truongphat266

Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn: $\frac{2}{BC}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}$

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. $M$ là trung điểm $BC$.Chứng minh rằng $OI\perp AM$.

Cho $x,y,z$ là các số hữu tỉ không âm.Đặt $m=x+\frac{1}{y},n=y+\frac{1}{z},p=z+\frac{1}{x}$.Biết $m,n,p$ là các số nguyên.Tìm tất cả giá trị $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện trên.

Cho 2 đường tròn $(O)$ và $(O')$ nằm ngoài nhau. Các tiếp tuyến chung trong và ngoài của 2 đường tròn cắt nhau tại $A,B,C,D$. Chứng minh rằng: $O,A,B,C,D,O'$ cùng thuộc 1 đường tròn.

1. Cho 2 số thực $a,b$ thỏa mãn các điều sau: $\left\{\begin{matrix} & \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1 & \\ & \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}-\frac{1}{a+b}=\frac{1}{2} & \end{matrix}\right.$

Tính: $P=a^4 + b^4$ (3đ)

 

 

2. Cho phương trình: $x^3 +mx^2 -x + m-m^2 =0$ (*) với $m$ là tham số

a) Chứng minh pt (*) luôn có 1 nghiệm $x=1-m$ với mọi $m$

b) Tìm $m$ sao cho pt (*) có 3 nghiệm phân biệt $x_1,x_2,x_3$ thỏa $x^3_1+x^3_2+x^3_3=3$ (4đ)

 

 

3. Cho tam giác $ABC$ không cân nội tiếp $(O)$, đường cao $AD$ và đường kính $AM$. $K$ là hình chiếu của $B$ lên $AM$.$E,F$ lần lượt là trung điểm của $BD,CM$.

a) Chứng minh $DK\perp AC$

b) Chứng minh $AEFC$ nội tiếp

c) Gọi $H$ là trực tâm tam giác $AEC$ và $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $AEFC$. Chứng minh $HE=2IO$. (4đ)

 

 

4. Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh:

a) $\frac{(a+1)^2}{a^2 + 1}\leqslant 2$

b) $\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{b^2+c^2+2}+\frac{1}{c^2+a^2+2}\leq \frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^2}+\frac{1}{(c+1)^2}$ (3đ)

 

 

5. Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A}=2\widehat{B}$. Chứng minh: $BC^2=AB.AC+AC^2$. (3đ)

 

 

6. Tìm các số tự nhiên $x,y$ và số nguyên tố $p$ thỏa: $p^x=y^4+64$ (3đ)

 

Có sai đề thì mọi người góp ý để em chỉnh sửa nha. Cám ơn mọi người.

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ với $BA>BC$ . Phân giác ngoài góc $\widehat{ABC}$ cắt đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ tại $S$.

a) Chứng minh $AS=AB$

b) Tiếp tuyến qua $A$ của $(O)$ cắt $SB$ tại $T$ . $TB$ cắt $(O)$ tại $M$ khác $B$ . Chứng minh rằng $MA^{2}=MT.MS$

c) Gọi $Z$ đối xứng $T$ qua $AC$. Chứng minh rằng $\widehat{ASZ}=\widehat{CSB}$