hovutenha

Nếu $P(x)\equiv c\Rightarrow c=0, c=-2$

Xét $P(x)\not\equiv c$

Xét phân tích tiêu chuẩn của $P(x)$:

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$

Ta sẽ so sánh hệ số bậc cao nhất: $x^{2n}$

ta có: 

$2P(x)^{2}=2a_{n}x^{2n}+...$

$2P(x^{2})=2a_{n}x^{2n}+...$

$P(2x)^{2}=2^{2n}a_{n}^{2}x^{2n}+...$

Cân bằng hệ số:$\Rightarrow a_{n}=\frac{1}{2^{2n-1}-1}$

ta sẽ so sánh hệ số bậc cao thứ 2: $x^{2n-1}$

$\left\{\begin{matrix} 2P(x)^{2}=2a_{n}^{2}x^{2n}+2a_{n}a_{n-1}x^{2n-1}+... & & \\ P(2x)^{2}=2^{2n}a_{n}^{2}x^{2n}+2^{2n-1}a_{n}a_{n-1}x^{2n-1} & & \\ 2P(x^{2})=2a_{n}x^{2n}+2a_{n-1}x^{2n-2} & & \end{matrix}\right.$

Đồng nhất hệ số bậc cao thứ 2 và vì $a_{n}\neq 0$ ta có:

$\left\{\begin{matrix} a_{n-1}=0 & \\ 2=2^{2n-1}\Rightarrow n=1 & \end{matrix}\right.$

Lập luận tương tự với $a_{n-2}, a_{n-3}$ ta thấy có 2 trường hợp $a_{n}=\frac{1}{2^{2n-1}-1}, a_{n-1}=a_{n-2}=...=a_{1}=0$ và n=1

tự giải 2 trường hợp này ta thấy các nghiệm thỏa mãn

Với trường hợp a(n-2) thì hơi khác một chút:

bạn cũng phân tích từng cái ra rồi ta sẽ có:

$2a_{n}a_{n-2}=2^{2n-2}a_{n}a_{n-2}$

để ý khi ta xét đến a(n-1) thì degP lớn hơn hoặc bằng 2=>n lớn hơn hoặc bằng 2

thay vào bên trên ta có ngay a(n-2)=0

trường hợp a(n-3) n-4 .... ta làm tương tự

Nếu $P(x)\equiv c\Rightarrow c=0, c=-2$

Xét $P(x)\not\equiv c$

Xét phân tích tiêu chuẩn của $P(x)$:

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$

Ta sẽ so sánh hệ số bậc cao nhất: $x^{2n}$

ta có: 

$2P(x)^{2}=2a_{n}x^{2n}+...$

$2P(x^{2})=2a_{n}x^{2n}+...$

$P(2x)^{2}=2^{2n}a_{n}^{2}x^{2n}+...$

Cân bằng hệ số:$\Rightarrow a_{n}=\frac{1}{2^{2n-1}-1}$

ta sẽ so sánh hệ số bậc cao thứ 2: $x^{2n-1}$

$\left\{\begin{matrix} 2P(x)^{2}=2a_{n}^{2}x^{2n}+2a_{n}a_{n-1}x^{2n-1}+... & & \\ P(2x)^{2}=2^{2n}a_{n}^{2}x^{2n}+2^{2n-1}a_{n}a_{n-1}x^{2n-1} & & \\ 2P(x^{2})=2a_{n}x^{2n}+2a_{n-1}x^{2n-2} & & \end{matrix}\right.$

Đồng nhất hệ số bậc cao thứ 2 và vì $a_{n}\neq 0$ ta có:

$\left\{\begin{matrix} a_{n-1}=0 & \\ 2=2^{2n-1}\Rightarrow n=1 & \end{matrix}\right.$

Lập luận tương tự với $a_{n-2}, a_{n-3}$ ta thấy có 2 trường hợp $a_{n}=\frac{1}{2^{2n-1}-1}, a_{n-1}=a_{n-2}=...=a_{1}=0$ và n=1

tự giải 2 trường hợp này ta thấy các nghiệm thỏa mãn

nếu P là hằng số thì P=0 hoặc P=-2

chuyển vế xong thì có nhận xét là a0^2+2a0=0 suy ra a0 =0 hoặc a0 = -2

nếu a0=-2 thì đặt P(x)=Q(x)+a0

thế vào rồi phá bình phương thì ta có: 2Q(x^2)+2Q(x)^2+4a0Q(x)-Q(2x)=0

để ý ở biểu thức trên ko có hệ số tự do nên KMTTQ giả sử bậc nhỏ nhất của Q là 1 thì ta sẽ chia x cho cả 2 vế (đoạn này có thể giả sử là bậc nhỏ nhất là "i")

thì ta sẽ có 4a0a1=0 suy ra a1=0 do a0 khác 0, khi a1=0 thay vào ta thấy Q có bậc nhỏ nhất là 2 rồi lại chia cho x^2.... làm tương tự ta sẽ có an =0 suy ra P(x)=a0=-1/2

nếu a0=0 thì P(x)=Q(x) rồi ta lại chia 2 vế cho x^2(chỗ này thực ra là chia để làm sao cho hết x thôi) rồi ta sẽ lại dc a1^2-a1=0 và a1 khác 0 nên a1=1. bài toán trở lại gần giống bên trên do đó ta có nghiệm: P(x) =0, P(x)=-2, P(x)= x. thử lại ....

chuyển vế và đặt P(x)=Q(x)+a0 rồi xét đến bậc nhỏ nhất của đa thức.

Có: $\left\{\begin{matrix}x^{2022}-x^{1953}=x^{1953}(x^{69}-1) & \\ x^{2022}-x^{1884}=x^{1884}(x^{138}-1) & \end{matrix}\right.$ 

do đó: $x^{1953},x^{1884},x^{69},x^{138}$ là các số nguyên

ta lại có: $x^{1953}=x^{69.28}x^{21}$ nên $x^{21}$ là số nguyên

$x^{69}=x^{21.3}x^{6}$ nên $x^{6}$ là số nguyên

$x^{21}=x^{6.3}x^{3}$ nên $x^{3}$ là số nguyên (dpcm)