truongphat266

Cho $x,y,z$ là các số hữu tỉ không âm.Đặt $m=x+\frac{1}{y},n=y+\frac{1}{z},p=z+\frac{1}{x}$.Biết $m,n,p$ là các số nguyên.Tìm tất cả giá trị $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện trên.

Không biết có đúng không nữa nhưng bạn tham khảo thử xem 

$GT\Leftrightarrow (x^2+4x+\frac{1}{3})(x^2+4x+\frac{17}{3})+\frac{64}{9}+m=0$ $(DK:x\leq m)$

Đặt: $a=x^2+4x+3$ $(a\geq -1)$

$PT\Leftrightarrow a^2+m=0$

Vậy để $PT$ có 2 nghiệm phân biệt thì $a$ cũng phải có 2 nghiệm phân biệt

$\rightarrow m=-a^2\rightarrow m\leq -1$

Cho 2 đường tròn $(O)$ và $(O')$ nằm ngoài nhau. Các tiếp tuyến chung trong và ngoài của 2 đường tròn cắt nhau tại $A,B,C,D$. Chứng minh rằng: $O,A,B,C,D,O'$ cùng thuộc 1 đường tròn.

Câu 3.

1. $2x^2-y^2=1$ $(*)$

Dễ thấy $y$ lẻ $\Rightarrow y^2\equiv 1 \pmod4$.

Nếu $x$ chẵn thì $x^2\equiv1\pmod0\Rightarrow 2x^2-y^2\equiv -3\pmod4$ không thoả mãn $(*)$. Do đó $x$ lẻ. Khi đó $(*)\Leftrightarrow x^2-y^2=1-x^2=-(x-1)(x+1)$. Vì $(x-1)(x+1)$ là hai số nguyên chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8. Do đó $xy(x^2-y^2)$ chia hết cho 8.         (1)

Xét TH $x$ hoặc $y$ chia hết cho 5 hoặc cả $x$ và $y$ có cùng số dư khi chia cho 5. Khi đó dễ dàng chứng minh được $xy(x^2-y^2)$ chia hết cho 5.

Xét TH $x$ và $y$ không có cùng số dư khi chia cho 5 và không có số nào chia hết cho 5. Khi đó $x^2$ và $y^2$ chia 5 dư 1 hoặc 4. Xét TH $x^2$ dư 1, $y^2$ chia 5 dư 4 và TH $x^2$ chia 5 dư 4, $y^2$ chia 5 dư 1 đều không thoả mãn $(*)$.

Do đó $xy(x^2-y^2)$ chia hết cho 5.         (2)

Từ (1) và (2) suy ra $xy(x^2-y^2)$ chia hết cho 40 (đpcm).

Thực ra câu này làm ngắn hơn thì xét số dư cho 8

Câu 3. b) 

Mỗi người đều chơi $n$ trận với $n$ người khác và không có trận hòa

Do đó: $x_1+y_1=x_2+y_2=x_3+y_3=...=x_n+y_n=n$

Mà tổng số trận thắng của mọi người bằng tổng số trận thua do đó:

$x_1+x_2+...+x_n=y_1+y_2+y_3+...+y_n$

Xét: $x^2_1+x^2_2+x^2_3+...+x_n^2-y_1^2-y_2^2-y_3^2-...-y_n^2$

$=(x_1^2-y_1^2)+(x_2^2-y_2^2)+...(x_n^2-y_n^2)$

$=n(x_1-y_1)+n(x_2-y_2)+...+n(x_n-y_n)$

$=n(x_1-y_1+x_2-y_2+...+x_n-y_n)$

$=0$

$\rightarrow DPCM$

P/S: Đây là đề thi chuyên toán TP.HCM năm 2015-2016 được tổng quát lên 

Uầy mình vào không nghĩ tới bđt này luôn. Cũng chỉ mong có giải khúc khích cho đỡ buồn thôi bạn à ;_;

bạn chỉ cần nghĩ dồn (a+b)(b+c)(c+a) về ab+bc+ca thôi mà chỉ có bđt đó dồn được

Câu 2:

a) $GT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^2-2xy=x+3 & & \\ 3xy+y^2=y-3 & & \end{matrix}\right.$

Cộng cả 2 phương trình lại tính được $x$ theo $y$

b) Giả sử $a>b>c$ và cả 3 phương trình đều vô nghiệm

Xét phương trình thứ 3

Có: $a^2<ac+1$ $\Rightarrow$ $a(a-c)<1$ (vô lí vì $a>c$ và $a,c$ nguyên) 

Vậy ta có đpcm

Mọi người giúp em bài 5 với ạ ;_;

P/s: Thi nát quá 

Đỡ hơn mình rớt cả vòng kiểm tra chất lượng quận 

Góp bài bất theo gợi ý:

VT=$((a+b)(b+c)(c+a))^2$

Áp dụng BĐT phụ: $(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$

$\rightarrow$ VT $\geq [\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)]^2\geq [\frac{8}{9}\sqrt{3(ab+bc+ca)}(ab+bc+ca)]=\frac{64}{27}$

Bài 2.

a) Thay $x=1-m$ vào phương trình $(*)$ thấy thoả mãn nên là 1 nghiệm của phương trình.

b) $(*)\Leftrightarrow(x+m-1)(x^2+x-m)=0\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} x=1-m\\ x^2+x-m=0 \quad(1) \end{matrix}\right.$

Không mất tính tổng quát, giả sử $x_1=1-m$, $x_2$ và $x_3$ là nghiệm của phương trình (1).

