nguyetnguyet829

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có hai đường cao BE và CF, M là trung điểm của BC. Hạ MN vuông góc với EF tại N, hai đường thẳng MN và AB cắt nhau tại D. $\\$

a) Chứng minh N là trung điểm của EF và góc DEF = góc MEC. $\\$

b) Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng AM và EF, L là giao điểm của hai đường thẳng AN và BC. Chứng minh KL vuông góc với BC.

Nguồn: Đề thi hsg Quảng Nam. 

$(x+1)\sqrt{x^2+4x+7} + x(\sqrt{x^2+3}+1)=0$

giải phương trình

Cho $\bigtriangleup ABC$ vuông tại $A$ và đường cao $AH$ $(H \in BC)$ và $AH^2 = 4AM.AN$ với $M, N$ lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ $H$ xuống $AB, AC.$

Tính $\widehat{ACB}$

Cho $a, b, c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1$ chứng minh: $\frac{a}{a+b^2}+\frac{b}{b+c^2} + \frac{c}{c+a^2} \leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})$

Đề bài có vấn đề thì phải , K thuộc AC mà $ KP \perp AC$ tại P ? =))

Tại $K$ ạ, còn $P \in AB$

Cho hình chữ nhật $ABCD (BC<AC)$. Kẻ $BH \bot AC  (H \in AC)$, trên tia $HA$ lấy điểm $K$ sao cho $HK=HB$. Vẽ $KP$ $\bot$$AC$ tại $K  (P \in AB)$ và $BF \bot KP$ tại $F$. Lấy $O$ là trung điểm $PC$, $BO \cap CD = Q$. Chứng minh

$a) F, O, H$ thẳng hàng

$b) PB.OH = PK.OB$

Đặt $\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b$. Ta có $a^3+b^3+3ab=1\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab(a+b)-1-3ab(a+b)+3ab=0$

$\Leftrightarrow (a+b)^3-1-3ab(a+b-1)=0\Leftrightarrow(a+b-1)(a^2+2ab+b^2+a+b+1)-3ab(a+b-1)=0$

$\Leftrightarrow(a+b-1)(a^2-ab+b^2+a+b+1)=0\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} a+b=1\\ a^2-ab+b^2+a+b+1=0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} a+b=1\\ (a-b)^2+(a+1)^2+(b+1)^2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} a+b=1\\ a=b=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=1\\ \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}=-1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x+y=xy\\ x=y=-1 \end{matrix}\right.$

Với $x=y=-1$ thì $A=4$, với $x+y=xy$ thì $A=1$.

Vậy...

Mình nghĩ là với $x \ne y$ thì trường hợp $x=y=-1$ không thỏa mãn

Đặt $8n+1=a^3$, suy ra $a$ là số lẻ.

Ta có $8n+1=a^3\Leftrightarrow 8n=a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-1=8\\ a^2+a+1=n \end{matrix}\right.$ (do $a-1$ chẵn và $a^2+a+1$ lẻ)

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=9\\ n=91 \end{matrix}\right.$ (thoả mãn $n$ là số nguyên tố).

Thử lại $8n+1=8.91+1=729=9^3$ thoả mãn.

Vậy $n=91$.

Một cách giải khác:

Ta có: $8n + 1$ là số tự nhiên lẻ

Đặt $8n+1 = (2k+1)^3  (n \in N*)$

$=> 4n = 4k^3 + 6k^2 + 3k$

 $=> \left\{\begin{matrix} k=4 \\ 4k^3+6k^2+3k=n \end{matrix}\right.$

$=> n=91$

Thử lại...

Biến đổi tương đương ta có:
$x^4-4x^2-5x^3+20x+x^2-4=6(x^2-2x+1)\Leftrightarrow x^4-5x^3-9x^2+32x-10=0$

Mình thì làm kiểu này
$<=> [(x^2 - 4) - 5(x-1)](x^2 - 4) - 6(x-1)^2 = 0$
Đăt $x^2 - 4 = a ; x-1 = b$
PT
$<=> (a-5b)a - 6b^2 = 0$
$<=> a^2 - 5ab - 6b^2 = 0$
Nhưng mà lại ko giải ra đc
$a^2-5ab-6b^2=(a+b)(a-6b)$

Hình như thiếu đề bài vì thử với $a=8$,$b=2$,$c=1$ thấy không thỏa mãn đề bài

Đúng là có sai sót, mình sửa rồi ạ

Cho $4$ số tự nhiên $a, b, c, d$ thỏa mãn $ab=cd$. Chứng minh $a+b+c+d$ là hợp số