Tìm kiếm
Nam
Ở chủ đề này, mình sẽ ghi chú lại những gì mình đã học được từ một working group ở labo tên là "Bruhat–Tits: A family friendly edition".
Bài 1. Công trình (building) của $\mathrm{SL}_2$
Xét nhóm Lie (thực) $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ gồm các ma trận vuông cỡ $2$ với định thức $1$. Nhóm con $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$ của nó, gồm ma trận của các phép quay, là một nhóm con compact cực đại. Xét đa tạp thương $\mathfrak{X} := \mathrm{SL}_2(\mathbb{R})/\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$ (các phần tử của $\mathfrak{X}$ là các lớp kề trái của $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$ trong $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$) – một đa tạp như vậy còn được gọi là một không gian đối xứng (symmetric space). Ta có thể mô tả $\mathfrak{X}$ thông qua tác động của $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ trên nửa mặt phẳng Poincaré $$\mathbb{H}:=\{z \in \mathbb{C} : \mathrm{Im}(z) > 0\}$$ cho bởi $$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \cdot z := \frac{az+b}{cz+d}.$$ Khi đó nhóm dừng của $i \in \mathbb{H}$ bởi tác động này chính là $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$, vì thế ta có một song ánh $\mathfrak{X} \cong \mathbb{H}$. Ta kiểm tra được rằng đây thực chất là một phép đồng phôi.
Động lực để phát triển lý thuyết Bruhat–Tits là việc ta muốn mô tả không gian đối xứng $\mathrm{SL}_2(K)/\mathrm{SO}_2(K)$ khi $K$ là một trường địa phương phi Ác-si-mét như $\mathbb{Q}_p$ thay vì trường số thực (tổng quát hơn, ta thay $\mathrm{SL}_2$ bởi một nhóm đại số tuyến tính quy giản (reductive), thậm chí là nửa đơn (semisimple)) và $\mathrm{SO}_2(K)$ bởi một nhóm con compact cực đại của $\mathrm{SL}_2(K)$.
Ở bài này ta đưa ra một mô tả như vậy cho $\mathrm{SL}_2(K)$, trong đó $K$ là một trường định giá rời rạc, với định giá $v: K \twoheadrightarrow \mathbb{Z} \cup \{\infty\}$. Ký hiệu
$\mathcal{O}:=\{x \in K: v(x) \ge 0\}$ là vành định giá của $K$,
$\mathfrak{m}:=\{x \in K: v(x) > 0\}$ là iđêan cực đại của $\mathcal{O}$, và $\varpi \in \mathfrak{m}$ là một phần tử đơn trị hóa,
$\kappa:=\mathcal{O}/\mathfrak{m}$ là trường thặng dư.
Trong $\mathrm{SL}_2(K)$, các nhóm con bị chặn cực đại thuộc về hai lớp liên hợp khác nhau (ở đây, bị chặn nghĩa là các hệ số của các ma trận trong nhóm con đó bị chặn dưới, khi $\kappa$ hữu hạn, hay $K$ compact địa phương, thì điều này tương đương với tính compact), chúng lần lượt được đại diện bởi $$P_0:=\begin{bmatrix} \mathcal{O} & \mathcal{O} \\ \mathcal{O} & \mathcal{O} \end{bmatrix} \cap \mathrm{SL}_2(K) = \mathrm{SO}_2(K)$$ và $$P_{1/2}:=\begin{bmatrix} \mathcal{O} & \mathfrak{m}^{-1} \\ \mathfrak{m} & \mathcal{O} \end{bmatrix} \cap \mathrm{SL}_2(K).$$ Chú ý rằng hai nhóm trên liên hợp trong $\mathrm{GL}_2(K)$ (chẳng hạn, bởi ma trận $\begin{bmatrix} \pi & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$), nhưng trong $\mathrm{SL}_2(K)$ thì không. Ta còn gọi chúng là các nhóm con parahoric của $\mathrm{SL}_2(K)$.
Trong lý thuyết Bruhat–Tits, công trình (building) ứng với $\mathrm{SL}_2$ "tham số hóa" các $\mathrm{SL}_2(K)$-quỹ đạo liên hợp của $P_0$ và $P_{1/2}$ (nói cách khác, của tất cả các nhóm con bị chặn cực đại).
