Đến nội dung

nmlinh16

nmlinh16

Đăng ký: 18-03-2018
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 06:25
****-

Tôpô số học: số nguyên tố giống nút như thế nào?

07-03-2023 - 05:40

Xin được gửi các thành viên của diễn đàn bài viết của mình về sự liên hệ giữa lý thuyết số và lý thuyết nút:

"Tôpô số học: số nguyên tố giống nút như thế nào?"

https://drive.google...?usp=share_link


Lý thuyết phạm trù vô cực mang lại tầm nhìn “từ trên xuống” cho toán học

11-02-2023 - 06:39

THÔNG TIN CHUNG

  • Bài viết gốc: Infinity Category Theory Offers a Bird’s-Eye View of Mathematics, đăng trên Scientific American, Volume 325, Issue 4, October 2021. https://www.scientif...f-mathematics1/
  • Tác giả: Giáo sư Emily Riehl, Johns Hopkins University, chuyên gia về lý thuyết phạm trù bậc cao và lý thuyết đồng luân, các công trình của cô liên quan đến phạm trù mô hình và nền tảng của lý thuyết phạm trù vô cực.
  • Hình vẽ: Họa sĩ Matteo Farinella.
  • Người dịch: Nguyễn Mạnh Linh, Université Paris-Saclay.

 

Một ngày thu ở New England, khi còn là sinh viên năm ba, tôi đi ngang qua một ga tàu điện ngầm và một bài toán đã lọt vào mắt tôi. Một người đàn ông cùng những ý tưởng được vẽ nguệch ngoạc trên tường, một trong số đó là bài toán dựng một hình lập phương với thể tích gấp đôi một hình lập phương khác cho trước, bằng thước thẳng và compa. 
 
Điều này làm tôi phải dừng lại. Tôi đã thấy bài toán này trước đây, đó là một câu đố từ hơn hai thiên thiên kỷ trước, mà theo Plutarch thì tác giả là Plato. Một thanh thước thẳng (lý tưởng) cho phép kéo dài một đoạn thẳng theo cả hai hướng, và một chiếc compa cho phép vẽ một đường tròn với bán kính tùy ý và tâm cho trước. Cái khó của câu đố này là các điểm và độ dài được dựng ra sau cùng hoặc phải có từ đầu, hoặc phải được dựng từ những thông tin trước đó.
 
Để gấp đôi thể tích của hình lập phương, ta bắt đầu với độ dài cạnh của nó. Ta hoàn toàn có thể xem độ dài này là $1$ vì đó là độ dài duy nhất được cho trước. Để dựng hình lập phương lớn, ta cần tìm cách dựng cạnh của nó với độ dài yêu cầu, ở đây là $\sqrt[3]{2}$, mà chỉ dùng thước thẳng và compa.
 
Đây là một bài toán khó. Không ai giải được nó sau hơn 2000 năm. Cuối cùng thì, vào năm 1837, Pierre Laurent Wantzel đã giải thích tại sao chưa ai thành công, bằng cách chứng minh rằng bài toán không có lời giải. Chứng minh của ông sử dụng thứ toán học tối tân bấy giờ, được đặt nền móng bởi nhà toán học Pháp đương đại Évariste Galois, người đã chết ở tuổi 20 trong một cuộc đấu súng mà có lẽ là vì một drama ngoại tình. Cũng ở tuổi 20, bản thân tôi không đạt được những thành tựu toán học ấn tượng như vậy, nhưng ít nhất tôi cũng hiểu được chứng minh của Wantzel.
 
Ý tưởng như sau: Cho trước một điểm làm gốc và một đoạn với độ dài $1$, ta dễ dàng dựng được tất cả các điểm trên trục số với tọa độ hữu tỉ (tất nhiên ta đã lờ đi, như các nhà toán học hay làm, sự thật rằng ta không thể vẽ vô hạn điểm trong thời gian hữu hạn).
 
Wantzel đã chứng minh rằng, chỉ bằng những công cụ trên, mỗi điểm mới dựng phải là nghiệm của một phương trình đa thức bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ với các hệ số $a, b, c$ thu được từ các điểm đã dựng trước đó. Tuy nhiên, điểm $\sqrt[3]{2}$ lại là nghiệm của phương trình đa thức bậc ba $x^3 - 2 = 0$, và lý thuyết mở rộng trường của Galois đã chứng minh một cách thuyết phục rằng bạn không thể thu được nghiệm của một đa thức bất khả quy bậc ba chỉ bằng cách giải các phương trình bậc hai, về cơ bản là vì $3$ không phải là lũy thừa của $2$.
 
saw1021Rieh31_d.png
 
Với vũ khí đầy mình, tôi không kìm được mà lại gần người đàn ông trên đường. Đúng như dự đoán, nỗ lực giải thích, rằng vì sao tôi biết bài toán này không có lời giải, đã không đi tới đâu cả. Ngược lại, người đàn ông tuyên bố rằng những gì được dạy đã khiến tôi trở nên bảo thủ và không thể mở mang cái đầu ra. Sau cùng, bạn gái đã kéo được tôi khỏi cuộc tranh cãi và chúng tôi tiếp tục đi.
 
Nhưng vẫn còn đó một câu hỏi thú vị: Tại sao tôi, một đứa sinh viên năm ba vắt mũi chưa sạch, lại có thể học được cách dễ dàng thao túng các hệ thống số trừu tượng như các trường Galois chỉ trong vài tuần? Phần cuối của lớp học đó gồm nhóm đối xứng, vành đa thức và các cấu trúc liên quan, những thứ có lẽ sẽ làm đau đầu cả những người khổng lồ như Isaac Newton, Gottfried Leibniz, Leonhard Euler hay Carl Friedrich Gauss. Tại sao các nhà toán học lại có thể dạy cho các thế hệ sinh viên sau những khám phá làm kinh động cả những chuyên gia ở thế hệ trước?
 
saw1021Rieh32_d(1).png
 
Một phần câu trả lời đến từ những tiến bộ gần đây của toán học, thứ mang lại một cái nhìn từ trên xuống, thông qua các cấp độ trừu tượng ngày càng tăng. Lý thuyết phạm trù là một nhánh toán học giải thích khi nào những đối tượng toán học khác nhau được coi là như nhau. Định lý cơ bản của nó nói rằng bất kỳ đối tượng nào, bất kể phức tạp ra sao, đều hoàn toàn xác định khi biết quan hệ của nó với các đối tượng tương tự. Nhờ lý thuyết phạm trù, chúng ta dạy các nhà toán học trẻ những ý tưởng mới nhất bằng những quy tắc tổng quát có thể áp dụng cho những phạm trù khác nhau của toán học, thay vì đào sâu vào những quy luật đặc trưng chỉ áp dụng được trong một lĩnh vực đơn lẻ.
 
Khi toán học liên tục tiến hóa, cảm nhận của các nhà toán học về sự như nhaucủa hai vật cũng mở rộng theo. Trong vài thập kỷ vừa qua, tôi cùng nhiều nhà nghiên cứu đang phát triển lý thuyết phạm trù để hợp lý hóa khái niệm duy nhấtmới này. Những phạm trù mới, gọi là phạm trù vô cực ($\infty$-phạm trù), đã mở rộng lý thuyết phạm trù lên vô hạn chiều. Ngôn ngữ $\infty$-phạm trù mang lại cho các nhà toán học những công cụ mạnh mẽ để nghiên cứu những bài toán mà quan hệ giữa các vật quá rắc rối để có thể định nghĩa bằng phạm trù cổ điển. Góc nhìn thu nhỏ đến vô hạnnày mang lại một cách nghĩ mới mẻ cho những khái niệm cũ cũng như một con đường để khám phá những khái niệm mới.

 

 

 

PHẠM TRÙ

 

Giống như nhiều đồng nghiệp của mình, tôi bị toán học lôi cuốn phần vì trí nhớ tệ của mình. Điều này có thể làm nhiều người bối rối khi họ nhớ rằng môn toán ở phổ thông là một mớ công thức phải thuộc  các đẳng thức lượng giác chẳng hạn. Nhưng tôi lại thấy chúng rất dễ chịu vì hầu hết những công thức thường dùy đều có thể rút ra từ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$, đẳng thức mà tự thân nó có một kiến giải hình học tao nhã: đó chỉ là hệ quả trực tiếp của định lý Pythagore cho tam giác vuông với cạnh huyền bằng 1 và một góc nhọn bằng $\theta$.

