truongphat266

Bài 37: Tìm tất cả các bộ số nguyên dương $(a,b,c)$ thỏa mãn: $2^{a!}+2^{b!}=c^3$

Không mất tính tổng quát, giả sử $a > b \Rightarrow a! = d.b!$

$\Rightarrow c^3 = 2^{d.b!} + 2^{b!}=2^{b!}(2^d+1)$

$\Rightarrow 2 \vert c \Rightarrow 2 \vert 2^d + 1 \Rightarrow d = 0$ (vô lí)

$\Rightarrow a = b \Rightarrow c^3 = 2^{a! + 1} \Rightarrow 3v_p(c) = (a!+1) \Rightarrow v_p(c) = \dfrac{a!+1}{3} \Rightarrow a < 3$

$\Rightarrow a = b = 2 \Rightarrow c = 2$

Bài 13: Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thoả mãn: $5^n+1$ chia hết cho $3^n$

Nếu $n$ chẵn thì $5^n + 1 \equiv 2 \pmod 3$

Suy ra $n$ chẵn thì $v_3(5^n+1) = v_3(5+1) + v_3(n) = 1 + v_3(n)$

Cần $1 + v_3(n) \ge n \Rightarrow v_3(n) \ge n - 1 \Rightarrow 3 \vert n$

Với $n=3$ thì thỏa

Với $n > 3$ đặt $n = 3^{v_3(n)}.q$ với $(q,3)=1$ suy ra:

$$v_3(n) \ge 3^{v_3(n)}.q - 1 = (1+2)^{v_3(n)}q  -1\ge (1+2v_3(n))q - 1 > v_3(n)$$ (vô lí)

Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên: $(x + 1)^2 + (x + 2)^2 +...+ (x + 9)^2 = y^2$

Có $(x+1)^2 + (x+2)^2 + \cdots + (x+9)^2 = 9x^2 + 90x + 285 = y^2$

Mà $(3x+15)^2 < 9x^2 + 90x + 285 < (3x+17)^2 \Rightarrow y^2 = (3x+16)^2$ thế vào giải thì ra vô nghiệm

Hmm, em chưa thử nhưng đoán là bài này dùng đếm bằng truy hồi đúng không ạ? 

Như bài viết ở dưới thì em đổi bài toán về chứng minh số Catalan là số nguyên nhé

Bài toán gợi ý là xem cách đi trên đồ thị tọa độ nguyên từ $(0,0)$ đến $(n,n)$ thỏa mãn một điều kiện nào đó

Đề chỗ này em chưa hiểu lắm anh ạ. Anh có thể giải thích rõ hơn được không ạ? 

Cứ bắt tay nhau là nối một đoạn thẳng ấy em