nghe có vẻ mâu thuẫn là đơn giản hóa bằng cách trừu tượng hóa. Như Eugenia Cheng đã viết trong “The Art of Logic in an Illogical World”(Nghệ thuật của logic trong một thế giới phi logic), “một trong những sức mạnh của trừu tượng hóa là nhiều bối cảnh khác nhau trở nên giống nhau khi bạn quên đi một số chi tiết.”Đại số hiện đại được tạo ra đầu thế kỷ XX khi các nhà toán học quyết định thống nhất nghiên cứu của họ trên nhiều ví dụ khác nhau về các cấu trúc đại số xuất hiện khi xem xét nghiệm của các hệ phương trình đa thức hay các cấu hình trong mặt phẳng. Để liên kết việc tìm hiểu các cấu trúc này, họ xác định các “tiên đề” mô tả những tính chất chung của chúng. Nhóm, vành và trường đã được đưa vào thế giới toán học, cùng ý tưởng rằng một đối tượng toán học có thể được mô tả bằng những tính chất nó có và được khám phá một cách “trừu tượng”, không phụ thuộc vào bối cảnh của những ví dụ hay xây dựng cụ thể.

 

John Horton Conway đã có một suy nghĩ nổi tiếng về bản thể luận kỳ lạ của các sự vật toán học: “Chúng chắc chắn có tồn tại, nhưng bạn không thể động chạm gì mà chỉ có thể nghĩ về chúng. Điều này thật đáng kinh ngạc, và tôi vẫn chưa hiểu, dù đã là nhà toán học suốt cuộc đời mình. Rằng làm thế nào một sự vật có thể ở đó mà lại không thực sự ở đó?'”

 

Nhưng thế giới của các đối tượng toán học tồn-tại-mà-không-thực-sự-ở-đó này có một vấn đề: Nó quá lớn cho bất kỳ ai để có thể hiểu được. Ngay trong đại số thôi đã có quá nhiều sự vật toán học để nghiên cứu, nhưng lại có quá ít thời gian để thể có thể thấy thấy cả đều hợp lý. Vào khoảng thế kỷ XX, các nhà toán học bắt đầu nghiên cứu đại số phổ dụng,  gồm một “tập hợp”, có thể là một họ những phép đối xứng, những con số trong một hệ thống hoặc thứ gì đó hoàn toàn khác, cùng một số phép toán — chẳng hạn như phép cộng và phép nhân — thỏa mãn một loạt các tiên đề liên quan như tính kết hợp, tính giao hoán hay tính phân phối. Với những điều chỉnh khác nhau như: “Phép toán được định nghĩa cục bộ hay toàn cục?”, “Nó có khả nghịch không?”, người ta thu được những cấu trúc đại số cơ bản: nhóm, vành và trường. Nhưng toán học thì không bị hạn chế bởi những điều chỉnh này, điều này cho thấy một phần rất nhỏ so với số lượng vô hạn các khả năng có thể xảy ra.

 

ĐỐI XỨNG

Các tầng trừu tượng, từ những cấu trúc toán học cụ thể đến những hệ tiên đề và sau đó là các vật trong phạm trù, mở ra một thách thức mới: sự “như nhau” giữa một vật và một vật khác không còn rõ ràng nữa. Chẳng hạn, một nhóm, đối tượng toán học được cho bởi một họ trừu tượng các phép đối xứng mà các phần tử của nó được Amie Wilkinson (Đại học Chicago) mô tả như những “chuyển động” lật hoặc xoay một đối tượng để đưa nó về trạng thái gần giống như ban đầu.

Ta có thể định nghĩa đẳng cấu trong bất kỳ phạm trù nào, cho phép ta chuyển khái niệm này giữa các ngữ cảnh toán học khác nhau. Một đẳng cấu giữa hai vật $A$ và $B$ trong một phạm trù được cho bởi một cặp biến đổi $f: A \to B$ và $g: B \to A$ với sao cho các phép biến đổi hợp thành $g \circ f$ và $f \circ g$ lần lượt là các biến đổi đồng nhất $\mathbf{1}_A$ và $\mathbf{1}_B$. Trong phạm trù các không gian tôpô, khái niệm đẳng cấu được mô tả bởi một cặp hàm liên tục nghịch đảo lẫn nhau. Chẳng hạn, có một phép biến dạng liên tục cho phép bạn biến đổi một chiếc bánh vòng (chưa nướng) thành hình dạng như tách cà phê: lỗ ở giữa chiếc bánh vòng trở thành quai cầm, và phần cốc được tạo thành bằng cách dùng ngón tay ép. (Để phép biến dạng là liên tục, bạn không được xé rách chiếc bánh, đó là lí do vì sao không nên nướng bánh trước khi làm trò này.)

