truongphat266

Bài 37: Tìm tất cả các bộ số nguyên dương $(a,b,c)$ thỏa mãn: $2^{a!}+2^{b!}=c^3$

Không mất tính tổng quát, giả sử $a > b \Rightarrow a! = d.b!$

$\Rightarrow c^3 = 2^{d.b!} + 2^{b!}=2^{b!}(2^d+1)$

$\Rightarrow 2 \vert c \Rightarrow 2 \vert 2^d + 1 \Rightarrow d = 0$ (vô lí)

$\Rightarrow a = b \Rightarrow c^3 = 2^{a! + 1} \Rightarrow 3v_p(c) = (a!+1) \Rightarrow v_p(c) = \dfrac{a!+1}{3} \Rightarrow a < 3$

$\Rightarrow a = b = 2 \Rightarrow c = 2$

Bài 1. Cho đa thức $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ thỏa mãn: $$0<P(1) < P(2) < \ldots < P(n) ,\forall n \in \mathbb{Z}.$$

Chứng minh rằng $P(i)$ là lũy thừa của $2$ với mọi $i = \overline{1,n}$.

Bài 2. Đặt $u(n)$ là hàm tính số ước nguyên tố của $n$. (Ví dụ: $u(1) = 0$ và $u(12) = 2$). Có tồn tại hay không một dãy số $a, a+1, a+2 ,\ldots a+n-1$ thỏa mãn $u(i) \neq u(j)$ với $ a \le i <j  \le a + n-1$ và $a$ nguyên dương.

Bài 3. Phương trình $\tau (n) = \tau (n+1)$ có bao nhiêu nghiệm nguyên dương thỏa mãn?

Bài 4. Cho $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ có ít nhất $1$ nghiệm thực. Chứng minh rằng luôn tồn tại số nguyên tố $p = 4k+3$ sao cho nó luôn là ước của các số hạng trong dãy số xác định bởi $u_n = P(n), \forall n \ge 1$.

Bài 5. Chứng minh rằng với mọi số hữu tỉ $x$ thì luôn có thể viết dưới dạng $\dfrac{\varphi (m^2)}{\varphi (n^2)}$ với $m,n$ nguyên dương.

Bài 6. Tìm tất cả giá trị $n$ nguyên dương thỏa mãn $\dfrac{\tau (n^2)}{\tau (n)}$ là số nguyên.

Bài 7. Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ thỏa mãn: $$ m+ f(n) \vert f(m) - n^4 ,\forall m,n \in \mathbb{Z}.$$

Bài 8. Tìm tất cả đa thức $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ thỏa mãn $\tau (P(n)) = n, \forall n \in \mathbb{Z}^+$.

Bài 9. Tìm tất cả đa thức $P(x) \in \mathbb{R}[x]$ thỏa mãn $P(n) \in \mathbb{Z}, \forall n \in \mathbb{Z}$ và $n \vert 2^{|P(n)|}-1$ với $n$ lẻ.

Bài 10*. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = \dfrac{(n,[\sqrt{2}n])}{\sqrt{n}}, n \in \mathbb{Z}^+$ với $[x]$ là phần nguyên của $x$ không vượt quá $x$.

Bài 13: Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thoả mãn: $5^n+1$ chia hết cho $3^n$

Nếu $n$ chẵn thì $5^n + 1 \equiv 2 \pmod 3$

Suy ra $n$ chẵn thì $v_3(5^n+1) = v_3(5+1) + v_3(n) = 1 + v_3(n)$

Cần $1 + v_3(n) \ge n \Rightarrow v_3(n) \ge n - 1 \Rightarrow 3 \vert n$

Với $n=3$ thì thỏa

Với $n > 3$ đặt $n = 3^{v_3(n)}.q$ với $(q,3)=1$ suy ra:

$$v_3(n) \ge 3^{v_3(n)}.q - 1 = (1+2)^{v_3(n)}q  -1\ge (1+2v_3(n))q - 1 > v_3(n)$$ (vô lí)

Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên: $(x + 1)^2 + (x + 2)^2 +...+ (x + 9)^2 = y^2$

Có $(x+1)^2 + (x+2)^2 + \cdots + (x+9)^2 = 9x^2 + 90x + 285 = y^2$

Mà $(3x+15)^2 < 9x^2 + 90x + 285 < (3x+17)^2 \Rightarrow y^2 = (3x+16)^2$ thế vào giải thì ra vô nghiệm

Hôm nay mình tham gia kì thi nhỏ thì có một bài toán này khá hay và quen thuộc với bài toán con bọ dùng đếm truy hồi mà mình không làm được nên mình sẽ đăng để mong một lời giải ngắn gọn và không sử dụng máy tính (vì thi không được dùng)

Cho con bọ ở một vị trí đỉnh A như trên hình. Cứ mỗi một bước thì nó sẽ nhảy sang đỉnh kề với đỉnh nó đang ở trước đó (2 đỉnh kề nhau là 2 đỉnh được nối với nhau bởi một đoạn thẳng). Nếu con bọ nhảy đến đỉnh F hoặc đỉnh B thì nó sẽ không nhảy nữa. Hỏi sau 5000 lần nhảy thì xác suất con bọ nhảy vào đỉnh B là bao nhiêu? (Biết rằng nếu con bọ nhảy vào đỉnh B hoặc F thì sẽ dừng cho dù chưa đủ 5000 lần nhảy)

Cho $2n$ người ngồi quanh một bàn tròn. Có bao nhiêu cách bắt tay thành từng cặp sao cho không có hai cánh tay nào đè lên nhau.

