DaiphongLT

Mặc dù mình chưa đọc nhưng Hoang72 đưa ra lời giải nhanh quá  
Thực ra đây là bài toán mình kết hợp giữa bài hình ELMO 2016 và một số bài toán mà mình đã làm
Ý tưởng của mình là như sau (có vẻ là hơi khác so với lời giải của Hoang72):
Gọi $A_1$ đối xứng với $A$ qua $BC$. Khi đó ta sẽ chứng minh $S$ là tâm $(A_1B_1C_1)$
Kết hợp với kết quả từ bài hình ELMO 2016 ta có được $AO_2\perp BC$
Do đó ta chỉ cần chứng minh $AS$ và $AO_1$ đẳng giác trong $\widehat{BAC}$. Điều này hiển nhiên theo phép nghịch đảo đối xứng cực $A$ phương tích $AB.AC$

mik ko hiểu lắm. Bạn nói rõ hơn đoạn CM TG vuông góc BC để lm gì và áp dụng đt gauss ntn đc ko

Có được $TG\perp BC$ thì gọi $I$ là trung điểm $AT$ $\Rightarrow OI//TG$ hay $OI\perp BC$. 
Mà $OB=OC$ nên hiển nhiên $IB=IC$
Gọi $N$ là trung điểm $EF$ thì theo tính chất đường thẳng $Gauss$ $\Rightarrow \overline{I,N,M}$
Mặt khác $IB=IC$, $MB=MC$ nên $NB=NC$. Đpcm

Gợi ý cho bạn một cách giải sau:
Gọi $BE$ cắt $CF$ tại $T$, $AO$ cắt $(O)$ tại $G$. 
Chứng minh $TG\perp BC$. Để chứng minh phần này thì bạn chứng minh bằng cách: $TB^2-TC^2=GB^2-GC^2$ (đồng dạng và định lí $Pytago$)
Sau đó áp dụng đường thẳng $Gauss$ cho chứ giác toàn phần $AFTE.BC$

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$. Các đường cao $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ đồng quy tại $H$. $P$ là điểm bất kì trên $OH$. $AP$, $BP$, $CP$ cắt $(O)$ lần lượt tại $A_2$, $B_2$, $C_2$. $A_3$, $B_3$, $C_3$ là các điểm đối xứng với $A_2$, $B_2$, $C_2$ qua $A_1$, $B_1$, $C_1$. Chứng minh $H$, $A_3$, $B_3$, $C_3$ đồng viên.
Góp cho bạn bài toán có cấu hình gần giống bài 1

Cho tam giác ABC, P là một điểm trong tam giác. AP cắt (BPC) tại $A_{1}$ (khác P). Tương tự cho $B_{1},C_{1}$. Gọi X,Y, Z lần lượt là tâm $(PB_1C_1),(PC_1A_1),(PA_1B_1)$. Chứng minh rằng (XAP), (YBP), (ZCP) có một điểm chung khác P.

Xét phép nghịch đảo tâm $P$ phương tích $k$ bất kì
Đưa về bài toán sau: Cho $\Delta ABC$ với điểm $P$ nằm trong tam giác $AP$, $BP$, $CP$ cắt các cạnh tại $A_1$, $B_1$, $C_1$ . $X$, $Y$, $Z$ đối xứng với $P$ qua $B_1C_1$, $C_1A_1$, $A_1B_1$. Chứng minh $AX$, $BY$, $CZ$ đồng quy
https://www.facebook...300052160478291
Bạn tham khảo ở link này
Sr hqua mình không để ý tâm nghịch đảo $P$