 
Viễn cảnh toán học lý tưởng này, nơi mà mọi thứ đều hợp lý và chẳng cần ghi nhớ gì hết, đã phần nào đó sụp đổ ở cấp đại học. Lúc này, sinh viên được biến đến một rổ đối tượng toán học được triệu hồi từ vài thế kỷ trước. Nhómvành và trường thuộc về lĩnh vực toán học được gọi là Đại số, một từ có nguồn gốc từ cuốn sách viết ở thế kỷ IX bởi nhà toán học, thiên văn học Ba Tư Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, mà tựa sách dịch ra đại khái là "Khoa học của phục hồi và cân bằng". Suốt thiên niên kỷ sau đó, đại số đã tiến hóa từ việc nghiên cứu bản chất nghiệm của các hệ phương trình đa thức thành nghiên cứu các hệ thống số trừu tượng. Vì không có số thực $x$ nào thỏa mãn phương trình $x^2+1 = 0$, các nhà toán học đã tạo ra một hệ thống số mới  mà ngày nay gọi là số phức  bằng cách thêm một số ảo $i$ và quy định rằng $i^2+1 = 0$.
 
Đại số chỉ là một trong nhiều môn học ở chương trình toán đại học. Những môn cơ bản khác gồm Tôpô học  nghiên cứu trừu tượng về các không gian  và Giải tích, môn học bắt đầu với việc chặt chẽ hóa các tính toán trên hàm thực, trước khi rẽ sang những miền đất xa lạ hơn như không gian xác suất, biến ngẫu nhiên, đa tạp phức hay hàm chỉnh hình. Làm sao để sinh viên có thể thấy tất cả chúng đều hợp lý?
 
saw1021Rieh33_d.png
 
Một ý tưởng toán học nghe có vẻ mâu thuẫn là đơn giản hóa bằng cách trừu tượng hóa. Như Eugenia Cheng đã viết trong The Art of Logic in an Illogical World(Nghệ thuật của logic trong một thế giới phi logic), một trong những sức mạnh của trừu tượng hóa là nhiều bối cảnh khác nhau trở nên giống nhau khi bạn quên đi một số chi tiết.Đại số hiện đại được tạo ra đầu thế kỷ XX khi các nhà toán học quyết định thống nhất nghiên cứu của họ trên nhiều ví dụ khác nhau về các cấu trúc đại số xuất hiện khi xem xét nghiệm của các hệ phương trình đa thức hay các cấu hình trong mặt phẳng. Để liên kết việc tìm hiểu các cấu trúc này, họ xác định các tiên đề” mô tả những tính chất chung của chúng. Nhóm, vành và trường đã được đưa vào thế giới toán học, cùng ý tưởng rằng một đối tượng toán học có thể được mô tả bằng những tính chất nó có và được khám phá một cách trừu tượng, không phụ thuộc vào bối cảnh của những ví dụ hay xây dựng cụ thể.
 
John Horton Conway đã có một suy nghĩ nổi tiếng về bản thể luận kỳ lạ của các sự vật toán học: Chúng chắc chắn có tồn tại, nhưng bạn không thể động chạm gì mà chỉ có thể nghĩ về chúng. Điều này thật đáng kinh ngạc, và tôi vẫn chưa hiểu, dù đã là nhà toán học suốt cuộc đời mình. Rằng làm thế nào một sự vật có thể ở đó mà lại không thực sự ở đó?'
 
Nhưng thế giới của các đối tượng toán học tồn-tại-mà-không-thực-sự-ở-đó này có một vấn đề: Nó quá lớn cho bất kỳ ai để có thể hiểu được. Ngay trong đại số thôi đã có quá nhiều sự vật toán học để nghiên cứu, nhưng lại có quá ít thời gian để thể có thể thấy thấy cả đều hợp lý. Vào khoảng thế kỷ XX, các nhà toán học bắt đầu nghiên cứu đại số phổ dụng,  gồm một tập hợp, có thể là một họ những phép đối xứng, những con số trong một hệ thống hoặc thứ gì đó hoàn toàn khác, cùng một số phép toán  chẳng hạn như phép cộng và phép nhân  thỏa mãn một loạt các tiên đề liên quan như tính kết hợp, tính giao hoán hay tính phân phối. Với những điều chỉnh khác nhau như: Phép toán được định nghĩa cục bộ hay toàn cục?Nó có khả nghịch không?, người ta thu được những cấu trúc đại số cơ bản: nhóm, vành và trường. Nhưng toán học thì không bị hạn chế bởi những điều chỉnh này, điều này cho thấy một phần rất nhỏ so với số lượng vô hạn các khả năng có thể xảy ra.
 
saw1021Rieh34_d.png

 

Sự sinh sôi của các đối tượng toán học trừu tượng mới mang lại sự phức tạp cho chính chúng. Một cách để đơn giản hóa là trừu tượng hóa hơn nữa, đến mức ta có thể chứng minh các định lý cho hàng loạt đối tượng cùng lúc mà không cần biết rằng cụ thể chúng ta nói về loại đối tượng nào.
 
Lý thuyết phạm trù, ra đời vào những năm 40 bởi Samuel Eilenberg và Saunders Mac Lane, đã làm chính việc này. Dù ban đầu nó được đưa ra để định nghĩa chặt chẽ thuật ngữ lỏng lẻo hay dùng là tương đương tự nhiên, nó còn mang lại một cách nghĩ phổ quát về đại số phổ dụng cũng như các ngành toán học khác. Với ngôn ngữ cua Eilenberg và Mac Lane, ngày nay ta hiểu rằng mỗi loại đối tượng toán học đều thuộc về một phạm trù riêng, được định nghĩa là một họ các vật cùng các phép biến đổi được vẽ dưới dạng mũi tên giữa các vật. Chẳng hạn, trong đại số tuyến tính, người ta nghiên cứu các không gian véc tơ trừu tượng như không gian Euclid $3$-chiều. Các phép biến đổi tương ứng được gọi là các biến đổi tuyến tính, và mỗi phép biến đổi phải có một không gian nguồn và một không gian đích (đầu vào và đầu ra của phép biến đổi). Cũng như các hàm số, các phép biến đổi trong một phạm trù có thể hợp thành với nhau, nghĩa là ta áp dụng một phép biến đổi lên kết quả một phép biến đổi khác. Cho một cặp phép biến đổi $f: A \to B$ (đọc là f là một phép biến đổi từ A vào B) và $g: B \to C$, quy tắc của phạm trù trả về một phép biến đổi hợp thành duy nhất, ký hiệu bởi $g \circ f: A \to C$ (đọc là g hợp f là một phép biến đổi từ A vào C). Cuối cùng, quy tắc hợp thành này có tính kết hợp, nghĩa là $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$. Nó cũng có đơn vị: mỗi vật $B$ đều có một "biến đổi đồng nhất", thường ký hiệu bởi $\mathbf{1}_B$, thỏa mãn tính chất $g \circ \mathbf{1}_B = g$ và $\mathbf{1}_B \circ f = f$ với mọi phép biến đổi $g$ và $f$ lần lượt có nguồn và đích là $B$. 
 
Làm thế nào mà các phạm trù có thể giúp cô hay cậu sinh viên bất hạnh, người đã phải gặp quá nhiều đối tượng toán học và chẳng có đủ thời gian học hết? Bất kỳ lớp cấu trúc nào trong đại số phổ dụng có thể khác các lớp khác, nhưng các phạm trù chứa chúng thì rất giống nhau, theo một cách có thể diễn tả chính xác bằng ngôn ngữ phạm trù.
 
Với đủ kinh nghiệm, một nhà toán học sẽ biết rằng họ sẽ thấy gì khi gặp một kiểu đổi tượng đại số mới. Ý tưởng này được thể hiện trong các sách toán hiện đại mà lý thuyết nhóm, vành và không gian véctơ được trình bày theo một chuỗi, về cơ bản là các lý thuyết đó song song với nhau. Có những sự tương tự khác, lỏng lẻo hơn, giữa những những phạm trù này và một số phạm trù mà sinh viên gặp trong các môn tôpô hay giải tích, và những sự tương đồng đó đó giúp họ tiếp thu tài liệu mới nhanh hơn. Những khuôn mẫu như vậy cho phép sinh viên có thêm thời gian khám phá các chủ đề cụ thể có vai trò phân biệt các lĩnh vực của toán học  mặc dù những tiến bộ trong nghiên cứu toán học thường đến từ những sự tương tự mới và đáng ngạc nhiên giữa hai lĩnh vực không liên quan trước đó.