1. Căn hộ tiêu chuẩn (standard appartment)
Xét xuyến cực đại $T \subseteq \mathrm{SL}_2$ gồm các ma trận đường chéo, và ký hiệu bởi $N:=N_{\mathrm{SL}_2}(T)$ nhóm chuẩn tắc hóa của $T$. Ta có nghiêm dương tiêu chuẩn (standard positive root) $$\alpha: T \to \mathbb{G}_m, \quad \begin{bmatrix} x & 0 \\ 0 & x^{-1} \end{bmatrix} \mapsto x^2$$ cũng như đối nghiệm (coroot) $$\alpha^\vee: \mathbb{G}_m \to T, \quad x \mapsto \begin{bmatrix} x & 0 \\ 0 & x^{-1} \end{bmatrix}.$$ Khi đó $\alpha^{\vee}$ là một đẳng cấu, cấu xạ ngược $w_\alpha$ của nó được gọi là trọng cơ bản (fundamental weight) của $T$. Ta dùng $\alpha^{\vee}$ để đồng nhất nhóm đối đặc trưng $\mathbf{X}_\ast(T) := \operatorname{Hom}(\mathbb{G}_m,T)$ với $\mathbb{Z}$.
Căn hộ tiêu chuẩn của $\mathrm{SL}_2(K)$ được định nghĩa là đường thẳng affine thực $$\mathbb{A}:=\mathbf{X}_\ast(T) \otimes \mathbb{R} \cong \mathbb{R}.$$ Ngoài cấu trúc này, nó còn được trang bị một cấu trúc đơn hình (simplicial structure), tức là (do lý số chiều) gồm một tập hợp rời rạc các điểm (đỉnh) cũng như các đoạn mở giữa chúng (cạnh).
Ta ký hiệu $$T(K)_0:=\alpha^{\vee}(\mathcal{O}^\times) = T(\mathcal{O}) = \left\{\begin{bmatrix} x & 0 \\ 0 & x^{-1} \end{bmatrix}\right\}$$ là xuyến bị chặn trong $T(K)$. Hệ nghiệm (root system) $\Phi$ của $\mathrm{SL}_2$ gồm các đặc trưng $\alpha$ và $-\alpha$ (các phần tử của $\mathbf{X}^\ast(T) := \operatorname{Hom}(T,\mathbb{G}_m)$), mỗi nghiệm này định nghĩa một nhóm con một tham số (one-parameter subgroup) $$u_{\pm \alpha}: \mathbb{G}_a \to \mathrm{SL}_2, \quad u_\alpha(a) = \begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad u_\alpha(a) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -a & 1 \end{bmatrix}.$$
Với mỗi điểm $x \in \mathbb{A}$, ta ký hiệu $P_x$ là nhóm con của $\mathrm{SL}_2(K)$ sinh bởi $T(K)_0$ và $u_{\beta}(\mathfrak{m}^{-\lfloor\langle \beta, x \rangle \rfloor})$, với $\beta = \pm \alpha$. Ở đây, $\lfloor - \rfloor$ chỉ phần nguyên, còn $\langle -,- \rangle$ được cảm sinh từ phép ghép cặp hoàn hảo $$\mathbf{X}^\ast(T) \times \mathbf{X}_\ast(T) \to \operatorname{Hom}(\mathbb{G}_m,\mathbb{G}_m) = \mathbb{Z}$$ (chú ý rằng $\langle \alpha, \alpha^\vee \rangle = 2$ và $\langle w_\alpha, \alpha^\vee \rangle = 1$.
Chẳng hạn, với $x = 0$, ta có $P_0 = \mathrm{SO}_2(K)$. Với $x = \frac{1}{2}$, ta có $P_{1/2}=\begin{bmatrix} \mathcal{O} & \mathfrak{m}^{-1} \\ \mathfrak{m} & \mathcal{O} \end{bmatrix} \cap \mathrm{SL}_2(K)$ như trên. Với $0 < x < \frac{1}{2}$, ta có $P_x = \begin{bmatrix} \mathcal{O} & \mathcal{O} \\ \mathfrak{m} & \mathcal{O} \end{bmatrix} \cap \mathrm{SL}_2(K) = P_0 \cap P_{1/2}$ (nó còn được gọi là một nhóm con Iwahori).
