Math04

Cho $a,b,c>0$. Dùng phương pháp $p,q,r$ hãy chứng minh: $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq2$

Xét hình chữ nhật $1 \times n$ gồm $n$ ô vuông $1 \times 1$. Mỗi ô điền số $0$ hoặc $1$. Một cách điền "đẹp" nếu như ba ô liên tiếp nhau bất kỳ đều không chứa ba số giống nhau. Với mỗi $n \geq 3$, gọi $a_n$ là số cách điền "đẹp". Tính $a_n$.

Có $20$ viên sỏi xếp thành ba đống. Mỗi lần cho phép lấy một nửa số sỏi từ đống có chẵn viên sỏi và chuyển sang đống khác. Chứng minh dù ban đầu các đống sỏi sắp xếp như thế nào, sau hữu hạn bước luôn có thể tạo ra một đống sỏi chứa đúng $10$ viên sỏi.

Với số thực $x$ có phần lẻ khác $\frac{1}{2}$, ta kí hiệu $<x>$ là số nguyên gần nhất với $x$. Xét dãy: $a_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{<\sqrt{k}>}-2\sqrt{n}, n=1,2...$.

a) Chứng minh dãy trên hội tụ và tìm giới hạn đó.

b) Đặt $b_n=\sqrt{n}(a_n-L)$ với $L=lima_n$. Chứng minh với mọi số thực $\alpha \in [0;\frac{1}{4}]$, luôn tồn tại một dãy con của $(b_n)$ có giới hạn bằng $\alpha$

Cho $n \in \mathbb{N}$ hãy chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên $k$ sao cho với mọi $m\ge k$ , tồn tại một dãy $m$ số tự nhiên liên tiếp mà chứa đúng $n$ số nguyên tố.