TARGET

Cho $x,y,z$ thực dương.Chứng minh BĐT sau:

 

$$\frac{(x+y)^2}{x^2+y^2+xy+yz}+\frac{(y+z)^2}{y^2+z^2+yz+zx}+\frac{(z+x)^2}{z^2+x^2+xy+xz}\leq 3$$

Tương đương:

$xyz\left ( \sum x^{3} \right )+\sum xy^{5}\geq xyz\left ( \sum xy\left ( x+y \right ) \right )$

Theo AM-GM

$\sum xy^{5}\geq 3x^{2}y^{2}z^{2}$

Bất đẳng thức cuối cùng tương đương$\sum x^{3}+3xyz\geq \sum xy\left ( x+y \right )$ (Luôn đúng theo Schur )

Cho $a,b,c\geqslant 0$ và $a^2+b^2+c^2=2$

Chứng minh: $a^3+b^3+c^3+3abc\geqslant \frac{8a^2b^2}{(a+b+c)^2}$ với $a^2b^2=max\left \{ a^2b^2,b^2c^2,c^2a^2 \right \}$

Dễ dàng chứng minh 

$f\left ( a,b,c \right )\geq f\left ( a1,b1,0 \right )$

Với $a+b+c\doteq a1+b1$

\Nên ta chỉ cần chứng minh khi một biến =0 là đủ

$(a+b)^{3}(a^{2}-ab+b^{2})\geq 8a^{2}b^{2}$

Luôn đúng theo AM-GM

Ta luôn có bổ đề$2x^{3}\geq 3x^{2}-1$

$\left ( \doteq \right )\left ( x-1 \right )^{2}\left ( 2x+1 \right )\geq 0$

Áp dụng vào ta cần chứng minh $\frac{15\sum x^{2}}{2} +3xyz +\frac{3}{2}\geq 9\sum xy$

Mà ta có $\frac{3xyz}{2} +\frac{3xyz}{2} +\frac{3}{2}\geq \frac{27xyz}{2\sum x}$

Theo Schur thì $\frac{3}{2}\left ( \sum x^{2} +\frac{9xyz}{\sum x}\right )\geq 3\sum xy$

Và theo AM_GM$6\sum a^{2}\geq 6\sum ab$ (Q.E.D)

Theo Holder bậc 4:

$\left ( \sum \frac{b^{2}c^{3}}{a^{2}\left ( b+c \right )^{3}} \right )\left ( 3abc+\sum ab^{2}\right )\left ( 2abc\sum a \right )\left ( 2\sum a \right )\geq \frac{\left ( \sum ab \right )^{4}}{\left ( 3abc+\sum ab^{2} \right )\left ( 2abc\sum a \right )\left ( 2\sum a \right )}$

Điều này tương đương$q^{4}\geq 9r^{2}p^{2}$

Luôn đúng theo BĐT AM-GM

$a,b,c>0,a+b+c=3$.Chứng minh $\sum \frac{1}{(a+b)^{3}} + \frac{9}{4\left ( a\sqrt{a}+b\sqrt{b} +c\sqrt{c}\right )} \geq \frac{9}{8}$

Đây chỉ là một mánh để đưa về Iran 1996 và áp dụng bổ đề $\left ( \sum a^{2} \right )\left ( \sum ab \right )^{2}\leq \frac{\left ( \sum a \right )^{6}}{27}$

Để có $\sum ab$ ở dưới mẫu thì đoạn này dùng Cosi cái roẹt là ra

Mình nghĩ bạn không nên post mấy bài mẹo mực kiểu này .Ý kiến cá nhân