Explorer

Cho $a_{0}=\sqrt{2}$,$b_{0}=2$,$a_{n+1}=\sqrt{2-\sqrt{4-a_{n}^{2}}}$,$b_{n+1}=\frac{2b_{n}}{2+\sqrt{4+b_{n}^{2}}}$

1. Chứng minh $(a_{n},b_{n})$ không tăng và hội tụ về 0

2. Chứng minh $(2^{n}a_{n})$ tăng và $(2^{n}b_{n})$ giảm và hai dãy đó hội tụ về cùng một giá trị

3. Chứng minh rằng tồn tại một số C sao cho với mọi n thì bất đẳng thức sau luôn đúng:

$0<b_{n}-a_{n}<\frac{C}{8^{n}}$

Cho $f(x)=ax^{2}+bx+c$. Biết $2a+3b+6c=0$. Chứng minh rằng f(x) có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0,1)

Chứng mình rằng nếu f,g là các hàm số liên tục trên đoạn [a,b] và f(x) = g(x) với mọi x là số hữu tỷ trong đoạn [a.b] thì f(x) = g(x) với mọi x thuộc [a,b].

(Nếu ta thay hữu tỷ bởi vô tỷ thì bài toán còn đúng hay không?)

Tính  $\lim_{x\rightarrow a}\frac{x^{a}-a^{a}}{x-a}$ với a là 1 số thực nào đó

Chứng minh rằng nếu $\lim_{x\rightarrow +\infty }a_{n} = a$ thì $\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{a_{1}+a_{2}+...a_{n}}{n}=a$