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta=1-4m\geq0\Leftrightarrow m\leq\frac{1}{4}$.

Theo Viète ta có: $x_2+x_3=-1,x_2 x_3=-m$.

Ta có $x_1^3+x_2^3+x_3^3=3\Leftrightarrow x_1^3+(x_2+x_3)^3-3x_2x_3(x_2+x_3)=3\Leftrightarrow (1-m)^3+(-1)^3-3(-m)(-1)=3\Leftrightarrow m^3-3m^2+6m+3=0$.

Tới đây rồi thi giải pt, thử lại xem có 3 nghiệm phân biệt không thôi :0

Bài nghiệm nguyên giống đề chuyên toán tphcm 

Bài 5.

Kẻ thêm đường phân giác $AD$ 

Dễ chứng minh: $\Delta DCA \sim \Delta ACB (g-g)$ $\rightarrow AC^2=CD.CB$

Theo tính chất phân giác trong của phân giác:

$\rightarrow \frac{DC}{DB}=\frac{AC}{AB}\rightarrow \frac{DC}{BC}=\frac{AC}{AC+AB}\Leftrightarrow DC=\frac{AC.BC}{AC+AB}$

$\rightarrow AC^2 =CD.CB=\frac{AC.CB^2}{AC+AB} \rightarrow BC^2=AC(AC+AB)=AB.AC+AC^2$ (đpcm)

Bài 1:

Từ điều kiện đầu tiên của đề bài, dễ dàng cm được: $a+b=ab$

Từ điều kiện thứ hai của đề bài, dễ dàng có: $ab=-2$

Thế vào $P$ 

1. Cho 2 số thực $a,b$ thỏa mãn các điều sau: $\left\{\begin{matrix} & \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1 & \\ & \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}-\frac{1}{a+b}=\frac{1}{2} & \end{matrix}\right.$

Tính: $P=a^4 + b^4$ (3đ)

2. Cho phương trình: $x^3 +mx^2 -x + m-m^2 =0$ (*) với $m$ là tham số

a) Chứng minh pt (*) luôn có 1 nghiệm $x=1-m$ với mọi $m$

b) Tìm $m$ sao cho pt (*) có 3 nghiệm phân biệt $x_1,x_2,x_3$ thỏa $x^3_1+x^3_2+x^3_3=3$ (4đ)

3. Cho tam giác $ABC$ không cân nội tiếp $(O)$, đường cao $AD$ và đường kính $AM$. $K$ là hình chiếu của $B$ lên $AM$.$E,F$ lần lượt là trung điểm của $BD,CM$.

a) Chứng minh $DK\perp AC$

b) Chứng minh $AEFC$ nội tiếp

c) Gọi $H$ là trực tâm tam giác $AEC$ và $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $AEFC$. Chứng minh $HE=2IO$. (4đ)

4. Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh:

a) $\frac{(a+1)^2}{a^2 + 1}\leqslant 2$

b) $\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{b^2+c^2+2}+\frac{1}{c^2+a^2+2}\leq \frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^2}+\frac{1}{(c+1)^2}$ (3đ)

5. Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A}=2\widehat{B}$. Chứng minh: $BC^2=AB.AC+AC^2$. (3đ)

6. Tìm các số tự nhiên $x,y$ và số nguyên tố $p$ thỏa: $p^x=y^4+64$ (3đ)

Có sai đề thì mọi người góp ý để em chỉnh sửa nha. Cám ơn mọi người.

$\left\{\begin{matrix} p-1=2x(x+2)& & \\ p^{2}-1=2y(y+2)& & \end{matrix}\right.$

x,y nguyên dương và p nguyên tố

Giải phương trình nghiệm nguyên.

$(x^{2}-x+1)(y^{2}+xy)=3x-1$

Cho tam giác $ABC$ 3 đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Đường tròn tâm $I$ đường kính $BC$. Kéo dài $EF$ cắt $BC$ tại $T$. Đường cao $AD$ cắt $(I)$ lần lượt tại $M$ và $N$ sao cho $M$ nằm giữa $A$ và $N$. Từ $N$ vẽ $NQ$ $//$ $EF$ ($Q\in (I)$) . $MQ$ cắt $EF$ tại $S$. Chứng minh rằng $S$ là trung điểm $EF$.