 

 

 

ĐỐI XỨNG

 

Các tầng trừu tượng, từ những cấu trúc toán học cụ thể đến những hệ tiên đề và sau đó là các vật trong phạm trù, mở ra một thách thức mới: sự như nhau giữa một vật và một vật khác không còn rõ ràng nữa. Chẳng hạn, một nhóm, đối tượng toán học được cho bởi một họ trừu tượng các phép đối xứng mà các phần tử của nó được Amie Wilkinson (Đại học Chicago) mô tả như những chuyển động lật hoặc xoay một đối tượng để đưa nó về trạng thái gần giống như ban đầu.

 
Chẳng hạn, ta có thể khám phá các phép đối xứng của một chiếc áo thun. Có một phép đối xứng được coi là chuyển động đồng nhất, khi mà người mặc chỉ đơn thuần là giữ chiếc áo thun như bình thường. Một phép đối xứng khác ứng với chuyển động mà người mặc bỏ tay ra khỏi tay áo, giữ áo ở cổ, xoay áo 180 độ và cho tay vào tay áo đối diện: mặt phải của áo vẫn ở ngoài nhưng áo được mặc ngược ra sau. Một phép đối xứng khác nữa ứng với chuyển động mà người mặc cởi áo ra, lộn mặt trong ra ngoài và mặc lại sao cho mỗi tay ở đúng tay áo ban đầu.  Lúc này chiếc áo thun bị lộn ngược trong ra ngoài và sau ra trước. Một phép đối xứng cuối cùng là kết hợp hai chuyển động trên: không giống như với phần lớn các nhóm, hai chuyển động này có thể thực hiện theo thứ tự tùy ý mà không làm thay đổi kết quả. Mỗi một trong bốn chuyển động trên được coi là một phép đối xứng vì sau cùng chiếc áo thun được mặc nói chung là giống như lúc đầu.
 
saw1021Rieh35_d.png
 
Một nhóm khác là nhóm lật thảm, nó mô tả các đối xứng của một tấm thảm. Bên cạnh chuyển động đồng nhất (tức là giữ nguyên tấm thảm), ta có thể xoay nó 180 độ, hoặc lật mặt dưới lên trên, hoặc kết hợp cả hai (tấm thảm nói chung không phải là hình vuông, nhưng nếu nó là hình vuông thì ta sẽ có nhiều phép đối xứng hơn nữa). Dù chiếc áo thun chẳng liên quan gì đến tấm thảm, có một trực giác rằng hai nhóm đối xứng trên có cùng dạng với nhau. Thứ nhất, cả hai nhóm đều có cùng số chuyển động (ở đây là bốn) và quan trọng hơn là ta có thể ghép mỗi chuyển động ở nhóm áo thun với nhóm lật thảm sao cho phép hợp thành chuyển động ở hai nhóm tương thích với nhau. Nói cách khác, ta có thể ghép cặp các chuyển động ở hai nhóm (phép đồng nhất ghép với phép đồng nhất, phép lật ghép với phép lật, phép xoay ghép với phép xoay, và cứ như vậy). Thứ hai, nếu ta lấy hai chuyển động từ một nhóm và thực hiện chúng theo trình tự, kết quả thu được sẽ giống với kết quả khi ta thực hiện hai chuyển động tương ứng từ nhóm còn lại theo trình tự. Về mặt kỹ thuật, các nhóm này được liên kết với nhau bởi một đẳng cấu (isomorphism), thuật ngữ được tạo ra bằng cách ghép từ gốc Hy Lạp isos, nghĩa là bằng, với morphe, nghĩa là dạng
 
Ta có thể định nghĩa đẳng cấu trong bất kỳ phạm trù nào, cho phép ta chuyển khái niệm này giữa các ngữ cảnh toán học khác nhau. Một đẳng cấu giữa hai vật $A$ và $B$ trong một phạm trù được cho bởi một cặp biến đổi $f: A \to B$ và $g: B \to A$ với sao cho các phép biến đổi hợp thành $g \circ f$ và $f \circ g$ lần lượt là các biến đổi đồng nhất $\mathbf{1}_A$ và $\mathbf{1}_B$. Trong phạm trù các không gian tôpô, khái niệm đẳng cấu được mô tả bởi một cặp hàm liên tục nghịch đảo lẫn nhau. Chẳng hạn, có một phép biến dạng liên tục cho phép bạn biến đổi một chiếc bánh vòng (chưa nướng) thành hình dạng như tách cà phê: lỗ ở giữa chiếc bánh vòng trở thành quai cầm, và phần cốc được tạo thành bằng cách dùng ngón tay ép. (Để phép biến dạng là liên tục, bạn không được xé rách chiếc bánh, đó là lí do vì sao không nên nướng bánh trước khi làm trò này.)
 
Ví dụ này dẫn đến câu đùa rằng nhà tôpô học không thể phân biệt giữa tách cà phê và chiếc bánh vòng: với tư cách là các không gian trừu tượng, hai đối tượng này giống nhau. Trên thực tế, nhiều nhà tôpô học có khả năng phân biệt còn tệ hơn thế nữa kia; đó là vì họ đã sử dụng một quy ước linh hoạt hơn nhiều để mô tả tình huống khi hai không gian là như nhau, họ đồng nhất hai không gian bất kỳ mà chỉ tương đương đồng luân với nhau thôi. Thuật ngữ trên là khái niệm đẳng cấu trong một phạm trù kỳ lạ hơn, phạm trù đồng luân của các không gian. Một tương đương đồng luân là một kiểu biến dạng liên tục khác, nhưng lúc này bạn được phép dính hai điểm phân biệt với nhau. Chẳng hạn, tưởng tượng rằng bạn bắt đầu với chiếc quần jean và thu gọn chiều dài của hai ống quần đến khi bạn thu được chiếc quần lọt khe, một không gian khác mà cấu trúc tôpô về cơ bản là không đổi nó vẫn có hai lỗ để cho chân vào, dù hai ống quần ($2$-chiều) ban đầu đã bị rút thành hai vòng dây ($1$-chiều).
 
saw1021Rieh36_d.png

 

Một phép tương đương đồng luân khác thu hết toàn bộ không gian Euclid vô hạn $3$-chiều về một điểm bằng một vụ nổ Big Bang ngược, khi mọi điểm đều thu về gốc, với tốc độ tăng dần theo khoảng cách giữa điểm đó với vị trí ban đầu của vụ nổ. 
 
Trực giác rằng ta có thể dùng các vật đẳng cấu để thay thế nhau mà về cơ bản không làm thay đổi bản chất của phép xây dựng hay suy luận, là một trực giác rất mạnh mà các nhà lý thuyết phạm trù đã phải định nghĩa lại từ the trong tiếng Anh bởi thứ mà gần giống như từ a. Chẳng hạn, có một khái niệm gọi là hợp rời của hai tập hợp $A$ và $B$. Giống như hợp thông thường, hợp rời $A \sqcup B$ chứa một bản sao của mỗi phần tử của $A$ cũng như của $B$. Nó khác hợp thông thường ở chỗ, nếu $A$ và $B$ có phần tử chung thì hợp rời $A \sqcup B$ chứa tới hai bản sao của phần tử đó, một bản sao nhớ rằng nó đến từ $A$ và bản sao còn lại nhớ rằng nó đến từ $B$.
 
Có nhiều cách khác nhau để xây dựng hợp rời từ các tiên đề của lý thuyết tập hợp, chúng không cho chính xác cùng một tập hợp, nhưng sẽ cho các tập hợp đẳng cấu với nhau. Thay vì tốn thời gian tranh luận rằng cách xây dựng nào là chính tắc nhất, sẽ tiện hơn khi cứ giấu nhẹm sự mơ hồ này và dùng từ (the) hợp rời để chỉ bất kỳ tập hợp nào thỏa mãn bài toán phổ dụng tương ứng. Một ví dụ khác, các nhóm đối xứng áo thun và nhóm lật thảm ở trên đều được gọi là (the) nhóm bốn Klein.

 

 

 

PHẠM TRÙ VÔ CỰC

 
Có câu chuyện truyền miệng sau về nguồn gốc của định lý cơ bản của lý thuyết phạm trù: một nhà toán học trẻ tên Nobuo Yoneda đã mô tả một bổ đề, tức là một định lý bổ trợ, cho Mac Lane ở điểm tàu Gare du Nord ở Paris năm 1954. Yoneda bắt đầu giải thích bổ đề trên sân ga và tiếp tục ở trên tàu trước khi nó rời ga. Hệ quả của bổ đề này là mọi vật trong bất kỳ phạm trù nào đều hoàn toàn xác khi biết quan hệ của nó với các vật khác trong phạm trù đó, tức là các phép biến đổi từ vật đó vào vật khác hoặc ngược lại. Như vậy ta có thể đặc trưng một không gian tôpô $X$ bằng các nghiên cứu các hàm liên tục $f: T \to X$ đến từ các không gian $T$ khác. Chẳng hạn, một điểm trong $X$ ứng với một hàm liên tục $x: \ast \to X$ mà không gian nguồn $\ast$ là không gian với duy nhất một điểm. Ta có thể biết $X$ liên thông hay không bằng cách xét các ánh xạ $p: I \to X$ với nguồn là đoạn $I = [0,1]$. Một ánh xạ như thế là một đường có tham số trong không gian $X$ từ điểm $p(0)$ đến điểm $p(1)$, có thể xem như một quỹ đạo khả dĩ mà một con kiến có thể di chuyển trong $X$.
 
