Gọi $a,b,c$ là các số nguyên dương $\geq 2$, đôi một nguyên tố cùng nhau
Khi đó : $\left ( 2^{a}-1;2^{b}-1 \right )=\left ( 2^{b}-1;2^{c}-1 \right )=\left ( 2^{c}-1;2^{a}-1 \right )=1$
Theo định lí thặng dư Trung Hoa, tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho : $\begin{cases} n \equiv 0(\mod 2^{a}-1)\\ n \equiv -1(\mod 2^{b}-1)\\ n \equiv -2 (\mod 2^{c}-1) \end{cases}$
Vậy tồn tại số nguyên dương $n$ thỏa mãn yêu cầu bài toán