Hoang72

Đặt $f(x) = D(x)$.

Giả sử tồn tại $x_0\in\mathbb R$ mà $f$ liên tục tại $x_0$.

TH1: $x_0\in\mathbb I$: Tồn tại một dãy $(u_n)\subset \mathbb Q$ mà $\lim u_n = x_0$.

Thế thì $ 0 =f(x_0) = \lim_{x\to x_0} f(x) = \lim f(u_n) = 1$. (vô lí)

TH2: $x_0\in\mathbb Q\setminus \{0\}$: Xét dãy số: $a_n = \frac{\sqrt{n^2+1}}{n}x_0,\forall n\in\mathbb N^*$. Thế thì $(a_n)\subset \mathbb I$

$\Rightarrow 1 = f(x_0) = \lim f(a_n) = 0$. (vô lí)

TH3: $x_0 = 0$: Xét dãy số $u_n = \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}$. Chứng minh tương tự ta có điều vô lí.

Vậy hàm số Dirichlet gián đoạn tại mọi điểm.

Vậy còn chứng minh $f$ bị chặn dưới trên $\left \lfloor a,+\infty \right )$ thì sao ạ

 

Ta có $f$ đạt GTNN trên $\left [ a,x_{o} \right ]$ tại $m$ nên f bị chặn dưới bởi $m$ trên $\left [a,+\infty \right )$

E trình bày như vậy có đúng không ạ?

Chặn dưới thì bạn chọn GTNN và ta cũng có $f(x) > l - \delta,\forall x > x_0$.

Do $\lim_{x\to+\infty} = l$ nên $\forall \delta > 0,\exists x_0 \geq a: |f(x) - l| < \delta,\forall x > x_0$

$\Rightarrow f(x) \leq \delta + l,\forall x > x_0$.

Đồng thời $f$ liên tục trên $[a; x_0]$ nên nó có giá trị lớn nhất là $M$ trên đoạn này.

Vậy $f$ bị chặn trên bởi $\max\{M, \delta + l\}$.

Bạn xem bài toán tổng quát ở đây

Chọn ra $5$ hàng sao cho $5$ hàng đó chứa số quân cờ là nhiều nhất.

Gọi $a$ là số quân cờ nằm trên $5$ hàng này.

Ta chứng minh $a\geq 10$. Thật vậy, giả sử phản chứng $a< 10$. Thế thì $5$ hàng còn lại chứa ít nhất $6$ quân cờ, do đó tồn tại $1$ hàng trong số này chứa nhiều hơn $1$ quân cờ. Đồng thời, vì $5$ hàng ta chọn lúc đầu chứa ít hơn $10$ quân cờ nên tồn tại $1$ hàng sẽ chứa không quá $1$ quân cờ. Điều này hiển nhiên là mâu thuẫn với cách chọn các hàng sao cho chứa số quân cờ nhiều nhất.

Do đó $5$ hàng này chứa ít nhất $10$ quân cờ. Chọn $5$ cột chứa $5$ quân cờ còn lại ta có đpcm.