 

Ví dụ này dẫn đến câu đùa rằng nhà tôpô học không thể phân biệt giữa tách cà phê và chiếc bánh vòng: với tư cách là các không gian trừu tượng, hai đối tượng này giống nhau. Trên thực tế, nhiều nhà tôpô học có khả năng phân biệt còn tệ hơn thế nữa kia; đó là vì họ đã sử dụng một quy ước linh hoạt hơn nhiều để mô tả tình huống khi hai không gian là “như nhau”, họ đồng nhất hai không gian bất kỳ mà chỉ “tương đương đồng luân” với nhau thôi. Thuật ngữ trên là khái niệm đẳng cấu trong một phạm trù kỳ lạ hơn, phạm trù đồng luân của các không gian. Một tương đương đồng luân là một kiểu biến dạng liên tục khác, nhưng lúc này bạn được phép dính hai điểm phân biệt với nhau. Chẳng hạn, tưởng tượng rằng bạn bắt đầu với chiếc quần jean và thu gọn chiều dài của hai ống quần đến khi bạn thu được chiếc quần lọt khe, một “không gian” khác mà cấu trúc tôpô về cơ bản là không đổi —nó vẫn có hai lỗ để cho chân vào, dù hai ống quần ($2$-chiều) ban đầu đã bị rút thành hai vòng dây ($1$-chiều).

 

PHẠM TRÙ VÔ CỰC

Ưu thế then chốt của phỏng nhóm cơ bản là tính “hàm tử”, nghĩa là mọi hàm liên tục $f: X \to Y$ giữa hai không gian tôpô cho ta một phép biến đổi $\pi_1 f: \pi_1 X \to \pi_1 Y$ giữa hai phỏng nhóm cơ bản. Phép biến đổi này tôn trọng phép hợp thành và đồng nhất của đường, nghĩa là $\pi_1(g \circ f) = \pi_1 g \circ \pi_1 f$ và $\pi_1(\mathbf{1}_x) = \mathbf{1}_{\pi_1 x}$. Hai tính chất này, gọi chung là “tính hàm tử”, gợi ý rằng phỏng nhóm cơ bản giữ được những tính chất cốt lõi của không gian tôpô. Nói riêng, nếu hai không gian không tương đương đồng luân thì phỏng nhóm cơ bản của chúng cũng không tương đương.

 

Dù vậy, phỏng nhóm cơ bản chưa phải là một bất biến hoàn chỉnh. Có thể dễ dàng phân biệt một đường tròn với hình tròn đặc mà đường tròn ấy bao quanh. Trong phỏng nhóm cơ bản của đường tròn, các đường giữa hai điểm cho trước, sai khác biến dạng liên tục (đồng luân), được gán với các số nguyên, chỉ số vòng mà đường này quay quanh đường tròn, với dấu $+$ hoặc $-$ chỉ chiều thuận hoặc ngược kim đồng hồ. Ngược lại, trong phỏng nhóm cơ bản của hình tròn, chỉ có duy nhất (sai khác đồng luân) một đường giữa bất kỳ cặp điểm nào. Phỏng nhóm cơ bản của phần bề mặt của quả bóng, hay một mặt cầu theo ngôn ngữ tôpô, cũng thỏa mãn chính chất này: tồn tại duy nhất, sai khác đồng luân, một đường giữa hai điểm bất kỳ.

 

 

 

 

CHÂN TRỜI TƯƠNG LAI

 

Dẫu vậy, kinh nghiệm lịch sử cho thấy rằng phần lớn những kiến thức toán học mới lạ nhất hôm nay sẽ dần trở nên đủ dễ để dạy cho sinh viên toán ngài mai. Sẽ rất vui khi được quan sát, với tư cách là một người nghiên cứu $\infty$-phạm trù, cách mà nó có thể được đơn giản hóa đi. Chẳng hạn như một mẹo nhỏ về ngôn ngữ —một phiên bản siêu cấp của từ “the” trong phạm trù —có thể khiến cho sinh viên ở cuối thế kỷ XXI hiểu $\infty$-phạm trù một cách dễ dàng như phạm trù thông thường ngày nay. Tiên đề then chốt của lý thuyết phạm trù thông thường là sự tồn tại duy nhất của một phép biến đổi hợp thành $g \circ f: X \to Z$ với mỗi cặp biến đổi $f: X \to Y$ và $g: Y \to Z$, được chọn ra từ tập các phép biến đổi từ $X$ vào $Z$. Trái lại, trong một $\infty$-phạm trù, có một không gian các mũi tên từ $X$ vào $Z$, thứ mà trong $\infty$-phỏng nhóm cơ bản có thể hiểu là “không gian đường”. Phiên bản đúng của tính hợp thành duy nhất trong phạm trù thông thường là mệnh đề: trong một $\infty$-phạm trù, không gian các hợp thành là “co rút được”, nghĩa là mỗi điểm của nó đều có thể suy sụp một cách liên tục qua một vụ nổ “Big Bang ngược” về một điểm gốc duy nhất.