Ta có thể dùng các điểm và đường trong một không gian để dịch các bài toán tôpô sang đại số: Mỗi không gian tôpô $X$ có một phạm trù tương ứng $\pi_1 X$, gọi là phỏng nhóm cơ bản của $X$. Vật trong phạm trù này là các điểm của không gian, và các phép biến đổi là các đường. Nếu một đường có thể biến dạng thành một đường khác mà vẫn cố định hai đầu mút, ta quy ước rằng hai đường này định nghĩa cùng một phép biến đổi. Các biến dạng này được gọi là các phép đồng luân, ta cần chúng để mô tả phép hợp thành của đường sao cho tính kết hợp được thỏa mãn, điều kiện cần của mọi phạm trù.
 
saw1021Rieh37_d.png
 
Ưu thế then chốt của phỏng nhóm cơ bản là tính hàm tử, nghĩa là mọi hàm liên tục $f: X \to Y$ giữa hai không gian tôpô cho ta một phép biến đổi $\pi_1 f: \pi_1 X \to \pi_1 Y$ giữa hai phỏng nhóm cơ bản. Phép biến đổi này tôn trọng phép hợp thành và đồng nhất của đường, nghĩa là $\pi_1(g \circ f) = \pi_1 g \circ \pi_1 f$ và $\pi_1(\mathbf{1}_x) = \mathbf{1}_{\pi_1 x}$. Hai tính chất này, gọi chung là tính hàm tử, gợi ý rằng phỏng nhóm cơ bản giữ được những tính chất cốt lõi của không gian tôpô. Nói riêng, nếu hai không gian không tương đương đồng luân thì phỏng nhóm cơ bản của chúng cũng không tương đương.
 
Dù vậy, phỏng nhóm cơ bản chưa phải là một bất biến hoàn chỉnh. Có thể dễ dàng phân biệt một đường tròn với hình tròn đặc mà đường tròn ấy bao quanh. Trong phỏng nhóm cơ bản của đường tròn, các đường giữa hai điểm cho trước, sai khác biến dạng liên tục (đồng luân), được gán với các số nguyên, chỉ số vòng mà đường này quay quanh đường tròn, với dấu $+$ hoặc $-$ chỉ chiều thuận hoặc ngược kim đồng hồ. Ngược lại, trong phỏng nhóm cơ bản của hình tròn, chỉ có duy nhất (sai khác đồng luân) một đường giữa bất kỳ cặp điểm nào. Phỏng nhóm cơ bản của phần bề mặt của quả bóng, hay một mặt cầu theo ngôn ngữ tôpô, cũng thỏa mãn chính chất này: tồn tại duy nhất, sai khác đồng luân, một đường giữa hai điểm bất kỳ.
 
saw1021Rieh38_d.png

 

Vấn đề lớn với phỏng nhóm cơ bản là điểm và đường không phát hiện được cấu trúc ở chiều cao hơn của không gian, vì bản thân điểm và đoạn lần lượt là $0$-chiều và $1$-chiều. Một giải pháp là xét thêm cả các hàm liên tục từ hình tròn $2$-chiều, được gọi là các phép đồng luân, cùng với các đồng luân bậc cao, được định nghĩa là các hàm liên tục hình hình cầu đặc $3$-chiều và tương tự với các hình siêu cầu $4$-, $5$-, $6$-chiều hoặc hơn.
 
Một câu hỏi tự nhiên là các điểm, đường, đồng luân và đồng luân bậc cao của một không gian $X$ thì tạo ra cấu trúc gì: cấu trúc $\pi_\infty$ này, gọi là $\infty$-phỏng nhóm cơ bản của X, định nghĩa một $\infty$-phạm trù, phiên bản vô hạn chiều của phạm trù đưa ra bởi Eilenberg và Mac Lane. Giống như phạm trù thông thường, một $\infty$-phạm trù gồm các vật và các phép biến đổi được vẽ như những mũi tên $1$-chiều, nhưng nó còn có thêm các phép biến đổi bậc cao, được vẽ như các mũi tên $2$-chiều, mũi tên $3$-chiều, và cứ như vậy. Ví dụ, trong $\pi_\infty X$, các vật và các mũi tên lần lượt là các điểm và các đường lúc này ta không xét sai khác đồng luân nữa trong khi các biến đổi bậc cao lưu giữ thông tin đồng luân bậc cao. Cũng như trong phạm trù thông thường, các mũi tên (với số chiều cố định) có thể hợp thành: nếu ta có hai mũi tên $f: X \to Y$ và $g: Y \to Z$, ta phải có mũi tên thứ ba $g \circ f: X \to Z$. Nhưng cái khó ở đây là: để mô tả được những ví dụ rất tự nhiên như $\infty$-phỏng nhóm cơ bản của một không gian, luật hợp thành phải bị làm yếu đi. Với mỗi cặp mũi tên khả hợp thành, một mũi tên hợp thành tồn tại, nhưng nó không còn là duy nhất nữa.
 
saw1021Rieh39_d.png
 
Sự thiếu sót của tính duy nhất này thách thức việc định nghĩa $\infty$-phạm trù bằng cơ sở toán học bởi lý thuyết tập hợp cổ điển, vì ta không thể xem phép hợp thành như một phép toán như trong đại số phổ dụng nữa. Dù $\infty$-phạm trù đang dần trở thành đối tượng trung tâm của nghiên cứu hiện đại trong nhiều lĩnh tực toán học từ lý thuyết trường lượng tử tôpô đến hình học đại số hay tôpô đại số, chúng thường được xem là quá khó cho mọi người ngoài các chuyên gia, và nó không xuất hiện thường xuyên trong chương trình học, ngay cả sau đại học. Dù vậy, tôi và nhiều người khác xem $\infty$-phạm trù như một hướng đi mới và cách mạng, cho phép các nhà toán học mơ đến những liên kết mới mà không thể phát biểu và chứng minh một cách chặt chẽ bằng cách khác.
 
 

MỘT SỐ THUẬT NGỮ TOÁN HỌC HIỆN ĐẠI

  • Phạm trù: một họ cụ thể gồm các vật và và phép biến đổi giữa chúng, cùng một luật hợp thành.
  • Hợp thành: chỉ việc áp dụng một phép biến đổi lên kết quả của một phép biến đổi khác.
  • Đồng nhất: phép biến đổi từ một vật vào chính nó mà hoàn toàn không thay đổi vật đó.
  • Đối xứng: một phép biến đổi khả nghịch từ một vật vào chính nó.
  • Đẳng cấu: khái niệm “như nhau” về mặt cấu trúc, tồn tại giữa các cặp vật trong một phạm trù.
  • Phỏng nhóm cơ bản: phạm trù mà vật là điểm trong một không gian và các phép biến đổi là các đường sai khác đồng luân giữa chúng.
  • Đồng luân: “đường giữa hai đường", được định nghĩa là một biến dạng liên tục từ đường này thành đường kia.
  • Phạm trù vô cực: phiên bản vô hạn chiều của phạm trù, nơi có thêm các biến đổi bậc cao và luật hợp thành bị làm yếu đi.
  • Phỏng nhóm vô cực cơ bản: phạm trù vô cực gồm các điểm, đường, đồng luân và đồng luân bậc cao của một không gian.

