tuannguyenhue

Do $a,b$ trái dấu nên $\frac{a^{2}+2b^{2}}{ab}\leq \frac{2\sqrt{2}\left | ab \right |}{ab}=-2\sqrt{2}$

Vậy giá trị lớn nhất của $P=-2\sqrt{2}.$ Dấu bằng xảy ra khi $a=-b\sqrt{2}$ Thỏa mãn giả thiết đã cho

Nice inequality. Không cần giả thiết $a+b+c=2$. Ta có$\sum \sqrt{\frac{a+abc}{b+c}}\geq \sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}$

Ta lại có: $\sqrt{\frac{a}{b+c}}\doteq \frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}\geq \frac{2a}{a+b+c}$
Nên $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \sum \frac{2a}{a+b+c}=2$

Ta có điều phải chứng minh

Cái chỗ màu xanh làm rõ hơn được không bạn ?

Ta có $0\leq (a-b)^{2}(b-c)^{2}(c-a)^{2}\Leftrightarrow (abc-(1-2t)(1+t)^{2})(abc-(1+2t)(1-2t)^{2})\leq 0$

Hơn nữa $(1-t)^{2}(1+2t)-(1+t)^{2}(1-2t)=4t^{3}\geq 0$

Nên $(1+t)^{2}(1-2t)\leq abc\leq (1-t)^{2}(1+2t)$