Sangnguyen3

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có ba đường cao AD,BE,CF đồng quy tại H. Gọi M,N lần lượt là trung điểm BC và AH. NO cắt (BOC) tại K khác O, (BOC) cắt (DEF) tại X và Y. Tia MH cắt (O) tại T. CMR TK,MN và XY đồng quy.

1/Tìm tất cả các số nguyên dương $(m;n)$ sao cho: $m\mid 2^{\varphi (n)}+1$ và $n\mid 2^{\varphi (m)}+1$

Với các số nguyên $a,b$ nguyên tố cùng nhau, $a> b> 1$, ta xét dãy số sau: 

$u_n=\varphi (a^{2n-1}+b^{2n-1})$ với $n=1,2,3,...$ 

1. Chứng minh rằng nếu $p> 3$ là số nguyên tố lẻ và có số hạng nào đó của dãy trên bằng $2p$ thì $a+b=2p+1$ hoặc $a+b=2(2p+1)$

2. Chứng minh rằng $\frac{\left ( 2k \right )!}{k!}\mid \prod_{i=1}^{k}u_i$

$1/$ Cho $a,b$ là các số nguyên dương thỏa mãn các điều kiện : 

$a|b^{2},b^{3}|a^{4}, a^{5}|b^{6}, b^{7}|a^{8},...$.Chứng minh rằng$:a=b$

$2/$ Tồn tại hay không bộ ba số nguyên tố $(p;q;r)$ sao cho $\left ( p^{2}-7 \right )\left ( q^{2}-7 \right )\left ( r^{2} -7\right )$ là 1 số chính phương

Cho dãy số thực $(u_n)$, $n\in N^{*}$ xác định bởi $u_1=1; u_{n+1}=u_n+\frac{1}{2u_n} , n\in N^{*}$. Tính $lim \frac{u_n}{\sqrt{n}}$ và tìm $[u_{2023}]$