 

 

 

CHÂN TRỜI TƯƠNG LAI

 
Dẫu vậy, kinh nghiệm lịch sử cho thấy rằng phần lớn những kiến thức toán học mới lạ nhất hôm nay sẽ dần trở nên đủ dễ để dạy cho sinh viên toán ngài mai. Sẽ rất vui khi được quan sát, với tư cách là một người nghiên cứu $\infty$-phạm trù, cách mà nó có thể được đơn giản hóa đi. Chẳng hạn như một mẹo nhỏ về ngôn ngữ một phiên bản siêu cấp của từ the trong phạm trù có thể khiến cho sinh viên ở cuối thế kỷ XXI hiểu $\infty$-phạm trù một cách dễ dàng như phạm trù thông thường ngày nay. Tiên đề then chốt của lý thuyết phạm trù thông thường là sự tồn tại duy nhất của một phép biến đổi hợp thành $g \circ f: X \to Z$ với mỗi cặp biến đổi $f: X \to Y$ và $g: Y \to Z$, được chọn ra từ tập các phép biến đổi từ $X$ vào $Z$. Trái lại, trong một $\infty$-phạm trù, có một không gian các mũi tên từ $X$ vào $Z$, thứ mà trong $\infty$-phỏng nhóm cơ bản có thể hiểu là không gian đường. Phiên bản đúng của tính hợp thành duy nhất trong phạm trù thông thường là mệnh đề: trong một $\infty$-phạm trù, không gian các hợp thành là co rút được, nghĩa là mỗi điểm của nó đều có thể suy sụp một cách liên tục qua một vụ nổ Big Bang ngược về một điểm gốc duy nhất.
 
Chú ý rằng tính co rút được không suy ra rằng có duy nhất một hợp thành: thật vậy, ta đã thấy rằng trong $\infty$-phỏng nhóm cơ bản, có thể có rất nhiều đường hợp thành. Nhưng tính co rút được đảm bảo rằng hai đường hợp thành luôn đồng luân, và hai phép đồng luân bất kỳ giữa hai đường hợp thành luôn liên kết với nhau bởi một đồng luân bậc cao, và cứ như vậy.
 
saw1021Rieh40_d.png

 

Ý tưởng về sự duy nhất như điều kiện co rút được này là một ý tưởng trung tâm trong hệ cơ sở toán học mới được đề xuất bởi Vladimir Voedvodsky và nhiều người khác. Các nhà toán học khắp nơi đang hợp sức phát triển những phụ tá chứng minh” bằng máy tính có khả năng kiểm tra từng dòng một trong chứng minh hình thức của một kết quả toán học. Những phụ tá này có một cơ chế bắt chước theo một kỹ thuật chung trong toán học là chuyển thông tin từ một vật sang một vật khác được coi là giống vật ban đầu qua một đẳng cấu tường minh hoặc một tương đương đồng luân. Cơ chế này cho phép người dùng chuyển một chứng minh liên quan đến một điểm trong không gian qua một đường nối nó đến một điểm khác, đưa ra một định nghĩa chặt chẽ về khái niệm như nhau” của tôpô.
 
Trong một tham luận năm 1974, nhà toán học Micheal Atiyah đã viết Mục tiêu thực sự của lý thuyết là tổ chức lại một cách có hệ thống kinh nghiệm quá khứ sao cho thế hệ sau, học sinh của chúng ta, rồi học sinh của họ, rồi sau đó nữa, có thể tiếp thu những khía cạnh cốt lõi mà ít tốn sức nhất, và đó là cách duy nhất mà bạn có thể liên tục tích lũy và xây dựng bất kỳ hoạt động khoa học nào mà không đi đến ngõ cụt.” Lý thuyết phạm trù đóng vai trò này trong toán học hiện đại: nếu toán học là khoa học của sự tương tự, các khuôn mẫu, thì lý thuyết phạm trù là khoa học của các khuôn mẫu tư duy toán học — toán học của toán học, như Eugenia Cheng (Viện Nghệ thuật Chicago), đã gọi.
 
Lý do ta dạy được rất nhiều trong một môn toán ở đại học ngày nay là vì hiểu biết của chúng ta về rất nhiều khái niệm toán học khác nhau đã được đơn giản hóa nhờ sự trừu tượng, có thể xem như lùi khỏi bài toán cụ thể để quan sát tổng quan toán học. Rất nhiều chi tiết sẽ ẩn đi ở tầm này xấp xỉ số chẳng hạn, hoặc bất kỳ thứ gì liên quan đến số nhưng một sự thật đáng chú ý là nhiều định lý trong đại số, lý thuyết tập hợp, tôpô và hình học đại số thường đúng vì cùng một lý do đằng sau, và khi đó, các chứng minh được diễn tả bằng ngôn ngữ phạm trù.
 
Có gì ở chân trời tương lai? Đang hình thành một sự đồng thuận trong nhiều lĩnh vực toán học rằng các đối tượng cơ bản của toán học thế kỷ XXI là các $\infty$-phạm trù, giống như ở thế kỷ XX là các phạm trù thông thường. Ta hi vọng rằng chiếc tháp vô hạn của các mũi tên ở mọi chiều này, thứ cần nghiên cứu tỉ mỉ trong $\infty$-phạm trù, đến lúc nào đó sẽ thu gọn về về tiềm thức chung của toán học, với các không gian co rút được suy sụp về một điểm duy nhất. Và ta có thể tự hỏi: Nếu những tiến bộ này xuất hiện ở thế kỷ XX, toán ở học ở cuối thế kỷ XXI sẽ đi về đâu?

Giới thiệu phạm trù mô hình và lý thuyết đồng luân

30-01-2023 - 05:09

Khái niệm phạm trù mô hình (model category) được đưa ra bởi Quillen năm 1967, trong nỗ lực tổng quát hóa đại số đồng điều thành lý thuyết đồng luân cho các đối tượng không abel như không gian tô pô, nhóm, đại số trên một vành... Ngôn ngữ phạm trù mô hình và khái niệm đồng luân tổng quát là một phần quan trọng trong K-lý thuyết đại số cũng như hình học đại số.

 

Một phần của lý thuyết phạm trù mô hình và đồng luân là lý thuyết đồng luân đơn hình đã được viết ở bài https://diendantoanh...g-luân-đơn-hình.

 

Chúng ta sẽ trình bày những khái niệm và kết quả cơ bản của lý thuyết này.

 

 

1. Ví dụ: Không gian tô pô và phức dây chuyền

 

Xét phạm trù $\mathbf{Top}$ các không gian tô pô.

Nhắc lại rằng hai ánh xạ liên tục $f, g: X \to Y$ được gọi là đồng luân nếu tồn tại ánh xạ liên tục $H: X \times [0,1] \to Y$ sao cho $H(-,0) = f$ và $H(-,1) = g$ (một phép đồng luân giữa $f$ và $g$). Khi đó, ta ký hiệu $f \simeq g$.

Hai không gian $X$ và $Y$ được gọi là tương đương đồng luân nếu tồn tại các ánh xạ liên tục $f: X \leftrightarrows Y: g$ sao cho $fg \simeq 1_Y$ và $gf \simeq 1_X$. Khi đó, ta ký hiệu $X \simeq Y$.

 

Nếu $(X,x)$ và $(Y,y)$ là các không gian định điểm, ta ký hiệu hởi $[(X,x), (Y,y)]$ thương của tập hợp các ánh xạ định điểm $(X,x) \to (Y,y)$ bởi quan hệ đồng luân định điểm (một phép đồng luân định điểm $H$ giữa hai ánh xạ định điểm là một phép đồng luân sao cho $H(-,t)$ là ánh xạ định điểm với mọi $t \in [0,1]$). Với $n \ge 0$, Ký hiệu bởi $\pi_n(X,x) = [(\mathbb{S}^n,\ast),(X,x)]$. Ta có các hàm tử $\pi_n: \mathbf{Top}_\ast \to \mathbf{Set}$, hơn nữa $\pi_1$ là nhóm và $\pi_n$ là nhóm abel với $n \ge 2$. 

 

Mệnh đề 1.1. Nếu $f: X \to Y$ là một tương đương đồng luân thì $\pi_0(f): \pi_0(X,x) \to \pi_0(Y,f(x))$ là một song ánh, và với mọi $x \in X$ cũng như $n \ge 1$ thì $\pi_n(f): \pi_n(X,x) \to \pi_n(Y,f(x))$ là một đẳng cấu nhóm.

 

Định nghĩa. Một tương đương đồng luân yếu là một ánh xạ liên tục $f: X \to Y$ sao cho các ánh xạ cảm sinh $\pi_n(f)$ thỏa mãn các điều kiện ở mệnh đề trên. Ta ký hiệu tương đương đồng luân yếu bởi $\tilde{\rightarrow}$. Hai không gian $X$ và $Y$ được gọi là tương đương yếu nếu tồn tại các tương đương đồng luân yếu $$X \tilde{\leftarrow} X_1 \tilde{\rightarrow} \cdots \tilde{\leftarrow} X_n \tilde{\rightarrow} Y.$$

 

Hiển nhiên, hai không gian tương đương yếu thì các nhóm đồng luân tương ứng đẳng cấu.

 

Trong các không gian tô pô, các CW-phức (hoặc các phức đơn hình...) đóng vai trò như những mô hình tổ hợp để tính toán các nhóm đồng luân. Thực tế, ta chỉ cần quan tâm đến lý thuyết đồng luân của chúng, nhờ vào các định lý sau đây.

