NamAnhk4

1. Cho $a, b, c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng $(a+bc)^{2}+(b+ca)^{2}+(c+ab)^{2}\geq \sqrt{2} (a+b)(b+c)(c+a)$

 

2.Tìm tất cả giá trị $n$ sao cho đa thức $x^{n} + 4$ có thể phân tích thành tích của hai đa thức khác hằng số với hệ số nguyên

 

3. Cho tam giác $ABC$, biết rằng trung tuyến $AM$ có độ dài bằng $1$ trong $2$ cạnh kề góc $A$ của tam giác $ABC$ và $(d)$ là đường thẳng qua $M$ song song với đường thẳng chứa cạnh này. Trên $AC$ và tiếp tuyến tại $C$ của đường tròn $(ACM)$ lấy lần lượt 2 điểm $N,D$ sao cho $NB=NC, DB=DC. (d)$ giao $(NMC)$ tại điểm thứ 2 $K. AM$ giao $(DMC)$ tại điểm thứ 2 $I. CD$ cắt đường tròn $(ABC)$ tại $E$ khác $C$. 

Chứng minh đường thẳng nối trung điểm $AE, IK$ đi qua $C$

 

4. Cho $2021$ thành phố, biết rằng từ $1$ thành phố bất kì có thể bay sang đúng $n$ thành phố khác (đường bay là 2 chiều). Tìm $n$ nhỏ nhất sao cho: Để di chuyển từ thành phố $A$ bất kì sang $1$ thành phố $B$ khác, chỉ cần trung chuyển không quá $2$ thành phố khác

 

5. Sau khi cân $11$ con gà, bác nông dân có nhận xét sau:

- Luôn có thể chia $10$ con gà bất kì thành hai nhóm, mỗi nhóm $5$ con, sao cho tổng cân nặng ở mỗi nhóm bằng nhau

- Tổng cân nặng của cả đàn gà là $759$.

Tính cân nặng của mỗi con gà, biết rằng các cân nặng này đều là số tự nhiên.

Ngày 1

1. Cho 2 dãy số $(a_{n}), (b_{n})$ thỏa:

$a_{1} = 1, b_{1} = 0$

$a_{n+1}=2a_{n}b_{n}$

$b_{n+1}=b_{n}^{2} - a_{n}^{2}$

Tìm giới hạn của $(a_{n}+b_{n})$

 

2. Cho $2021$ thẻ có kích thước như nhau được đánh số từ $1$ đến $2021$. Hỏi có thể chia số thẻ này thành tối đa bao nhiêu phần để mỗi phần thỏa 2 điều kiện sau:

- Mỗi phần có tối thiểu 2 thẻ

- Mỗi phần có ít nhất 2 thẻ sao cho tổng hoặc hiệu của chúng là 1 số chính phương khác 1?

 

3. Tìm các bộ $(x,y,z)$ nguyên dương thỏa mãn: $x^{2} + 2y^{2} = 3z^{3}$

 

4. Cho $A, B, C$ là 3 điểm thuộc đường tròn $(O)$ tâm $O$ có $O, B, C$ cố định. $A$ đi động trên cung lớn $BC$ của $(O)$ sao cho $ABC$ là tam giác nhọn. $AD, BE, CF$ là 3 đường cao của tam giác $ ABC$. Đường thẳng qua $A$ song song với $EF$ cắt đường tròn đường kính $AB, AC$ tại $M,N$ khác A.

a. Chứng minh khi $A$ thay đổi, tồn tại $1$ điểm $T$ cố định luôn cách đều $M, N$.

b. Chứng minh tâm của đường tròn $(DMN)$ nằm trên 1 đường tròn cố định

 

P/s: Hôm qua mình vội quá đánh nhầm đề câu 3, 4b nhé ( đã chỉnh lại)

 

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Ngày 2

 

5. Cho ba số thực $x$, $y$, $z$ là 3 số thực không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Chứng minh:

$T= \frac{x}{1-yz}+\frac{y}{1-zx}+\frac{z}{1-xy}$ chỉ có thể nhận tối đa 2 giá trị nguyên. Tìm các bộ $(x,y,z)$ để $T$ đạt giá trị tại 2 giá trị nguyên này

 

6. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sao cho $f(f(y)(x + 1)) = y(f(x) + 1) \quad \forall x,y \in \mathbb{R}$.

 

7. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân nội tiếp đường tròn $(O)$ tâm $O. A$ đối xứng $A'$ qua đường thẳng $BC.$ Trên đường thẳng $AO$, lấy 2 điểm $A_{b}, A_{c}$ sao cho $BA_{b}=BA;CA_{c}=CA$. Kí hiệu tam giác $A'A_{b}A_{c}$ là $T_{a}$ có $O_{a}$ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Xác định tương tự cho 2 tam giác $T_{b}, T_{c}$  và 2 điểm $O_{b}, O_{c}$

a. Chứng minh 3 đường thẳng $AO_{a} ,BO_{b}, CO_{c} $ đồng quy tại 1 điểm

b. Chứng minh 3 đường thẳng Euler của 3 tam giác $T_{a},T_{b}, T_{c}$ đồng quy tại 1 điểm

 

8. Cho $n$ là một số nguyên dương. Hãy tìm số nguyên $k$ nhỏ nhất với tính chất sau:

Với mọi số thực $a_1,...,a_d$ sao cho $a_1+a_2+...+a_d=n$ và $0\le a_i\le 1$ $(i=\overline{1,d})$, ta luôn có thể chia $d$ số trên thành $k$ nhóm, và tổng các số trong mỗi nhóm không lớn hơn $1$.