truongphat266

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$.

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

 $$(3-a-bc)(3-b-ca)(3-c-ab)\geq 1;$$

$$(3-ab-bc)(3-bc-ca)(3-ca-ab) \geq 1;$$

$$\sum_{cyc}\frac{1+a}{1+ab+ca} \geq 2;$$

$$\sum_{cyc}\frac{ab}{1+a+bc} \geq 1.$$

Cho $a_1<a_2<\cdots$ là dãy các số nguyên dương tăng vô hạn. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $l$ thì luôn tồn tại $i \neq j$ với $1 \leq i,j $ thỏa mãn $a_i + a_j$ có một ước nguyên tố lớn hơn $l$. 

Cho tam giác nhọn $ABC$, trên đoạn $BC$, lấy điểm $K$ sao cho $K$ không nằm giữa $B$ và $C$. $U,V$ lần lượt là hai điểm thỏa mãn $KU||AB$,$BK=BU$ và $KV||AC$,$CK=CV$. Đường tròn ngoại tiếp $KVU$ cắt $AK$ tại điểm thứ hai là $D$. Chứng minh rằng:

a) $\widehat{BDC}+\widehat{AUB}=\widehat{CVA}$

b) $AU.BD.CV=AV.CD.BU$

Cho dãy $(u_n)$ thỏa $lim$$u_n=0$. Chứng minh rằng: $S_n=\sum_{i=1}^{n}\left | 1-\frac{u_{i+1}}{u_i} \right |$ phân kì.

Cho tam giác $ABC$ nhọn không đều ngoại tiếp $(I)$, $D,E,F$ lần lượt là tiếp điểm của $(I)$ lên $BC,CA,AB$. $H$ là trực tâm tam giác $FED$. Đường thẳng vuông góc với $HI$ qua $H$ cắt $BC,CA,AB$ lần lượt tại $X,Y,Z$. $A'$ là điểm đối xứng của $X$ qua $D$, $B'$ là đối xứng của $Y$ qua $E$, $C'$ là đối xứng của $Z$ qua $F$. Chứng minh $A',B',C'$ cùng thuộc 1 tiếp tuyến của $(I)$.