 

Định lý 1.2. Với mỗi không gian tô pô $X$, tồn tại một CW-phức $Z$ và một tương đương đồng luân yếu $Z \to \tilde{\rightarrow} X$.

 

Định lý 1.3 (Xấp xỉ CW). Mỗi ánh xạ liên tục giữa hai CW-phức đều đồng luân với một ánh xạ phân phân ngăn.

 

Hơn nữa, để nói về tương đương đồng luân giữa các CW-phức, ta chỉ cần quan tâm đến tương đương yếu, nhờ

 

Định lý 1.4 (Whitehead). Mỗi tương đương đồng luân yếu giữa hai CW-phức là một tương đương đồng luân.

 

Mục đích của khái niệm phạm trù mô hình là cho phép, trong một phạm trù bất kỳ, nói về:

  • thế nào là "giống nhau sai khác đồng luân" (tương đương đồng luân) giữa hai vật;
  • thế nào là một phép đồng luân, một tương đương đồng luân;
  • những vật nào là đủ "tốt" (những "mô hình") mà trên đó ta chỉ cần quan tâm đến các tương đương đồng luân yếu.

Một phạm trù khác nơi ta có thể làm lý thuyết đồng luân là phạm trù các phức dây chuyền (đồng luân ở đây được biến đến dưới dạng đại số đồng điều). Cho $R$ là một vành. Xét phạm trù $\mathbf{Ch}_{\ge 0}(R)$ các phức dây chuyền (chiều của vi phân là chiều giảm) các $R$-môđun tập trung ở bậc không âm.

Một phép đồng luân dây chuyền giữa hai ánh xạ dây chuyền $f, g: A \to B$ là một dãy các đồng cấu $h: A_n \to B_{n+1}$ sao cho $f - g = hd + dh$. Khi $h$ tồn tại, ta nói $f$ và $g$ đồng luân và ký hiệu $f \simeq g$.

Hai phức dây chuyền $A$ và $B$ được gọi là tương đương đồng luân nếu tồn tại các ánh xạ dây chuyền $f: A \leftrightarrows B: g$ sao cho $fg \simeq 1_B$ và $gf \simeq 1_A$. Khi đó, ta ký hiệu $A \simeq B$.

 

Mệnh đề 1.5. Nếu $f: A \to B$ là một tương đương đồng luân thì nó cảm sinh đẳng cấu $H_n(f): H_n(A) \to H_n(B)$ với mỗi $n \ge 0$.

 

Định nghĩa. Một tựa đẳng cấu là một ánh xạ dây chuyền $f: A \to B$ sao cho $H_n(f)$ là một đẳng cấu với mỗi $n \ge 0$. Ta ký hiệu tựa đẳng cấu bởi $\tilde{\rightarrow}$. Hai phức dây chuyền $A$ và $B$ được gọi là tựa đẳng cấu nếu tồn tại các tựa đẳng cấu $$A \tilde{\leftarrow} A_1 \tilde{\rightarrow} \cdots \tilde{\leftarrow} A_n \tilde{\rightarrow} B.$$

 

Hiển nhiên, hai phức tựa đẳng cấu thì các nhóm đồng điều tương ứng đẳng cấu.

 

Nhắc lại rằng một $R$-môđun $P$ được gọi là xạ ảnh nếu hàm tử $\text{Hom}_R(P,-): {}_R\mathbf{Mod} \to \mathbf{Ab}$ khớp (bảo toàn toàn cấu). Một $R$-môđun $I$ được gọi là nội xạ nếu hàm tử $\text{Hom}_R(-,I): {}_R\mathbf{Mod} \to \mathbf{Ab}$ khớp (biến đơn cấu thành toàn cấu). 

 

Mệnh đề 1.6. Cho $f: A \to B$ là một tựa đẳng cấu giữa hai phức tập trung ở bậc không âm. Nếu $A$ nội xạ ở mọi bậc hoặc $B$ xạ ảnh ở mọi bậc thì $f$ là một tương đương đồng luân.

 

Như vậy, nếu muốn làm đại số đồng điều trong đó các phức sai khác tựa đẳng cấu, ta có hai mô hình:

  • mô hình "xạ ảnh", nơi các vật "tốt ở nguồn" là các môđun xạ ảnh, và mọi vật đều "tốt ở đích". Mỗi $R$-môđun đều có một giải xạ ảnh $P_{\bullet} \to M$, nó đóng vai trò như các CW-phức cho các không gian tô pô.
  • mô hình "nội xạ", nơi mọi vật đều "tốt ở nguồn" và các vật "tốt ở đích" là các môđun nội xạ.  Mỗi $R$-môđun đều có một giải nội xạ $M \to I_{\bullet}$, nó đóng vai trò đối ngẫu so với các CW-phức cho các không gian tô pô.

Một trong những mục tiêu của lý thuyết đồng luân của Quillen là tổng quát hóa khái niệm "giải" ở trên cho các phạm trù không abel.

 

Ta nhắc lại về dãy khớp dài. Giả sử $0 \to A \xrightarrow{i} B \xrightarrow{p} C \to 0$ là một dãy khớp ngắn các phức dây chuyền, khi đó ta có dãy khớp dài $$\cdots \to H_n(A) \xrightarrow{i_\ast} H_n(B) \xrightarrow{p_\ast} H_n(C) \xrightarrow{\partial} H_{n-1}(A) \to \cdots \to H_0(C) \to 0,$$ trong đó $\partial$ là các đồng cấu nối. Có hai cách xây dựng các đồng cấu nối.

  1. Ta có thể xét ánh xạ dây chuyền $i: A \to B$ tùy ý (không nhất thiết là đơn cấu). Nón (cone) của $i$ là phức $C(i)$ cho bởi $B_n \oplus A_{n-1}$ ở bậc $n$ và vi phân $d(b,a) = (d(b) + i(a), d(a))$. Khi đó ta có dãy khớp dài ở trên khi thay $C$ bởi $C(i)$. Đồng cấu nối $\partial$ được cảm sinh từ phép chiếu $C(i) \to A[-1]$. Khi $i$ là đơn cấu, ta kiểm tra được rằng $C(i)$ tựa đẳng cấu với $C$.
  2. Ta cũng có thể xét ánh xạ dây chuyền $p: B \to C$ tùy ý (không nhất thiết là toàn cấu). Thớ đồng luân (homotopy fiber) của $p$ là phức $K(p)$ cho bởi $B_n \oplus C_{n+1}$ ở bậc $n$ và vi phân $d(b,c) = d(b), p(b) + d(c))$. Khi đó ta có dãy khớp dài ở trên khi thay $A$ bởi $K(p)$. Đồng cấu nối $\partial$ được cảm sinh từ phép chiếu nhúng $C[1] \to K(p)$. Khi $p$ là toàn cấu, ta kiểm tra được rằng $K(p)$ tựa đẳng cấu với $A$.

Để xây dựng dãy khớp dài cho các nhóm đồng luân của các không gian tô pô, ta cần các khái niệm tương tự (theo nghĩa đồng luân) với khái niệm đơn cấu và toàn cấu của phức dây chuyền. Đó là khái niệm (đối) phân thớ.

 

Định nghĩa 1.7. Một phân thớ Hurewicz là một ánh xạ liên tục $p: E \to B$ sao cho trong mọi biểu đồ giao hoán

File gửi kèm  1.png   12.76K   2 Số lần tải

$H$ có thể nâng thành một ánh xạ liên tục $\tilde{H}$. Nói cách khác, nếu ta có một phép đồng luân $H: X \times [0,1] \to B$ giữa hai ánh xạ liên tục $f,g: X \to B$ và một nâng $\tilde{f}: X \to E$ của $f$, thế thì ta có thể nâng $H$ thành một phép đồng luân giữa $\tilde{f}$ và một nâng $\tilde{g} = \tilde{H}(-,1)$ của $g$.

 

Mệnh đề 1.8. Kéo lùi của một phân thớ Hurewicz là một phân thớ Hurewicz.

 

Ví dụ 1.9. Cho $f: X \to Y$ là một ánh xạ liên tục. Ta định nghĩa không gian đường của $f$ bởi $$P_f = Y^{[0,1]} \times_Y X = \{(\gamma,x) \,|\, \gamma: [0,1] \times X, x \in X, \gamma(0) = f(x)\},$$ trong đó tô pô trên $Y^{[0,1]}$ là tô pô compact-mở. Thế thì ánh xạ $\text{ev}_1: P_f \to Y$ cho bởi $\text{ev}_1(\gamma,x) =\gamma(1)$ là một phân thớ Hurewicz. Hơn nữa, ta có phân tích $X \tilde{\hookrightarrow} P_f \xrightarrow{\text{ev}_1} Y$ - nghĩa là có thể phân tích mọi ánh xạ liên tục thành hợp của một phân thớ và một tương đương đồng luân yếu.