 

Chú ý rằng tính co rút được không suy ra rằng có duy nhất một hợp thành: thật vậy, ta đã thấy rằng trong $\infty$-phỏng nhóm cơ bản, có thể có rất nhiều đường hợp thành. Nhưng tính co rút được đảm bảo rằng hai đường hợp thành luôn đồng luân, và hai phép đồng luân bất kỳ giữa hai đường hợp thành luôn liên kết với nhau bởi một đồng luân bậc cao, và cứ như vậy.

 

Khái niệm phạm trù mô hình (model category) được đưa ra bởi Quillen năm 1967, trong nỗ lực tổng quát hóa đại số đồng điều thành lý thuyết đồng luân cho các đối tượng không abel như không gian tô pô, nhóm, đại số trên một vành... Ngôn ngữ phạm trù mô hình và khái niệm đồng luân tổng quát là một phần quan trọng trong K-lý thuyết đại số cũng như hình học đại số.

Một phần của lý thuyết phạm trù mô hình và đồng luân là lý thuyết đồng luân đơn hình đã được viết ở bài https://diendantoanh...g-luân-đơn-hình.

Chúng ta sẽ trình bày những khái niệm và kết quả cơ bản của lý thuyết này.

1. Ví dụ: Không gian tô pô và phức dây chuyền

Xét phạm trù $\mathbf{Top}$ các không gian tô pô.

Nhắc lại rằng hai ánh xạ liên tục $f, g: X \to Y$ được gọi là đồng luân nếu tồn tại ánh xạ liên tục $H: X \times [0,1] \to Y$ sao cho $H(-,0) = f$ và $H(-,1) = g$ (một phép đồng luân giữa $f$ và $g$). Khi đó, ta ký hiệu $f \simeq g$.

Hai không gian $X$ và $Y$ được gọi là tương đương đồng luân nếu tồn tại các ánh xạ liên tục $f: X \leftrightarrows Y: g$ sao cho $fg \simeq 1_Y$ và $gf \simeq 1_X$. Khi đó, ta ký hiệu $X \simeq Y$.

Nếu $(X,x)$ và $(Y,y)$ là các không gian định điểm, ta ký hiệu hởi $[(X,x), (Y,y)]$ thương của tập hợp các ánh xạ định điểm $(X,x) \to (Y,y)$ bởi quan hệ đồng luân định điểm (một phép đồng luân định điểm $H$ giữa hai ánh xạ định điểm là một phép đồng luân sao cho $H(-,t)$ là ánh xạ định điểm với mọi $t \in [0,1]$). Với $n \ge 0$, Ký hiệu bởi $\pi_n(X,x) = [(\mathbb{S}^n,\ast),(X,x)]$. Ta có các hàm tử $\pi_n: \mathbf{Top}_\ast \to \mathbf{Set}$, hơn nữa $\pi_1$ là nhóm và $\pi_n$ là nhóm abel với $n \ge 2$. 

Mệnh đề 1.1. Nếu $f: X \to Y$ là một tương đương đồng luân thì $\pi_0(f): \pi_0(X,x) \to \pi_0(Y,f(x))$ là một song ánh, và với mọi $x \in X$ cũng như $n \ge 1$ thì $\pi_n(f): \pi_n(X,x) \to \pi_n(Y,f(x))$ là một đẳng cấu nhóm.

Định nghĩa. Một tương đương đồng luân yếu là một ánh xạ liên tục $f: X \to Y$ sao cho các ánh xạ cảm sinh $\pi_n(f)$ thỏa mãn các điều kiện ở mệnh đề trên. Ta ký hiệu tương đương đồng luân yếu bởi $\tilde{\rightarrow}$. Hai không gian $X$ và $Y$ được gọi là tương đương yếu nếu tồn tại các tương đương đồng luân yếu $$X \tilde{\leftarrow} X_1 \tilde{\rightarrow} \cdots \tilde{\leftarrow} X_n \tilde{\rightarrow} Y.$$

Hiển nhiên, hai không gian tương đương yếu thì các nhóm đồng luân tương ứng đẳng cấu.

Trong các không gian tô pô, các CW-phức (hoặc các phức đơn hình...) đóng vai trò như những mô hình tổ hợp để tính toán các nhóm đồng luân. Thực tế, ta chỉ cần quan tâm đến lý thuyết đồng luân của chúng, nhờ vào các định lý sau đây.

Định lý 1.2. Với mỗi không gian tô pô $X$, tồn tại một CW-phức $Z$ và một tương đương đồng luân yếu $Z \to \tilde{\rightarrow} X$.

Định lý 1.3 (Xấp xỉ CW). Mỗi ánh xạ liên tục giữa hai CW-phức đều đồng luân với một ánh xạ phân phân ngăn.

Hơn nữa, để nói về tương đương đồng luân giữa các CW-phức, ta chỉ cần quan tâm đến tương đương yếu, nhờ

Định lý 1.4 (Whitehead). Mỗi tương đương đồng luân yếu giữa hai CW-phức là một tương đương đồng luân.

