mapdjtbeoidethuong

Em vừa nghĩ ra mọi người xem thử có đúng không ạ:

Ta có: $\sum \frac{a}{\sqrt{b+\sqrt{ac}}}\geqslant \frac{3}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \sum \frac{a}{\sqrt{2b+2\sqrt{ac}}}\geqslant \frac{3}{2}$.

Mà:$\sum \frac{a}{\sqrt{2b+2\sqrt{ac}}}\geqslant \sum \frac{a}{\sqrt{2b+a+c}}=\sum \frac{2a}{\sqrt{4.(2b+a+c)}}\geqslant \sum \frac{4a}{a+2b+c+4}$

$=4\sum \frac{a^2}{a^2+2ab+ac+4a}\geqslant \frac{4(\sum a)^2}{\sum a^2+3\sum ab+4\sum a}=\frac{4(\sum a)^2}{(\sum a)^2+\sum ab+4\sum a}.$

Ta đi c/m: $\frac{4(\sum a)^2}{(\sum a)^2+\sum ab+4\sum a} \geqslant \frac{3}{2} \Leftrightarrow 8(\sum a)^2\geqslant 3(\sum a)^2+3\sum ab+12\sum a$

$\Leftrightarrow 5(\sum a)^2\geqslant 3\sum ab+12\sum a$.

Ta có:  $(\sum a)^2\geqslant 3\sum ab.$

            $\sum a \geqslant 3\sqrt[3]{abc}\geqslant 3 \Rightarrow (\sum a)^2\geqslant 3\sum a\Rightarrow 4(\sum a)^2\geqslant 12\sum a.$

Do đó ta có đpcm

Cho $x,y$ là $2$ số thực dương thỏa mãn điều kiện $|x-2y|\leqslant \frac{1}{\sqrt{x}}$ và $|y-2x|\leqslant \frac{1}{\sqrt{y}}$. Tìm Max của:

$$P=x^2+2y$$

Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn $x\geq 7, x+y\geq 12,x+y+z=15$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = $x^{2}+y^{2}+z^{2}$
 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, đường kính $AK$. $P$ là điểm bất kì trên đường cao kẻ từ $A$ của tam giác $ABC$. Dựng hình bình hành $BPCQ$. Chứng minh rằng $QK$ vuông góc với $BC$.