 

Mệnh đề 1.10. Cho $p: E \to B$ là một phân thớ với $B$ liên thông đường. Khi đó các thớ $E_b = p^{-1}(b)$ (với $b \in B$) tương đương đồng luân. Nếu ta lấy $b_0 \in B$, $F = p^{-1}(b_0)$ và $f_0 \in F$ thì ta có dãy khớp dài các nhóm đồng luân $$\cdots \to \pi_n(F,f_0) \to \pi_n(E,f_0) \to \pi_n(B,b_0) \to \pi_{n-1}(F,f_0) \to \cdots$$

 

Một cách đối ngẫu, ta có

 

Định nghĩa 1.11. Một đối phân thớ (Hurewicz) là một ánh xạ liên tục $i: A \to X$ sao cho trong mọi biểu đồ giao hoán

File gửi kèm  2.png   11.97K   2 Số lần tải

$h$ có thể mở rộng thành một ánh xạ liên tục $H$. Nói cách khác, nếu ta có một ánh xạ liên tục $f: X \to Y$ và một phép đồng luân giữa $h$ "hạn chế" $f \circ i = f|_A$ và một ánh xạ khác $g: A \to Y$, thì ta có thể mở rộng $h$ lên cả $X$.

 

Mệnh đề 1.12. Một đối phân thớ $i: A \to X$ cảm sinh một phép đồng phôi $i: A \to i(A)$. Nếu $X$ Hausdorff thì $i(A)$ đóng. 

 

Ví dụ 1.13. Phép bao hàm của một CW-phức con trong một CW-phức là một đối phân thớ.

 

Ví dụ 1.14. Cho $f: A \to X$ là một ánh xạ liên tục. Ta định nghĩa hình trụ của $f$ bởi $$C_f = (A \times [0,1] \sqcup X) / \left\langle(a,0) \sim f(a): a \in A \right\rangle.$$ Ta có phân tích của $f$ thành hợp của một tương đương đồng luân yếu và một đối phân thớ $A \hookrightarrow C_f \tilde{\rightarrow} X$.

Cho hai ánh xạ liên tục $f,g: A \to X$. Nhận xét rằng, với $\gamma = (1_A,1_A): A \sqcup A \to A$ là ánh xạ hiển nhiên, cho một phép đồng luân giữa $f$ và $g$ cũng là cho một ánh xạ liên tục $H: C_\gamma \to Y$ sao cho hợp $A \sqcup A \to C_f \to X$ chính là ánh xạ $(f,g)$. Một cách đối ngẫu, xét $\delta = (1_X,1_X): X \to X \times X$ là ánh xạ đường chéo. Thế thì cho một ánh xạ liên tục $H: X \to P_\delta$ sao cho $\text{ev}_0 \circ H = f$ và $\text{ev}_1 \circ H = g$ cũng là cho một ánh xạ liên tục $u: A \to X$ cùng hai phép đồng luân $f \simeq u \simeq g$.

 

Định nghĩa. Cho $(X,A)$ là một cặp không gian và $a \in A$. Ta định nghĩa các tập hợp đồng luân tương đối $\pi_n(X,A)$ (với $n \ge 1$) là thương của tập hợp các ánh xạ liên tục $\gamma: [0,1]^n \to X$ sao cho $\gamma(\partial [0,1]^n) \subset A$ và $\gamma(\partial [0,1]^n \setminus ([0,1]^{n-1} \times \{0\})) \subset A = \{a\}$ sai khác đồng luân tương đối $A$. Đó là một nhóm với $n \ge 2$ và là một nhóm abel với $n \ge 3$.

 

Mệnh đề 1.15. Ta có dãy khớp dài các nhóm đồng luân $$\cdots \to \pi_n(A) \to \pi_n(X) \to \pi_n(X,A) \to \pi_{n-1}(A) \to \cdots$$


Bất biến của đại số đa thức dưới tác động của nhóm hữu hạn

04-12-2022 - 04:06

1 - GIỚI THIỆU

 

Một định lý quen thuộc nói rằng mọi đa thức đối xứng đều biểu diễn được (một cách duy nhất) dưới dạng hàm đa thức theo các đa thức đối xứng sơ cấp. Cụ thể, nếu ta xét tác động hiển nhiên của nhóm đối xứng $S_n$ trên đại số đa thức $K[x_1,\ldots,x_n]$ (với $K$ là một trường tùy ý) thì ta có đẳng cấu đại số $$K[y_1,\ldots,y_n] \to K[x_1,\ldots,x_n]^{S_n} := \{f \in K[x_1,\ldots,x_n]: \forall \sigma \in S_n, \sigma \cdot f = f\}$$ $$y_i \mapsto e_i,$$ trong đó $e_i$ là đa thức đối xứng sơ cấp thứ $i$, được định nghĩa bởi $$\begin{align*} e_1 & = x_1 + \cdots + x_n, \\ e_2 & = \sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j, \\ \vdots \\ e_n & = x_1\cdots x_n.\end{align*}$$

Dễ thấy trong trường hợp trên, nhóm $S_n$ tác động lên $K[x_1,\ldots,x_n]$ bằng các đẳng cấu $K$-đại số phân bậc. Lý thuyết bất biến của nhóm hữu hạn quan tâm đến bài toán tổng quát: cho $G$ là một nhóm ma trận hữu hạn (một nhóm con của $\text{GL}_n(K)$), nó tác động lên không gian các đa thức thuần nhất bậc 1 (sinh bởi $x_1,\ldots,x_n$), vì thế tác động lên $K[x_1,\ldots,x_n]$ một cách tự nhiên. Ta biết gì về đại số con bất biến $K[x_1,\ldots,x_n]^G$?

 

Về mặt tính toán toán, người ta quan tâm đến các câu hỏi sau.

  1. Tìm một hệ sinh (theo nghĩa $K$-đại số) $f_1,\ldots,f_m$ cho $K[x_1,\ldots,x_n]^G$, tức là ta có toàn cấu $$K[y_1,\ldots,y_m] \to K[x_1,\ldots,x_n]^G, \qquad y_i \mapsto f_i.$$ (Ta sẽ thấy rằng hệ sinh như vậy luôn tồn tại theo định lý hữu hạn Hilbert, và kết quả vẫn đúng nếu thay điều kiện $G$ hữu hạn bằng reductive. Ngược lại, khi $G$ không reductive thì Nagata đã đưa ra một ví dụ nổi tiếng rằng đại số $K[x_1,\ldots,x_n]^G$ không nhất thiết hữu hạn sinh).
  2. Giả sử $f_1,\ldots,f_m$ là một hệ sinh của $K[x_1,\ldots,x_n]^G$, tìm quan hệ đại số giữa các phần tử sinh $f_i$ (các đa thức $g_1,\ldots,g_k \in K[y_1,\ldots,y_m]$ sao cho $g_1(f_1,\ldots,f_m) = \ldots = g_k(f_1,\ldots,f_m) = 0$, các syzygy), tức là ta có đẳng cấu $$K[y_1,\ldots,y_m] / \left\langle g_1,\ldots,g_m \right\rangle \cong K[x_1,\ldots,x_n]^G, \qquad y_i \mapsto f_i.$$ (Tồn tại một hệ hữu hạn syzygy theo định lý cơ sở Hilbert).
  3. Cho một đa thức bất biến $f \in K[x_1,\ldots,x_n]^G$, mô tả $f$ dưới dạng hàm đa thức theo các phần tử sinh, tức là tìm đa thức $g \in K[y_1,\ldots,y_m]$ sao cho $f = g(f_1,\ldots,f_m)$.

Các bài toán trên đều có lời giải bằng cách dùng cơ sở Gröbner.

 

Ở bài này, mình đề cập đến một số tính  Để đơn giản, người ta thường xét trường hợp $K$ là một trường đóng đại số với đặc số 0, ký hiệu bởi $\mathbb{C}$. $G$ luôn là một nhóm con hữu hạn của $\text{GL}_n(\mathbb{C})$.

 

 

2 - TÍNH HỮU HẠN SINH

 

Ở mục này, ta chứng minh

 

Định lý hữu hạn Hilbert. $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$ là một $\mathbb{C}$-đại số hữu hạn sinh.

