Mong là không có gì sai sót ạ:
Cho $a=0$, ta sẽ chứng minh $$\forall \epsilon >0,\exists b,c\in\mathbb Z: 0<|b\sqrt{2}-c\sqrt{3}|<\epsilon$$
Xét phương trình nghiệm nguyên dương: $3s^2-2t^2=1$. (*)
Xét hai dãy số $(x_n)$ và $(y_n)$ cho bởi công thức:
$$\begin{cases} x_1 = 3; y_1=1 \\ x_{n+1}=5x_n+12y_n \\ y_{n+1}=2x_n+5y_n \end{cases}$$
Khi đó bằng quy nạp ta chứng minh được với mọi $n$, $(x_n,y_n)$ là một cặp nghiệm của phương trình nghiệm nguyên dương: $$x^2-6y^2=3$$
Mặt khác dễ thấy $3\mid x_n,\forall n\in\mathbb N^*$.
Từ đó với mọi $n\in\mathbb N^*$, $\left(\frac{x_n}{3},y_n\right)$ là một nghiệm nguyên dương của phương trình (*).
Hơn nữa, $\lim_{n\to+\infty} \frac{x_n}{3} =\lim_{n\to+\infty} y_n=+\infty$.
Do đó chọn $c,b\in\mathbb N^*$ đủ lớn sao cho $3c^2-2b^2=1$ và $b\sqrt{2}+c\sqrt{3}>\frac{1}{\epsilon}$, ta được $0<|b\sqrt{2}-c\sqrt{3}|<\epsilon$.