Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


hovutenha

Đăng ký: 20-05-2021
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 00:12
-----

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: $$2P(x)^2+2P(x^2)=P(2x)^2,\forall x \in \mathbb...

31-01-2023 - 20:58

Nếu $P(x)\equiv c\Rightarrow c=0, c=-2$

Xét $P(x)\not\equiv c$

Xét phân tích tiêu chuẩn của $P(x)$:

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$

Ta sẽ so sánh hệ số bậc cao nhất: $x^{2n}$

ta có: 

$2P(x)^{2}=2a_{n}x^{2n}+...$

$2P(x^{2})=2a_{n}x^{2n}+...$

$P(2x)^{2}=2^{2n}a_{n}^{2}x^{2n}+...$

Cân bằng hệ số:$\Rightarrow a_{n}=\frac{1}{2^{2n-1}-1}$

ta sẽ so sánh hệ số bậc cao thứ 2: $x^{2n-1}$

$\left\{\begin{matrix} 2P(x)^{2}=2a_{n}^{2}x^{2n}+2a_{n}a_{n-1}x^{2n-1}+... & & \\ P(2x)^{2}=2^{2n}a_{n}^{2}x^{2n}+2^{2n-1}a_{n}a_{n-1}x^{2n-1} & & \\ 2P(x^{2})=2a_{n}x^{2n}+2a_{n-1}x^{2n-2} & & \end{matrix}\right.$

Đồng nhất hệ số bậc cao thứ 2 và vì $a_{n}\neq 0$ ta có:

$\left\{\begin{matrix} a_{n-1}=0 & \\ 2=2^{2n-1}\Rightarrow n=1 & \end{matrix}\right.$

Lập luận tương tự với $a_{n-2}, a_{n-3}$ ta thấy có 2 trường hợp $a_{n}=\frac{1}{2^{2n-1}-1}, a_{n-1}=a_{n-2}=...=a_{1}=0$ và n=1

tự giải 2 trường hợp này ta thấy các nghiệm thỏa mãn

Với trường hợp a(n-2) thì hơi khác một chút:

bạn cũng phân tích từng cái ra rồi ta sẽ có:

$2a_{n}a_{n-2}=2^{2n-2}a_{n}a_{n-2}$

để ý khi ta xét đến a(n-1) thì degP lớn hơn hoặc bằng 2=>n lớn hơn hoặc bằng 2

thay vào bên trên ta có ngay a(n-2)=0

trường hợp a(n-3) n-4 .... ta làm tương tự


Trong chủ đề: $$2P(x)^2+2P(x^2)=P(2x)^2,\forall x \in \mathbb...

31-01-2023 - 20:27

Nếu $P(x)\equiv c\Rightarrow c=0, c=-2$

Xét $P(x)\not\equiv c$

Xét phân tích tiêu chuẩn của $P(x)$:

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$

Ta sẽ so sánh hệ số bậc cao nhất: $x^{2n}$

ta có: 

$2P(x)^{2}=2a_{n}x^{2n}+...$

$2P(x^{2})=2a_{n}x^{2n}+...$

$P(2x)^{2}=2^{2n}a_{n}^{2}x^{2n}+...$

Cân bằng hệ số:$\Rightarrow a_{n}=\frac{1}{2^{2n-1}-1}$

ta sẽ so sánh hệ số bậc cao thứ 2: $x^{2n-1}$

$\left\{\begin{matrix} 2P(x)^{2}=2a_{n}^{2}x^{2n}+2a_{n}a_{n-1}x^{2n-1}+... & & \\ P(2x)^{2}=2^{2n}a_{n}^{2}x^{2n}+2^{2n-1}a_{n}a_{n-1}x^{2n-1} & & \\ 2P(x^{2})=2a_{n}x^{2n}+2a_{n-1}x^{2n-2} & & \end{matrix}\right.$

Đồng nhất hệ số bậc cao thứ 2 và vì $a_{n}\neq 0$ ta có:

$\left\{\begin{matrix} a_{n-1}=0 & \\ 2=2^{2n-1}\Rightarrow n=1 & \end{matrix}\right.$

Lập luận tương tự với $a_{n-2}, a_{n-3}$ ta thấy có 2 trường hợp $a_{n}=\frac{1}{2^{2n-1}-1}, a_{n-1}=a_{n-2}=...=a_{1}=0$ và n=1

tự giải 2 trường hợp này ta thấy các nghiệm thỏa mãn


Trong chủ đề: $$2P(x)^2+2P(x^2)=P(2x)^2,\forall x \in \mathbb...

28-01-2023 - 22:34

nếu P là hằng số thì P=0 hoặc P=-2

chuyển vế xong thì có nhận xét là a0^2+2a0=0 suy ra a0 =0 hoặc a0 = -2

nếu a0=-2 thì đặt P(x)=Q(x)+a0

thế vào rồi phá bình phương thì ta có: 2Q(x^2)+2Q(x)^2+4a0Q(x)-Q(2x)=0

để ý ở biểu thức trên ko có hệ số tự do nên KMTTQ giả sử bậc nhỏ nhất của Q là 1 thì ta sẽ chia x cho cả 2 vế (đoạn này có thể giả sử là bậc nhỏ nhất là "i")

thì ta sẽ có 4a0a1=0 suy ra a1=0 do a0 khác 0, khi a1=0 thay vào ta thấy Q có bậc nhỏ nhất là 2 rồi lại chia cho x^2.... làm tương tự ta sẽ có an =0 suy ra P(x)=a0=-1/2

nếu a0=0 thì P(x)=Q(x) rồi ta lại chia 2 vế cho x^2(chỗ này thực ra là chia để làm sao cho hết x thôi) rồi ta sẽ lại dc a1^2-a1=0 và a1 khác 0 nên a1=1. bài toán trở lại gần giống bên trên do đó ta có nghiệm: P(x) =0, P(x)=-2, P(x)= x. thử lại ....


Trong chủ đề: $$2P(x)^2+2P(x^2)=P(2x)^2,\forall x \in \mathbb...

28-01-2023 - 22:04

chuyển vế và đặt P(x)=Q(x)+a0 rồi xét đến bậc nhỏ nhất của đa thức.


Trong chủ đề: Cho số thực x thỏa mãn $x^{2022}-x^{1953}$ và $x^{2022}-x^...

25-01-2023 - 10:10

Có: $\left\{\begin{matrix}x^{2022}-x^{1953}=x^{1953}(x^{69}-1) & \\ x^{2022}-x^{1884}=x^{1884}(x^{138}-1) & \end{matrix}\right.$ 

do đó: $x^{1953},x^{1884},x^{69},x^{138}$ là các số nguyên

ta lại có: $x^{1953}=x^{69.28}x^{21}$ nên $x^{21}$ là số nguyên

$x^{69}=x^{21.3}x^{6}$ nên $x^{6}$ là số nguyên

$x^{21}=x^{6.3}x^{3}$ nên $x^{3}$ là số nguyên (dpcm)