Mục đích của khái niệm phạm trù mô hình là cho phép, trong một phạm trù bất kỳ, nói về:

• thế nào là "giống nhau sai khác đồng luân" (tương đương đồng luân) giữa hai vật;
• thế nào là một phép đồng luân, một tương đương đồng luân;
• những vật nào là đủ "tốt" (những "mô hình") mà trên đó ta chỉ cần quan tâm đến các tương đương đồng luân yếu.

Một phạm trù khác nơi ta có thể làm lý thuyết đồng luân là phạm trù các phức dây chuyền (đồng luân ở đây được biến đến dưới dạng đại số đồng điều). Cho $R$ là một vành. Xét phạm trù $\mathbf{Ch}_{\ge 0}(R)$ các phức dây chuyền (chiều của vi phân là chiều giảm) các $R$-môđun tập trung ở bậc không âm.

Một phép đồng luân dây chuyền giữa hai ánh xạ dây chuyền $f, g: A \to B$ là một dãy các đồng cấu $h: A_n \to B_{n+1}$ sao cho $f - g = hd + dh$. Khi $h$ tồn tại, ta nói $f$ và $g$ đồng luân và ký hiệu $f \simeq g$.

Hai phức dây chuyền $A$ và $B$ được gọi là tương đương đồng luân nếu tồn tại các ánh xạ dây chuyền $f: A \leftrightarrows B: g$ sao cho $fg \simeq 1_B$ và $gf \simeq 1_A$. Khi đó, ta ký hiệu $A \simeq B$.

Mệnh đề 1.5. Nếu $f: A \to B$ là một tương đương đồng luân thì nó cảm sinh đẳng cấu $H_n(f): H_n(A) \to H_n(B)$ với mỗi $n \ge 0$.

Định nghĩa. Một tựa đẳng cấu là một ánh xạ dây chuyền $f: A \to B$ sao cho $H_n(f)$ là một đẳng cấu với mỗi $n \ge 0$. Ta ký hiệu tựa đẳng cấu bởi $\tilde{\rightarrow}$. Hai phức dây chuyền $A$ và $B$ được gọi là tựa đẳng cấu nếu tồn tại các tựa đẳng cấu $$A \tilde{\leftarrow} A_1 \tilde{\rightarrow} \cdots \tilde{\leftarrow} A_n \tilde{\rightarrow} B.$$

Hiển nhiên, hai phức tựa đẳng cấu thì các nhóm đồng điều tương ứng đẳng cấu.

Nhắc lại rằng một $R$-môđun $P$ được gọi là xạ ảnh nếu hàm tử $\text{Hom}_R(P,-): {}_R\mathbf{Mod} \to \mathbf{Ab}$ khớp (bảo toàn toàn cấu). Một $R$-môđun $I$ được gọi là nội xạ nếu hàm tử $\text{Hom}_R(-,I): {}_R\mathbf{Mod} \to \mathbf{Ab}$ khớp (biến đơn cấu thành toàn cấu). 

Mệnh đề 1.6. Cho $f: A \to B$ là một tựa đẳng cấu giữa hai phức tập trung ở bậc không âm. Nếu $A$ nội xạ ở mọi bậc hoặc $B$ xạ ảnh ở mọi bậc thì $f$ là một tương đương đồng luân.

Như vậy, nếu muốn làm đại số đồng điều trong đó các phức sai khác tựa đẳng cấu, ta có hai mô hình:

• mô hình "xạ ảnh", nơi các vật "tốt ở nguồn" là các môđun xạ ảnh, và mọi vật đều "tốt ở đích". Mỗi $R$-môđun đều có một giải xạ ảnh $P_{\bullet} \to M$, nó đóng vai trò như các CW-phức cho các không gian tô pô.
• mô hình "nội xạ", nơi mọi vật đều "tốt ở nguồn" và các vật "tốt ở đích" là các môđun nội xạ.  Mỗi $R$-môđun đều có một giải nội xạ $M \to I_{\bullet}$, nó đóng vai trò đối ngẫu so với các CW-phức cho các không gian tô pô.

Một trong những mục tiêu của lý thuyết đồng luân của Quillen là tổng quát hóa khái niệm "giải" ở trên cho các phạm trù không abel.

Ta nhắc lại về dãy khớp dài. Giả sử $0 \to A \xrightarrow{i} B \xrightarrow{p} C \to 0$ là một dãy khớp ngắn các phức dây chuyền, khi đó ta có dãy khớp dài $$\cdots \to H_n(A) \xrightarrow{i_\ast} H_n(B) \xrightarrow{p_\ast} H_n(C) \xrightarrow{\partial} H_{n-1}(A) \to \cdots \to H_0(C) \to 0,$$ trong đó $\partial$ là các đồng cấu nối. Có hai cách xây dựng các đồng cấu nối.

