VHTuan

Tìm tất cả các số nguyên n sao cho đa thức $1+x+x^2+...+x^{100}$ có thể viết được dưới dạng $P^2+nQ^2$ trong đó P và Q là những đa thức với hệ số hữu tỷ

Xét các số thực $a,b,c$ thay đổi trên đoạn $[1;2]$ sao cho $a^2+b^2+c^2=6$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  $P=4\left(\frac{b c^2}{a+b}+\frac{c a^2}{b+c}+\frac{a b^2}{c+a}\right)+ab+bc+ca$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a, AB=b, AD=c. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (SBD). Chứng minh rằng $aS_{HBD}+bS_{HSD}+cS_{HSB} \leq \frac{abc\sqrt{3}}{2}$

Tìm tất cả các hàm số $R\rightarrow R$ thoả$f(x+y(f(x))=f(1-xy)+f(x+y)$

Đặt $a_1,a_2,...,a_{2019}$ là các số nguyên dương và P(x) là đa thức với hệ số nguyên thoả, với mọi số nguyên dương n thì $P(n)|a_1^n+a_2^n+...+a_{2019}^n$. Chứng minh P(x) là đa thức hằng.