Mrwhite320064

Bạn có thể phát biểu định lí brocard trong bài đc ko?

thì H là trực tâm của tam giác AMS thôi bn

cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$, chứng minh rằng:

$\sum \frac{a^{5}+b^{5}}{a^{5}+b^{5}+c^{2}}\geq 2$

 

Dễ chứng minh :$a^{5}+b^5\geq ab(a^3+b^3)$ ( bn cm bằng chuyển vế rồi phân tích ra nhé !)

Ta có : $VT=3-\sum \left ( \frac{c^2}{a^5+b^5+c^2} \right )\geq 3-\sum \left ( \frac{c^2}{ab(a^3+b^3)+c^2} \right )=3-\sum \left ( \frac{c^3}{a^3+b^3+c^3} \right )=2$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 (đpcm)

cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$, chứng minh rằng

$\frac{3ab+5a}{b^{2}+4b+3}+\frac{3bc+5b}{c^{2}+4c+3}+\frac{3ca+5c}{a^{2}+4a+3}\geq 3$

$VT=\sum \left [ \frac{8a(3b+5)}{4(2b+2)(b+3)} \right ]\geq 8\sum \left [ \frac{a(3b+5)}{(3b+5)^2} \right ]=8\sum \left ( \frac{a}{3b+5} \right )\geq 8\frac{(a+b+c)^2}{3\sum ab+5\sum a}$ (*)

Mà dễ chứng minh $ab+bc+ca \leq 3$ nên

$VP(*)\geq \frac{8.3^2}{3.3+5.3}=3$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =1   ( đpcm)

Liệu có nhầm lẫn khi sử dụng Holder lần thứ 2?

sr, có vẻ mk lm sai r =((

Bây giờ là bài số 24

$\boxed{24}$ Cho $a,b,c$ là các số không âm. Chứng minh rằng:

$$3\sqrt[9]{\frac{a^9+b^9+c^9}{3}} \geq \sqrt[10]{\frac{a^{10}+b^{10}}{2}}+\sqrt[10]{\frac{b^{10}+c^{10}}{2}}+\sqrt[10]{\frac{c^{10}+a^{10}}{2}}$$

Lời giải: 

Đặt : $f(x)=3\sqrt[9]{\frac{a^{9}+b^{9}+c^{9}}{3}}-\sum \left ( \sqrt[10]{\frac{a^{10}+b^{10}}{2}} \right )=f(ta,tb,tc)$    với t là số thực bất kì

Nên ta chuẩn hóa : a + b + c = 3 .

Ta có :

$\left ( \sum \left ( \sqrt[10]{\frac{a^{10}+b^{10}}{2}} \right ) \right )^{10}\leq (a^{10}+b^{10}+c^{10}).3^9$             ( bất đẳng thức holder)

Mà :

$\sum a^{10}\leq \sqrt[3]{3.(\sum a)(\sum a^{9})}=\sqrt[3]{9(\sum a^{9})}$             ( bất đẳng thức holder)

Do đó :

$\left ( \sum \left ( \sqrt[10]{\frac{a^{10}+b^{10}}{2}} \right ) \right )^{10}\leq \sqrt[3]{3^{29}(\sum a^{9})}\Leftrightarrow\left ( \sum \sqrt[10]{\frac{a^{10}+b^{10}}{2}} \right )\leq 3\sqrt[30]{\frac{\sum a^{9}}{3} }$

Ta cần chứng minh : 

$\sqrt[30]{\frac{\sum a^{9}}{3}}\leq \sqrt[9]{\frac{\sum a^{9}}{3}}\Leftrightarrow \left ( \frac{\sum a^{9}}{3} \right )^{7}\geq 1\Leftrightarrow \sum a^{9}\geq 3$ (Luôn đúng vì $\frac{\sum a^{9}}{3}\geq \left ( \frac{\sum a}{3} \right )^{9}=1\Leftrightarrow \sum a^{9}\geq 3$) 

suy ra đpcm ( dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi a = b = c  )