Nếu $P(x)\equiv c\Rightarrow c=0, c=-2$
Xét $P(x)\not\equiv c$
Xét phân tích tiêu chuẩn của $P(x)$:
$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$
Ta sẽ so sánh hệ số bậc cao nhất: $x^{2n}$
ta có:
$2P(x)^{2}=2a_{n}x^{2n}+...$
$2P(x^{2})=2a_{n}x^{2n}+...$
$P(2x)^{2}=2^{2n}a_{n}^{2}x^{2n}+...$
Cân bằng hệ số:$\Rightarrow a_{n}=\frac{1}{2^{2n-1}-1}$
ta sẽ so sánh hệ số bậc cao thứ 2: $x^{2n-1}$
$\left\{\begin{matrix} 2P(x)^{2}=2a_{n}^{2}x^{2n}+2a_{n}a_{n-1}x^{2n-1}+... & & \\ P(2x)^{2}=2^{2n}a_{n}^{2}x^{2n}+2^{2n-1}a_{n}a_{n-1}x^{2n-1} & & \\ 2P(x^{2})=2a_{n}x^{2n}+2a_{n-1}x^{2n-2} & & \end{matrix}\right.$
Đồng nhất hệ số bậc cao thứ 2 và vì $a_{n}\neq 0$ ta có:
$\left\{\begin{matrix} a_{n-1}=0 & \\ 2=2^{2n-1}\Rightarrow n=1 & \end{matrix}\right.$
Lập luận tương tự với $a_{n-2}, a_{n-3}$ ta thấy có 2 trường hợp $a_{n}=\frac{1}{2^{2n-1}-1}, a_{n-1}=a_{n-2}=...=a_{1}=0$ và n=1
tự giải 2 trường hợp này ta thấy các nghiệm thỏa mãn
Với trường hợp a(n-2) thì hơi khác một chút:
bạn cũng phân tích từng cái ra rồi ta sẽ có:
$2a_{n}a_{n-2}=2^{2n-2}a_{n}a_{n-2}$
để ý khi ta xét đến a(n-1) thì degP lớn hơn hoặc bằng 2=>n lớn hơn hoặc bằng 2
thay vào bên trên ta có ngay a(n-2)=0
trường hợp a(n-3) n-4 .... ta làm tương tự