Tìm kiếm
Nam
Bài 1. Cho đa thức $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ thỏa mãn: $$0<P(1) < P(2) < \ldots < P(n) ,\forall n \in \mathbb{Z}.$$
Chứng minh rằng $P(i)$ là lũy thừa của $2$ với mọi $i = \overline{1,n}$.
Bài 2. Đặt $u(n)$ là hàm tính số ước nguyên tố của $n$. (Ví dụ: $u(1) = 0$ và $u(12) = 2$). Có tồn tại hay không một dãy số $a, a+1, a+2 ,\ldots a+n-1$ thỏa mãn $u(i) \neq u(j)$ với $ a \le i <j \le a + n-1$ và $a$ nguyên dương.
Bài 3. Phương trình $\tau (n) = \tau (n+1)$ có bao nhiêu nghiệm nguyên dương thỏa mãn?
Bài 4. Cho $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ có ít nhất $1$ nghiệm thực. Chứng minh rằng luôn tồn tại số nguyên tố $p = 4k+3$ sao cho nó luôn là ước của các số hạng trong dãy số xác định bởi $u_n = P(n), \forall n \ge 1$.
Bài 5. Chứng minh rằng với mọi số hữu tỉ $x$ thì luôn có thể viết dưới dạng $\dfrac{\varphi (m^2)}{\varphi (n^2)}$ với $m,n$ nguyên dương.
Bài 6. Tìm tất cả giá trị $n$ nguyên dương thỏa mãn $\dfrac{\tau (n^2)}{\tau (n)}$ là số nguyên.
Bài 7. Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ thỏa mãn: $$ m+ f(n) \vert f(m) - n^4 ,\forall m,n \in \mathbb{Z}.$$
Bài 8. Tìm tất cả đa thức $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ thỏa mãn $\tau (P(n)) = n, \forall n \in \mathbb{Z}^+$.
Bài 9. Tìm tất cả đa thức $P(x) \in \mathbb{R}[x]$ thỏa mãn $P(n) \in \mathbb{Z}, \forall n \in \mathbb{Z}$ và $n \vert 2^{|P(n)|}-1$ với $n$ lẻ.
Bài 10*. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = \dfrac{(n,[\sqrt{2}n])}{\sqrt{n}}, n \in \mathbb{Z}^+$ với $[x]$ là phần nguyên của $x$ không vượt quá $x$.
