thh2

Cho ngũ giác đều ABCDEF. I là điểm thay đổi trên cạnh AB. Gọi M, N, P, Q là hình chiếu của I trên các đường thẳng chứa cạnh còn lại của ngũ giác. Gọi G là trọng tâm tứ giác MNPQ. CM IG luôn đi qua 1 điểm cố định.

Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn:

$f^{2}(x)\geq f(x+y)(f(x)+y)\forall x,y\in \mathbb{R}^{+}$

Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(x)=max_{y\in \mathbb{R}}\left \{ xy-f(y) \right \}\forall x\in \mathbb{R}$

Cho tam giác ABC có đường tròn tâm I nội tiếp tam giác và tiếp xúc với các cạnh BC, CA và AB lần lượt tại D, E và F. CMR AD, BE, CF đồng quy tại điểm J và $(p-a)(p-c)\overrightarrow{JA}+(p-a)(p-c)\overrightarrow{JB}+(p-b)(p-c)\overrightarrow{JC}=0$. Trong đó p là nửa chu vi tam giác ABC, a=BC, b=AC và c=AB.

Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(x)f(y)=f(xy)$, $f(x+y)=f(x)+f(y)\forall x,y \in \mathbb{R}$