1. Ta có thể xét ánh xạ dây chuyền $i: A \to B$ tùy ý (không nhất thiết là đơn cấu). Nón (cone) của $i$ là phức $C(i)$ cho bởi $B_n \oplus A_{n-1}$ ở bậc $n$ và vi phân $d(b,a) = (d(b) + i(a), d(a))$. Khi đó ta có dãy khớp dài ở trên khi thay $C$ bởi $C(i)$. Đồng cấu nối $\partial$ được cảm sinh từ phép chiếu $C(i) \to A[-1]$. Khi $i$ là đơn cấu, ta kiểm tra được rằng $C(i)$ tựa đẳng cấu với $C$.
2. Ta cũng có thể xét ánh xạ dây chuyền $p: B \to C$ tùy ý (không nhất thiết là toàn cấu). Thớ đồng luân (homotopy fiber) của $p$ là phức $K(p)$ cho bởi $B_n \oplus C_{n+1}$ ở bậc $n$ và vi phân $d(b,c) = d(b), p(b) + d(c))$. Khi đó ta có dãy khớp dài ở trên khi thay $A$ bởi $K(p)$. Đồng cấu nối $\partial$ được cảm sinh từ phép chiếu nhúng $C[1] \to K(p)$. Khi $p$ là toàn cấu, ta kiểm tra được rằng $K(p)$ tựa đẳng cấu với $A$.

Để xây dựng dãy khớp dài cho các nhóm đồng luân của các không gian tô pô, ta cần các khái niệm tương tự (theo nghĩa đồng luân) với khái niệm đơn cấu và toàn cấu của phức dây chuyền. Đó là khái niệm (đối) phân thớ.

Định nghĩa 1.7. Một phân thớ Hurewicz là một ánh xạ liên tục $p: E \to B$ sao cho trong mọi biểu đồ giao hoán

 1.png   12.76K   2 Số lần tải

$H$ có thể nâng thành một ánh xạ liên tục $\tilde{H}$. Nói cách khác, nếu ta có một phép đồng luân $H: X \times [0,1] \to B$ giữa hai ánh xạ liên tục $f,g: X \to B$ và một nâng $\tilde{f}: X \to E$ của $f$, thế thì ta có thể nâng $H$ thành một phép đồng luân giữa $\tilde{f}$ và một nâng $\tilde{g} = \tilde{H}(-,1)$ của $g$.

Mệnh đề 1.8. Kéo lùi của một phân thớ Hurewicz là một phân thớ Hurewicz.

Ví dụ 1.9. Cho $f: X \to Y$ là một ánh xạ liên tục. Ta định nghĩa không gian đường của $f$ bởi $$P_f = Y^{[0,1]} \times_Y X = \{(\gamma,x) \,|\, \gamma: [0,1] \times X, x \in X, \gamma(0) = f(x)\},$$ trong đó tô pô trên $Y^{[0,1]}$ là tô pô compact-mở. Thế thì ánh xạ $\text{ev}_1: P_f \to Y$ cho bởi $\text{ev}_1(\gamma,x) =\gamma(1)$ là một phân thớ Hurewicz. Hơn nữa, ta có phân tích $X \tilde{\hookrightarrow} P_f \xrightarrow{\text{ev}_1} Y$ - nghĩa là có thể phân tích mọi ánh xạ liên tục thành hợp của một phân thớ và một tương đương đồng luân yếu.

Mệnh đề 1.10. Cho $p: E \to B$ là một phân thớ với $B$ liên thông đường. Khi đó các thớ $E_b = p^{-1}(b)$ (với $b \in B$) tương đương đồng luân. Nếu ta lấy $b_0 \in B$, $F = p^{-1}(b_0)$ và $f_0 \in F$ thì ta có dãy khớp dài các nhóm đồng luân $$\cdots \to \pi_n(F,f_0) \to \pi_n(E,f_0) \to \pi_n(B,b_0) \to \pi_{n-1}(F,f_0) \to \cdots$$

Một cách đối ngẫu, ta có

Định nghĩa 1.11. Một đối phân thớ (Hurewicz) là một ánh xạ liên tục $i: A \to X$ sao cho trong mọi biểu đồ giao hoán

 2.png   11.97K   2 Số lần tải

$h$ có thể mở rộng thành một ánh xạ liên tục $H$. Nói cách khác, nếu ta có một ánh xạ liên tục $f: X \to Y$ và một phép đồng luân giữa $h$ "hạn chế" $f \circ i = f|_A$ và một ánh xạ khác $g: A \to Y$, thì ta có thể mở rộng $h$ lên cả $X$.

Mệnh đề 1.12. Một đối phân thớ $i: A \to X$ cảm sinh một phép đồng phôi $i: A \to i(A)$. Nếu $X$ Hausdorff thì $i(A)$ đóng. 

Ví dụ 1.13. Phép bao hàm của một CW-phức con trong một CW-phức là một đối phân thớ.

Ví dụ 1.14. Cho $f: A \to X$ là một ánh xạ liên tục. Ta định nghĩa hình trụ của $f$ bởi $$C_f = (A \times [0,1] \sqcup X) / \left\langle(a,0) \sim f(a): a \in A \right\rangle.$$ Ta có phân tích của $f$ thành hợp của một tương đương đồng luân yếu và một đối phân thớ $A \hookrightarrow C_f \tilde{\rightarrow} X$.