 

Trước hết, nhận xét rằng chiều Krull của $K[x_1,\ldots,x_n]^G$ bằng $n$. Thật vậy, thêm biến mới $t$ và xét các đa thức ẩn $t$ $$P_i(t) = \prod_{\sigma \in G} (t - g \cdot x_i)$$ với $i = 1,\ldots,n$. Dễ thấy $P_i \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G[t]$, $P_i$ là đa thức đơn khởi (monic) và $t = x_i$ là một nghiệm của $t$. Vậy $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$ là một mở rộng nguyên của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$ (hay $\mathbb{C}(x_1,\ldots,x_n)$ là một mở rộng đại số của trường các thương của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$).

Ý tưởng ở trên là xuất phát từ đa thức $t - x_i$, sau đó lấy tích của các $\sigma \cdot (t - x_i) = t - \sigma \cdot x_i$ với $\sigma \in G$ để thu được một phần tử của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G[t]$. Điều này gợi ý rằng việc lấy tích (hoặc tổng, hoặc trung bình...) theo $G$-quỹ đạo là một thao tác tự nhiên để thu được các đa thức bất biến.

 

Định nghĩa. Toán tử Reynolds $(-)^\ast: \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n] \to \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$ được định nghĩa bởi $$f \mapsto f^\ast := \frac{1}{|G|}\sum_{\sigma \in G} \sigma \cdot f.$$

Dễ thấy toán tử Reynolds thỏa mãn các tính chất sau.

  1. $f^\ast \in f \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$ với mọi $f \in f \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$ và $f^\ast = f$ với mọi $f \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$, tức là $(-)^\ast$ là một phép chiếu lên $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$).
  2. $(fg)^\ast = f g^\ast$ với mọi $f \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$ và $g \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$, tức là $(-)^\ast$ là một đồng cấu $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$-module.

Trong các chứng minh về sau, ta chỉ cần sử dụng 2 tính chất này của toán tử Reynolds. Nếu $G \subseteq \text{GL}_n(\mathbb{C})$ là một nhóm Lie compact (nói riêng, nó reductive) thì ta có thể định nghĩa $$f^\ast: = \int_G (\sigma \cdot f) d\sigma,$$ với $d\sigma$ là độ đo xác suất Haar trên $G$. Toán tử $(-)^\ast$ cũng thỏa mãn 2 tính chất trên nên nó sẽ đóng vai trò như toán tử Reynolds trong trường hợp $G$ hữu hạn.

 

Chứng minh Định lý hữu hạn Hilbert. Xét $I$ là ideal của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$ sinh bởi các đa thức bất biến thuần nhất bậc dương. Theo định lý cơ sở Hilbert, tồn tại các đa thức bất biến thuần nhất bậc dương $f_1,\ldots,f_m \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$ sao cho $$I = \left\langle f_1,\ldots,f_m \right\rangle.$$ Ta chứng minh rằng $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G = \mathbb{C}[f_1,\ldots,f_m]$. Giả sử phản chứng rằng tồn tại $g \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G \setminus \mathbb{C}[f_1,\ldots,f_m]$, thế thì ít nhất một thành phần thuần nhất của $g$ cũng không nằm trong $\mathbb{C}[f_1,\ldots,f_m]$, nên ta có thể giả sử $g$ thuần nhất. Chọn $g$ có bậc nhỏ nhất (và thuần nhất) như vậy. Vì $g \in I$ nên ta có thể viết $$g = g_1f_1 + \cdots g_m f_m$$ với $g_1,\ldots,g_m \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$. So sánh thành phần thuần nhất bậc $\deg(g)$ ở hai vế, ta có thể giả sử rằng mỗi đa thức $g_i$ thuần nhất bậc $\deg(g) - \deg(f_i) < \deg(g)$. Áp dụng toán tử Reynolds lên hai vế, ta được $$g = g_1^\ast f_1 + \cdots + g_m^\ast f_m.$$ Khi đó mỗi đa thức $g_i^\ast$ là bất biến và thuần nhất với bậc $\deg(g_i) < \deg(g)$, nên theo cách chọn $g$ thì $g_1^\ast,\ldots,g_m^\ast \in \mathbb{C}[f_1,\ldots,f_m]$, suy ra $g \in \mathbb{C}[f_1,\ldots,f_m]$, mâu thuẫn. $\square$

 

Theo chứng minh trên, ta thấy rằng một hệ sinh của ideal $I$ sẽ tự động là một hệ sinh của đại số con $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$.

 

 

3 - CÔNG THỨC MOLIEN

 

Ta muốn đếm số bất biến (độc lập tuyến tính) bậc $d$ cho trước. Ta có thể làm điều này bằng các tính chuỗi Hilbert $$\Phi_G(t) = \sum_{d = 0}^\infty \dim(\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G_d) t^d$$ của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$, trong đó $(-)_d$ chỉ thành phần thuần nhất bậc $d$.

 

Bổ đề. Cho $V$ là một không gian vector và $G$ là một nhóm con hữu han của $\text{GL}(V)$. Ký hiệu bởi $V^G = \{v \in V: \forall \sigma \in G, \qquad \}$ Khi đó $$\dim(V^G) = \frac{1}{|G|}\sum_{\sigma \in G} \text{Tr}(\sigma)$$ ($\text{Tr}$ chỉ vết của tự đồng cấu).

 

Chứng minh. Xét trung bình hóa $$\pi = \frac{1}{|G|} \sum_{\sigma \in G} \sigma: V \to V.$$ Dễ thấy $\pi(v) \in V^G$ với mọi $v \in V$ và $\pi(v) = v$ với mọi $v \in V^G$. Nói riêng, $\pi^2 = \pi$, hay $\pi$ là phép chiếu lên $V^G$. Vì thế $\pi$ chéo hóa được với các giá trị riêng là $0$ hoặc $1$. Do đó $\dim(V^G) = \text{rank}(\pi) = \text{Tr}(\pi) = \dfrac{1}{|G|}\sum_{\sigma \in G} \text{Tr}(\sigma).$ $\square$
 

Công thức Molien. Chuỗi Hilbert của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$ được cho bởi $$\Phi_G(t) = \frac{1}{|G|}\sum_{\sigma \in G} \frac{1}{\det(\text{id} - t \sigma)}.$$

Chứng minh. Cố định $\sigma \in G$. Với mỗi $d \ge 0$, ta có $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]_d = S^d \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]_1$ (ký hiệu $S^d$ chỉ lũy thừa đối xứng bậc $d$. Ký hiệu $\sigma_d = S^d\sigma: \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]_d \to \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]_d$ là tác động của $\sigma$ trên thành phần thuần nhất bậc $d$. Theo bổ đề trên, ta cần tính $\text{Tr}(\sigma_d)$. Vì $\sigma^{|G|} = \text{id}$ nên $\sigma$ chéo hóa được, gọi $v_1,\ldots,v_n$ là một cơ sở của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]_1$ gồm các vector riêng của $\sigma$, với các giá trị riêng tương ứng là $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$. Dễ thấy các $\sigma_d$ cũng chéo hóa được: Các vector $$v_{i_1}\cdots v_{i_d},$$ với $(i_1,\ldots,i_d) \in \{1,\ldots,n\}^n$ chạy trên các bộ sao cho $1 \le i_1 \le \cdots \le i_d \le n$, tạo thành một cơ sở của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]_d$ với các giá trị riêng tương ứng $\lambda_{i_1}\cdots \lambda_{i_d}$. Từ đây ta có $$\begin{align*} \sum_{d = 0}^{\infty} \text{Tr}(\sigma_d) & = \sum_{d = 0}^{\infty} \sum_{1 \le i_1 \le \cdots \le i_d \le n} \lambda_{i_1}\cdots \lambda_{i_d}t^d \\ & = (1 + \lambda_1t + \lambda_1^2t^2 + \cdots) \cdots (1 + \lambda_nt + \lambda_n^2t^2 + \cdots) \\ & = \frac{1}{(1 - \lambda_1 t) \cdots (1 - \lambda_n t)} \\ & = \frac{1}{\det(\text{id} - t\sigma)}. \end{align*}$$ Theo bổ đề trên, ta có $$\Phi_G(t) = \sum_{d = 0}^{\infty} \frac{1}{|G|} \sum_{\sigma \in G} \text{Tr}(\sigma_d) = \frac{1}{|G|}\sum_{\sigma \in G} \frac{1}{\det(\text{id} - t\sigma)}.$$ $\square$


Định lý phân loại mặt đóng

09-07-2022 - 13:26

Gửi các thành viên trên diễn đàn ghi chú của mình về định lý phân loại mặt đóng, một định lý cơ bản của tô pô. Học sinh phổ thông có thể đọc được ghi chú này.

https://drive.google...iew?usp=sharing