Dãy $(u_n)$ xác định bởi: $U_{1}=1; U_{2}=2; U_{n+2}= U_{n+1}+9U_{n}$ nếu $n = 2k$ và $U_{n+2}= 9U_{n+1}+5U_{n}$ nếu $n = 2k + 1$ với mọi $n = 0,1,2, ...$

a) CMR $ \sum_{k=1995}^{2000}U_{k}^{2}   \vdots  30$

b) CMR $U_{2n+1}$ không là số chính phương với mọi $n$.

Lời giải câu a)

Bằng quy nạp, được $u_{3k+r}^2 \equiv u_r^2 \pmod 4, \forall 0 \leq r \leq 2$

Chứng minh được $u_n \equiv 9^n \pmod 5, \forall n \not \vdots 2$

Tương tự thì $u_n \equiv 18^{n-1} \pmod 5, \forall n \vdots 2$

Vậy cộng lại và sử dụng một ít số học là ra 

Một bài toán cũ từ Liên Xô:

Có thể sắp xếp hay không $1965$ điểm trong hình vuông cạnh $1$ sao cho mọi hình chữ nhật diện tích $\dfrac{1}{200}$ có cạnh song song với cạnh hình vuông chứa trong nó ít nhất một trong các điểm đó.

Bạn xem ở đây hoặc ở đây

P/s: xem cái sau hơn và tham khảo cái đầu

@truongphat266 Bài toán nước ngoài nào vậy anh, anh đăng lên đi   

Đây nhé 

https://www.jstor.org/stable/2323911

https://math.stackex...ce?noredirect=1

Cho $a$ là số thực khác $0$ và dãy số $(x_n)$ xác định bởi $x_0 = a, x_{n+1} = \dfrac{x_n}{\sqrt{2+2\sqrt{1+x_n^2}}}, \forall n \in \mathbb{N}$. Đặt $y_n = \dfrac{x_{n}}{x_{n+1}}$. Chứng minh $(y_n)$ hội tụ và tìm giới hạn đó.

Cho tam giác $ABC$ với độ dài các cạnh là $a,b,c$. Gọi $O,G$ là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm của tam giác ấy. $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh rằng: $OG^2 = R^2 - \dfrac{1}{9}(a^2+b^2+c^2)$

Cho $n$ điểm trên mặt phẳng. Chứng minh số cặp điểm có khoảng cách bằng $1$ không vượt quá $\dfrac{n}{4} + \dfrac{\sqrt{2n^3}}{2}$.

Trong một bảng ô vuông $n$x$n$. Mỗi ô được tô điền bởi hai số $1$ và $0$. Gọi $P$ là số bộ $(A,B,C)$ các ô mà $2$ ô đầu trong cùng $1$ hàng và $2$ ô cuối trong cùng $1$ cột với $A$ và $C$ điền số $1$ và $B$ điền số $0$. Tìm giá trị lớn nhất có thể của $P$.

Cho $x,y,z \geq 0$. Chứng minh rằng:$$\frac{x^2y^2}{2zy^3+z^4}+\frac{y^2z^2}{2xz^3+x^4}+\frac{z^2x^2}{2yx^3+y^4} \geq \frac{x^3+y^3+z^2}{x^2+y^2+z^2}.$$

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_n=\frac{n+1}{2^{n+1}}\sum^n_{k=1}\frac{2^k}{k}.$ Chứng minh rằng $\lim_{n\rightarrow +\infty} u_n$ tồn tại và tìm giới hạn đó.

Một cách giải khác tự nhiên hơn mà không cần phải nháp trước phương trình giới hạn:

Để ý rằng $S_n>0, \forall n$

Biến đổi như sau:

$$S_{n+1}=\frac{n+2}{2^{n+2}}\left[\left(\frac{2}{1}+\frac{2^2}{2} +\ldots + \frac{2^n}{n}\right)+\frac{2^{n+1}}{n+1}\right]= \frac{n+2}{2(n+1)}(S_n+1)$$

$$S_{n+1}-S_n=\frac{n+2-nS_n}{2n+2}$$

Để ý rằng $(S_n)$ giảm nên ta sẽ đi chứng minh bằng quy nạp:

$$nS_n \geq n+2$$

Do $S_n$ giảm và bị chặn dưới nên lập phương trình giới hạn ta suy ra được $\lim S_n = 1$

Ngoài ra bài này còn có thể sử dụng nguyên lí kẹp hoặc định lí Stolz