Cho hai ánh xạ liên tục $f,g: A \to X$. Nhận xét rằng, với $\gamma = (1_A,1_A): A \sqcup A \to A$ là ánh xạ hiển nhiên, cho một phép đồng luân giữa $f$ và $g$ cũng là cho một ánh xạ liên tục $H: C_\gamma \to Y$ sao cho hợp $A \sqcup A \to C_f \to X$ chính là ánh xạ $(f,g)$. Một cách đối ngẫu, xét $\delta = (1_X,1_X): X \to X \times X$ là ánh xạ đường chéo. Thế thì cho một ánh xạ liên tục $H: X \to P_\delta$ sao cho $\text{ev}_0 \circ H = f$ và $\text{ev}_1 \circ H = g$ cũng là cho một ánh xạ liên tục $u: A \to X$ cùng hai phép đồng luân $f \simeq u \simeq g$.

Định nghĩa. Cho $(X,A)$ là một cặp không gian và $a \in A$. Ta định nghĩa các tập hợp đồng luân tương đối $\pi_n(X,A)$ (với $n \ge 1$) là thương của tập hợp các ánh xạ liên tục $\gamma: [0,1]^n \to X$ sao cho $\gamma(\partial [0,1]^n) \subset A$ và $\gamma(\partial [0,1]^n \setminus ([0,1]^{n-1} \times \{0\})) \subset A = \{a\}$ sai khác đồng luân tương đối $A$. Đó là một nhóm với $n \ge 2$ và là một nhóm abel với $n \ge 3$.

Mệnh đề 1.15. Ta có dãy khớp dài các nhóm đồng luân $$\cdots \to \pi_n(A) \to \pi_n(X) \to \pi_n(X,A) \to \pi_{n-1}(A) \to \cdots$$

1 - GIỚI THIỆU

Một định lý quen thuộc nói rằng mọi đa thức đối xứng đều biểu diễn được (một cách duy nhất) dưới dạng hàm đa thức theo các đa thức đối xứng sơ cấp. Cụ thể, nếu ta xét tác động hiển nhiên của nhóm đối xứng $S_n$ trên đại số đa thức $K[x_1,\ldots,x_n]$ (với $K$ là một trường tùy ý) thì ta có đẳng cấu đại số $$K[y_1,\ldots,y_n] \to K[x_1,\ldots,x_n]^{S_n} := \{f \in K[x_1,\ldots,x_n]: \forall \sigma \in S_n, \sigma \cdot f = f\}$$ $$y_i \mapsto e_i,$$ trong đó $e_i$ là đa thức đối xứng sơ cấp thứ $i$, được định nghĩa bởi $$\begin{align*} e_1 & = x_1 + \cdots + x_n, \\ e_2 & = \sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j, \\ \vdots \\ e_n & = x_1\cdots x_n.\end{align*}$$

Dễ thấy trong trường hợp trên, nhóm $S_n$ tác động lên $K[x_1,\ldots,x_n]$ bằng các đẳng cấu $K$-đại số phân bậc. Lý thuyết bất biến của nhóm hữu hạn quan tâm đến bài toán tổng quát: cho $G$ là một nhóm ma trận hữu hạn (một nhóm con của $\text{GL}_n(K)$), nó tác động lên không gian các đa thức thuần nhất bậc 1 (sinh bởi $x_1,\ldots,x_n$), vì thế tác động lên $K[x_1,\ldots,x_n]$ một cách tự nhiên. Ta biết gì về đại số con bất biến $K[x_1,\ldots,x_n]^G$?

Về mặt tính toán toán, người ta quan tâm đến các câu hỏi sau.

1. Tìm một hệ sinh (theo nghĩa $K$-đại số) $f_1,\ldots,f_m$ cho $K[x_1,\ldots,x_n]^G$, tức là ta có toàn cấu $$K[y_1,\ldots,y_m] \to K[x_1,\ldots,x_n]^G, \qquad y_i \mapsto f_i.$$ (Ta sẽ thấy rằng hệ sinh như vậy luôn tồn tại theo định lý hữu hạn Hilbert, và kết quả vẫn đúng nếu thay điều kiện $G$ hữu hạn bằng reductive. Ngược lại, khi $G$ không reductive thì Nagata đã đưa ra một ví dụ nổi tiếng rằng đại số $K[x_1,\ldots,x_n]^G$ không nhất thiết hữu hạn sinh).
2. Giả sử $f_1,\ldots,f_m$ là một hệ sinh của $K[x_1,\ldots,x_n]^G$, tìm quan hệ đại số giữa các phần tử sinh $f_i$ (các đa thức $g_1,\ldots,g_k \in K[y_1,\ldots,y_m]$ sao cho $g_1(f_1,\ldots,f_m) = \ldots = g_k(f_1,\ldots,f_m) = 0$, các syzygy), tức là ta có đẳng cấu $$K[y_1,\ldots,y_m] / \left\langle g_1,\ldots,g_m \right\rangle \cong K[x_1,\ldots,x_n]^G, \qquad y_i \mapsto f_i.$$ (Tồn tại một hệ hữu hạn syzygy theo định lý cơ sở Hilbert).
3. Cho một đa thức bất biến $f \in K[x_1,\ldots,x_n]^G$, mô tả $f$ dưới dạng hàm đa thức theo các phần tử sinh, tức là tìm đa thức $g \in K[y_1,\ldots,y_m]$ sao cho $f = g(f_1,\ldots,f_m)$.

