Đến nội dung


Serine

Đăng ký: 16-07-2021
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 22:51
*****

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: $f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)$

16-09-2021 - 12:00

Em thấy đến khúc đơn ánh hợp lý rồi á, sau đó thể tiếp như sau (chưa có $f(0)=0$):

 

$x=0: f(f(0)+y)=f(f(y))$

$\implies f(y)=y+f(0)=y+a$

Thay vào đề thỏa, vậy $f(x)=x+a \quad \forall x \in \mathbb{R}$


Trong chủ đề: $f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)$

16-09-2021 - 11:41

Vẫn bài trên, nhưng đổi để hàm thỏa dễ nhìn hơn và bỏ hàm lẻ để không cho người làm được lụm $f(0)=0$ ngay từ đầu 

Trích và sửa từ bài Đồng Tháp

Thay $x=0$ ta được $f(y)=f(f(y))$ (1)

Thay $y$ bởi $-f(x)$ ta được $f(x-f(-f(x)))=-2x+f(0)$ suy ra $f$ toàn ánh 

Do đó tồn tại $t\in\Bbb R$ sao cho $f(t)=0$

Thay $x=t$ ta được $f(f(y)-t)=f(y)-2t$ suy ra $f$ đơn ánh.

Do đó (1) suy ra $f(y)=y, \forall y\in\mathbb R$

Vậy $f(x)=x, \forall y\in\mathbb R$

Thử lại thấy thỏa mãn.

$f(0)$ chưa bằng 0 mà a


Trong chủ đề: $f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)$

15-09-2021 - 23:44

Ặc giải trên đề Đồng Tháp rồi mà :< 

 

Đề Chọn đội tuyển Đồng Tháp 2021 ( do @pco2 giải) 

Một cái $f(f(x)+y)=2x+$$f(f(y)-x)$

Một cái $f(f(x)+y)=2x+$$f(x-f(y))$ màa


Trong chủ đề: $f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)$

15-09-2021 - 07:41

Đề Chọn đội tuyển Đồng Tháp 2021 ( do @pco2 giải) 

IMOSL 2002 á anh hehe, quăng em cái link xíu.


Trong chủ đề: Chứng minh $JA' \bot BC$

09-09-2021 - 23:04

$HA' \cap BC= M$, dễ cm $HBA'C$ là hbh nên $M$ là td 2 đoạn đó

Kẻ $AL \parallel Ix \parallel BC (L \in (O))$

$\implies IM \parallel AA' $

Mà $IB \parallel AY, IC \parallel AX$

$\implies A(YX,HA')=I(BC,HA')=-1$

$\implies L, A', J$ thẳng hàng

Có $A'A$ là đk của $(O)$ nên $JA' \bot BC$

 

Em tưởng ép y chang bổ đề đó vô nên nghĩ hơi lâu. Ý anh là z hả hay là lời giải khác, có thì cho em xin nha!