DaiphongLT

$\left\{\begin{matrix} x+\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}=2 & \\ y^2+2y+2=(y+2)\sqrt{x^2+1} & \end{matrix}\right.$
P/s: ở vmf lúc trước nhưng chưa có lời giải
 

https://diendantoanh...n-khtn-vòng-1/ 
có đây rồi này bạn

cho mk hỏi câu I ngoài cách cần cù bù siêng năng (thay $x^2=2-y^2$) ra thì còn cách nào khác không nhỉ

III-1
Ta có $\widehat{MIC}=\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=\frac{\widehat{B}}{2}+\frac{\widehat{C}}{2}=90^{\circ}-\frac{\widehat{A}}{2}=\widehat{AEF}=\widehat{MEC}\Rightarrow$ MEIC nội tiếp $\Rightarrow \widehat{IMC}=90^{\circ}$
Tương tự $\widehat{INC}=90^{\circ}\Rightarrow$ BNMC nội tiếp
III-2
Dễ thấy CDIEM, BDINF nội tiếp $\Rightarrow \widehat{CDM}=\widehat{CIM}=\widehat{NIB}=\widehat{BDN}$
$\Rightarrow \widehat{IDN}=\widehat{IDM}\Rightarrow DP=DQ\Rightarrow PQ//BC$
P/s: cho mk xin hints của câu c) với ạ

1-1
Pt GT có dạng $a^3+a=b^3+b$ với a=$2x^3$, b=x+1
1-2
Pt (2) đưa về $(x+2y)^3=x^3+y^3+1+3(x+1)(y+1)(x+y)=(x+y+1)^3$ hay y=1 từ đó thay vào tìm x
 

Bài 86: Tìm các số nguyên tố p, q sao cho $q^3+1\vdots p^2$ và $p^6-1\vdots q^2$

Từ phương trình 2 có thể đưa về 

$a^3+3a=x^3+3x$ với $a=y-1$

Suy ra $x=y-1$

có thể hỏi hơi stupid nhưng mk không hieeur sao lại đưa về dc dạng này. (nếu đưa về vậy thì vẫn thừa 3y mà nhỉ)

 

 

bài 82: Tìm x;y nguyên dương sao cho $x^{2}y+x+y$ chia hết cho $xy^{2}+y+1$

$x^2y+x+y\vdots xy^2+y+1\Leftrightarrow y(x^2y+x+y)-x(xy^2+y+1)\vdots xy^2+y+1$
$\Leftrightarrow y^2-x\vdots xy^2+y+1$
Nếu $y^2=x$. Thay vào phương trình GT $y^5+y^2+y\vdots y^4+y+1$ (hiển nhiên đúng) 
Nếu $y^2>x\Rightarrow y^2-x\geq xy^2+y+1\Leftrightarrow y^2(1-x)-x-y-1\geq 0$ (vô lí vì x,y nguyên dương)
Tương tự cho th còn lại

Bạn dùng bất đẳng thức phụ gì ở gần cuối đoạn vậy

cái đầu thì cauchy schwarz còn cái sau thì cauchy ab$\leq \frac{(a+b)^2}{4}$

Cho $\Delta ABC, BC=a, AC=b, AB=c.$ Điểm M bất kì. Chứng minh $MA.cos\frac{A}{2}+MB.cos\frac{B}{2}+MC.cos\frac{C}{2}\geq \frac{a+b+c}{2}$
P/s: welcome vmf come back

Mọi người gợi ý giúp em câu c với ạ! 

 

Cho tam giác ABC nhọn, AB < AC. Vẽ đường tròn (O) đường kính BC cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại E và D, BD cắt CE tại H, AH cắt BC tại F.

1. a/ Chứng minh : AF vuông BC tại F và tứ giác giác BEHF nội tiếp.
2. b/ Tia DE cắt đường thẳng BC tại S. Chứng minh: SE.SD = SB.SC.
3. c/ Tia AH cắt (O) tại K (F nằm giữa A và K). Chứng minh : SK là tiếp tuyến của (O)

Em có vẽ hình nhưng không biết cách nào chèn hình ảnh lên được! Mong các bác hỗ trợ giúp em câu c. Gợi ý cũng được ạ! 

Hints
Giả sử K' là điểm thuộc (O) : SK' là tiếp tuyến của (O)
Chứng minh EFOD nội tiếp. Từ đó chứng minh dc tam giác SK'F đồng dạng vs tam giác SOK'(c-g-c) nên K'F vuông vs BC hay K' trùng K