Các bài toán trên đều có lời giải bằng cách dùng cơ sở Gröbner.

Ở bài này, mình đề cập đến một số tính  Để đơn giản, người ta thường xét trường hợp $K$ là một trường đóng đại số với đặc số 0, ký hiệu bởi $\mathbb{C}$. $G$ luôn là một nhóm con hữu hạn của $\text{GL}_n(\mathbb{C})$.

2 - TÍNH HỮU HẠN SINH

Ở mục này, ta chứng minh

Định lý hữu hạn Hilbert. $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$ là một $\mathbb{C}$-đại số hữu hạn sinh.

Trước hết, nhận xét rằng chiều Krull của $K[x_1,\ldots,x_n]^G$ bằng $n$. Thật vậy, thêm biến mới $t$ và xét các đa thức ẩn $t$ $$P_i(t) = \prod_{\sigma \in G} (t - g \cdot x_i)$$ với $i = 1,\ldots,n$. Dễ thấy $P_i \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G[t]$, $P_i$ là đa thức đơn khởi (monic) và $t = x_i$ là một nghiệm của $t$. Vậy $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$ là một mở rộng nguyên của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$ (hay $\mathbb{C}(x_1,\ldots,x_n)$ là một mở rộng đại số của trường các thương của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$).

Ý tưởng ở trên là xuất phát từ đa thức $t - x_i$, sau đó lấy tích của các $\sigma \cdot (t - x_i) = t - \sigma \cdot x_i$ với $\sigma \in G$ để thu được một phần tử của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G[t]$. Điều này gợi ý rằng việc lấy tích (hoặc tổng, hoặc trung bình...) theo $G$-quỹ đạo là một thao tác tự nhiên để thu được các đa thức bất biến.

Định nghĩa. Toán tử Reynolds $(-)^\ast: \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n] \to \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$ được định nghĩa bởi $$f \mapsto f^\ast := \frac{1}{|G|}\sum_{\sigma \in G} \sigma \cdot f.$$

Dễ thấy toán tử Reynolds thỏa mãn các tính chất sau.

1. $f^\ast \in f \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$ với mọi $f \in f \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$ và $f^\ast = f$ với mọi $f \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$, tức là $(-)^\ast$ là một phép chiếu lên $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$).
2. $(fg)^\ast = f g^\ast$ với mọi $f \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$ và $g \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$, tức là $(-)^\ast$ là một đồng cấu $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$-module.

Trong các chứng minh về sau, ta chỉ cần sử dụng 2 tính chất này của toán tử Reynolds. Nếu $G \subseteq \text{GL}_n(\mathbb{C})$ là một nhóm Lie compact (nói riêng, nó reductive) thì ta có thể định nghĩa $$f^\ast: = \int_G (\sigma \cdot f) d\sigma,$$ với $d\sigma$ là độ đo xác suất Haar trên $G$. Toán tử $(-)^\ast$ cũng thỏa mãn 2 tính chất trên nên nó sẽ đóng vai trò như toán tử Reynolds trong trường hợp $G$ hữu hạn.

Chứng minh Định lý hữu hạn Hilbert. Xét $I$ là ideal của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$ sinh bởi các đa thức bất biến thuần nhất bậc dương. Theo định lý cơ sở Hilbert, tồn tại các đa thức bất biến thuần nhất bậc dương $f_1,\ldots,f_m \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$ sao cho $$I = \left\langle f_1,\ldots,f_m \right\rangle.$$ Ta chứng minh rằng $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G = \mathbb{C}[f_1,\ldots,f_m]$. Giả sử phản chứng rằng tồn tại $g \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G \setminus \mathbb{C}[f_1,\ldots,f_m]$, thế thì ít nhất một thành phần thuần nhất của $g$ cũng không nằm trong $\mathbb{C}[f_1,\ldots,f_m]$, nên ta có thể giả sử $g$ thuần nhất. Chọn $g$ có bậc nhỏ nhất (và thuần nhất) như vậy. Vì $g \in I$ nên ta có thể viết $$g = g_1f_1 + \cdots g_m f_m$$ với $g_1,\ldots,g_m \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$. So sánh thành phần thuần nhất bậc $\deg(g)$ ở hai vế, ta có thể giả sử rằng mỗi đa thức $g_i$ thuần nhất bậc $\deg(g) - \deg(f_i) < \deg(g)$. Áp dụng toán tử Reynolds lên hai vế, ta được $$g = g_1^\ast f_1 + \cdots + g_m^\ast f_m.$$ Khi đó mỗi đa thức $g_i^\ast$ là bất biến và thuần nhất với bậc $\deg(g_i) < \deg(g)$, nên theo cách chọn $g$ thì $g_1^\ast,\ldots,g_m^\ast \in \mathbb{C}[f_1,\ldots,f_m]$, suy ra $g \in \mathbb{C}[f_1,\ldots,f_m]$, mâu thuẫn. $\square$

Theo chứng minh trên, ta thấy rằng một hệ sinh của ideal $I$ sẽ tự động là một hệ sinh của đại số con $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$.