Định nghĩa. Hệ nghiệm affine $\Psi^{\operatorname{aff}}$ của $\mathrm{SL}_2$ (ứng với $T$) gồm các phiếm hàm affine $\mathbb{A} \to \mathbb{R}$ có dạng $\beta + j$ với $j \in \mathbb{Z}$ và $\beta \in \Phi$ (hay $\beta = \pm \alpha$).
Ta định nghĩa tập đỉnh của công trình tiêu chuẩn bởi $$V(\mathbb{A}) = \{x \in \mathbb{A}:\langle \alpha,x\rangle \in \mathbb{Z}\} \cong \frac{1}{2} \mathbb{Z}$$ và tập cạnh $$E(\mathbb{A}) = \{(x,x+\tfrac{1}{2}): x \in \tfrac{1}{2}\mathbb{Z}\}.$$ Khi đó ta có $x \in V(\mathbb{A}) \iff P_x$ là nhóm con bị chặn cực đại của $\mathrm{SL}_2(K) \iff$ $\psi(x) = 0$ với một nghiệm affine $\psi$ nào đó.
Nếu $\sigma$ là một đơn hình trong phức đơn hình $\mathbb{A}$ (tức là một đỉnh hoặc một cạnh), ta ký hiệu $P_\sigma:=P_x$ nếu $\sigma$ là một đỉnh $x \in V(\mathbb{A})$, và $P_\sigma:=P_y$ nếu $\sigma$ là một cạnh $(x,x+\tfrac{1}{2})$, với $y \in (x,x+\tfrac{1}{2})$ tùy ý (hay $P_\sigma = P_x \cap P_{x+1/2}$).
Nhận xét rằng, nếu ta ký hiệu $U_\psi:=u_\beta(\mathfrak{m}^j) \subseteq \mathrm{SL}_2$ với mỗi nghiệm affine $\psi = \beta + j$, thì $P_\sigma$ chính là nhóm con sinh bởi $T(K)_0$ cùng các nhóm $U_\psi$ với $\psi$ thỏa mãn $\psi(\sigma) \ge 0$.
2. Nhóm Weyl affine
Tiếp theo, ta xét tác động liên hợp trên căn hộ tiêu chuẩn $\mathbb{A}$.
Có hai cách nhìn nhận tác động (liên hợp) của nhóm $N$ (nhóm chuẩn hóa của $T$) như sau.
Theo cách nhìn thứ nhất (sơ cấp), $T(K)$ tác động lên $\mathbb{A}$ bởi phép tịnh tiến (với vectơ tịnh tiến nguyên). Thật vậy, dễ thấy khi $x \in \mathbb{A}$ thì $P_{x+1}$ liên hợp với $P_x$ nhờ phần tử $$\alpha^{\vee}(\varpi^{-1}) = \begin{bmatrix} \varpi^{-1} & 0 \\ 0 & \varpi \end{bmatrix}$$ (nhắc lại rằng $\varpi$ là một phần tử đơn trị hóa của $\mathcal{O}$). Nhóm Weyl $W = W(\Phi) := N(K)/T(K) \cong \mathbb{Z}/2$ tác động lên $\mathbb{A}$ bởi phép nhân với $\pm 1$, vì ma trận $$w_0 := \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix} \in N(K)$$ thỏa mãn $w_0 P_\sigma w_0^{-1} = P_{-\sigma}$ với mọi đơn hình $\sigma$. Như vậy, nói nôm na thì tác động của $N(K)$ trên $\mathbb{A}$ giống như tác động của tích nửa trực tiếp $\mathbb{Z} \rtimes \mathbb{Z}/2$, trong đó nhân tử thứ nhât tác động tịnh tiến, còn nhân tử thứ hai tác động bằng cách nhân với $\pm 1$.
Theo cách nhìn nhận thứ hai, ta có thể định nghĩa trực tiếp tác động của $T(K)$ trên $\mathbb{A}$ bởi công thức $t \cdot x := x - w(t)$, trong đó $$w: T(K) \to \mathbf{X}_\ast(T), \quad \begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda^{-1} \end{bmatrix} \mapsto (\alpha^\vee)^{v(\lambda)}.$$ Ta mở rộng nó thành một tác động của $N(K)$ bằng cách tuyên bố rằng ma trận $w_0$ ở trên (một phần tử sinh của $N(K)$ modulo $T(K)$) tác động bởi công thức $x \mapsto -1$.