3 - CÔNG THỨC MOLIEN

Ta muốn đếm số bất biến (độc lập tuyến tính) bậc $d$ cho trước. Ta có thể làm điều này bằng các tính chuỗi Hilbert $$\Phi_G(t) = \sum_{d = 0}^\infty \dim(\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G_d) t^d$$ của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$, trong đó $(-)_d$ chỉ thành phần thuần nhất bậc $d$.

Bổ đề. Cho $V$ là một không gian vector và $G$ là một nhóm con hữu han của $\text{GL}(V)$. Ký hiệu bởi $V^G = \{v \in V: \forall \sigma \in G, \qquad \}$ Khi đó $$\dim(V^G) = \frac{1}{|G|}\sum_{\sigma \in G} \text{Tr}(\sigma)$$ ($\text{Tr}$ chỉ vết của tự đồng cấu).

Chứng minh. Xét trung bình hóa $$\pi = \frac{1}{|G|} \sum_{\sigma \in G} \sigma: V \to V.$$ Dễ thấy $\pi(v) \in V^G$ với mọi $v \in V$ và $\pi(v) = v$ với mọi $v \in V^G$. Nói riêng, $\pi^2 = \pi$, hay $\pi$ là phép chiếu lên $V^G$. Vì thế $\pi$ chéo hóa được với các giá trị riêng là $0$ hoặc $1$. Do đó $\dim(V^G) = \text{rank}(\pi) = \text{Tr}(\pi) = \dfrac{1}{|G|}\sum_{\sigma \in G} \text{Tr}(\sigma).$ $\square$
 

Công thức Molien. Chuỗi Hilbert của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$ được cho bởi $$\Phi_G(t) = \frac{1}{|G|}\sum_{\sigma \in G} \frac{1}{\det(\text{id} - t \sigma)}.$$

Chứng minh. Cố định $\sigma \in G$. Với mỗi $d \ge 0$, ta có $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]_d = S^d \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]_1$ (ký hiệu $S^d$ chỉ lũy thừa đối xứng bậc $d$. Ký hiệu $\sigma_d = S^d\sigma: \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]_d \to \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]_d$ là tác động của $\sigma$ trên thành phần thuần nhất bậc $d$. Theo bổ đề trên, ta cần tính $\text{Tr}(\sigma_d)$. Vì $\sigma^{|G|} = \text{id}$ nên $\sigma$ chéo hóa được, gọi $v_1,\ldots,v_n$ là một cơ sở của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]_1$ gồm các vector riêng của $\sigma$, với các giá trị riêng tương ứng là $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$. Dễ thấy các $\sigma_d$ cũng chéo hóa được: Các vector $$v_{i_1}\cdots v_{i_d},$$ với $(i_1,\ldots,i_d) \in \{1,\ldots,n\}^n$ chạy trên các bộ sao cho $1 \le i_1 \le \cdots \le i_d \le n$, tạo thành một cơ sở của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]_d$ với các giá trị riêng tương ứng $\lambda_{i_1}\cdots \lambda_{i_d}$. Từ đây ta có $$\begin{align*} \sum_{d = 0}^{\infty} \text{Tr}(\sigma_d) & = \sum_{d = 0}^{\infty} \sum_{1 \le i_1 \le \cdots \le i_d \le n} \lambda_{i_1}\cdots \lambda_{i_d}t^d \\ & = (1 + \lambda_1t + \lambda_1^2t^2 + \cdots) \cdots (1 + \lambda_nt + \lambda_n^2t^2 + \cdots) \\ & = \frac{1}{(1 - \lambda_1 t) \cdots (1 - \lambda_n t)} \\ & = \frac{1}{\det(\text{id} - t\sigma)}. \end{align*}$$ Theo bổ đề trên, ta có $$\Phi_G(t) = \sum_{d = 0}^{\infty} \frac{1}{|G|} \sum_{\sigma \in G} \text{Tr}(\sigma_d) = \frac{1}{|G|}\sum_{\sigma \in G} \frac{1}{\det(\text{id} - t\sigma)}.$$ $\square$

Gửi các thành viên trên diễn đàn ghi chú của mình về định lý phân loại mặt đóng, một định lý cơ bản của tô pô. Học sinh phổ thông có thể đọc được ghi chú này.

https://drive.google...iew?usp=sharing