Hạt nhân của tác động nói trên là $$\{t \in T(K): w(t) = 0\} = T(\mathcal{O}),$$ vì thế ta có một tác động trung thành của $N(K)/T(\mathcal{O})$ trên $\mathbb{A}$. Từ dãy khớp $$1 \to T(K) \to N(K) \to W \to 1,$$ ta thu được dãy khớp $$1 \to T(K)/T(\mathcal{O}) \to N(K)/T(\mathcal{O}) \to W \to 1.$$ Ở đây, $T(K)/T(\mathcal{O}) \cong K^\times / \mathcal{O}^\times \cong \mathbb{Z}$. Dãy khớp này chẻ (ta có thể nâng phần tử sinh của $W \cong \mathbb{Z}/2$ thành $w_0 \in N(K)$. Vậy "nhóm Weyl affine" $N(K)/T(\mathcal{O})$ đẳng cấu với $\mathbb{Z} \rtimes \mathbb{Z}/2$. Tất nhiên, xây dựng này tương thích với tác động của $N(K)$ trên $\mathbb{A}$ được định nghĩa bởi phép liên hợp, nghĩa là $P_{n \cdot \sigma} = nP_\sigma n^{-1}$ với mọi $n \in N(K)$ và mọi đơn hình $\sigma$ của $\mathbb{A}$.
3. Công trình Bruhat–Tits của $\mathrm{SL}_2$
Công trình Bruhat–Tits $\mathfrak{X} = \mathfrak{X}(\mathrm{SL}_2(K))$ được định nghĩa là tập thương của $\mathrm{SL}_2(K) \times \mathbb{A}$ bởi quan hệ tương đương $\sim$, trong đó $(g,x) \sim (h,y)$ khi và chỉ khi tồn tại $n \in N(K)$ sao cho $y = n \cdot x$ và $g^{-1} hn \in P_x$. Sau đây là các tính chất quan trọng của công trình $\mathfrak{X}$.
- $\mathrm{SL}_2(K)$ tác động lên $\mathfrak{X}$ bởi công thức $g \cdot [h,x]:=[gh,x]$.
- Với $x \in \mathbb{A}$, nhóm dừng của điểm $[1,x] \in \mathfrak{X}$ chính là nhóm $P_x$ ở trên.
- Ánh xạ $\mathbb{A} \to \mathfrak{X}, x \mapsto [1,x]$, là một đơn ánh.
Vậy ta có $\mathfrak{X} = \bigcup_{g \in \mathrm{SL}_2(K)} g \cdot \mathbb{A}$, tức là $\mathfrak{X}$ được phủ bởi các công trình là $\mathrm{SL}_2(K)$-quỹ đạo của công trình tiêu chuẩn. - Với mọi $x,x' \in \mathfrak{X}$, tồn tại một công trình $\mathbb{A}' = g \cdot \mathbb{A}$ chứa cả $x$ và $x'$. Nói riêng, đồ thị $\mathfrak{X}$ liên thông. Ta chứng minh điều này bằng một phiên bản của phân tích Bruhat–Tits, nói rằng $\mathrm{SL}_2(K) = P_x N(K) P_{x'}$ (ở đây ta dùng các nhóm con parahoric $P_x$ thay vì các nhóm con Borel trong phân tích Bruhat thông thường).
- Với mỗi đơn hình $\sigma$ trong $\mathfrak{X}$ và mỗi công trình $\mathbb{A}$, tồn tại duy nhất một ánh xạ đơn hình $\rho: \mathfrak{X} \to \mathbb{A}$ với $\rho|_{\sigma} = \operatorname{id}$ ($\rho$ là một phép co rút về $\rho$, đồng thời với mọi công trình $\mathbb{A}'$ chứa $\sigma$, $\rho$ hạn chế thành một đẳng cấu $\mathbb{A}' \xrightarrow{\cong} \mathbb{A}$.
- $\mathfrak{X}$ là một cây (nói riêng, nó đơn liên).
- Mỗi đỉnh của $\mathfrak{X}$ kề với đúng $|\kappa|+1 = |\mathbb{P}^1(\kappa)|$ đỉnh khác. Chẳng hạn, nếu $|\kappa| = 2$ thì $\mathfrak{X}$ là một cây tam phân đầy đủ.
