nhancccp

Theo mình bạn nên trình bày rõ ra, chứ nếu tìm như vậy thì ai cũng tìm được 

 

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}4x^2=(\sqrt{x^2+1}+1)(x^2-y^3+3y-2) & \\ x^2+(y+1)^2 =2\left ( 1+\frac{1-x^2}{y} \right )& \end{matrix}\right.$

 

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} & 4x^2=(\sqrt{x^2+1}+1)(x^2-y^3+3y-2)\\ & x^2+(y+1)^2=2\bigg(1+\frac{1-x^2}{y}\bigg) \end{matrix}\right.$

ĐK:$x \in \mathbb{R},y \neq 0$

Phương trình thứ hai tương đương với $y(x^2+y^2+2y+1)=-2(x^2-y-1)\Leftrightarrow x^2y+2x^2+y^3+2y^2-y-2=0\Leftrightarrow (y+2)(x^2+y^2-1)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} y=-2\\ x^2+y^2=1 \end{array}\right.$

TH1:Thay $y=-2$ vào $(1)$ ta được $3x^2=x^2\sqrt{x^2+1}\Leftrightarrow x^2(\sqrt{x^2+1}-3)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=0 \\ x=\pm 2\sqrt{2} \end{array}\right.$

TH2:Thay $x^2+y^2=1\Rightarrow x^2=1-y^2$ vào $(1)$ ta được $4(1-y^2)=(-y^3-y^2+3y-1)(\sqrt{2-y^2}+1)\Leftrightarrow y^3-3y^2-3y+5=(-y^3-y^2+3y-1)\sqrt{2-y^2}$$\Rightarrow (y^3-3y^2-3y+5)^2=(-y^3-y^2+3y-1)^2(2-y^2)$$\Leftrightarrow y^8+2y^7-6y^6-14y^5+24y^4+30y^3-42y^2-18y+23=0$$\Leftrightarrow (y-1)^2(y+1)(y^5+3y^4-2y^3-14y^2+5y+23)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} y=1\Rightarrow x=0 \\ y=-1(ktm) \\ y^5+3y^4-2y^3-14y^2+5y+23=0(ktm) \end{array}\right.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x;y)=(0;1);(\pm 2\sqrt{2};-2);(0;-2)$

Đặt $x+y=S,xy=P(S^2 \geq 4P)$ 

Ta có một số biến đổi sau:

☸$x^8+y^8$

$=(x+y)^8-2xy(4[(x+y)^3-3xy(x+y)]^2+8x^3y^3+14xy[[(x+y)^2-2xy]^2-2x^2y^2]+7x^2y^2[4(x+y)^2-3xy]+35x^3y^3)+102x^4y^4$

$=S^8-2P(4[S^3-3SP]^2+8P^3+14P[[S^2-2P]^2-2P^2]+7P^2[4S^2-3P]+35P^3)+102P^4$

☸$x^7+y^7$

$=(x+y)[[(x+y)^3-3xy(x+y)]^2-2x^3y^3-xy[[(x+y)^2-2xy]^2-2x^2y^2]+x^2y^2[(x+y)^2-2xy]-x^3y^3]$

$=S[[S^3-3SP]^2-2P^3-P[[S^2-2P]^2-2P^2]+P^2[S^2-2P]-P^3]$

Phương trình thứ hai tương đương với  $ xy(x^7+y^7)+(x^8+y^8)=4\Rightarrow -7 P^4 S + 2 P^4 + 14 P^3 S^3 - 16 P^3 S^2 - 7 P^2 S^5 + 20 P^2 S^4 + P S^7 - 8 P S^6 + S^8=4$

Vậy ta có hệ $\left\{\begin{matrix} & S^2-2P=2\\ & -7 P^4 S + 2 P^4 + 14 P^3 S^3 - 16 P^3 S^2 - 7 P^2 S^5 + 20 P^2 S^4 + P S^7 - 8 P S^6 + S^8=4 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & P=\frac{S^2-2}{2}(1)\\ & 7 P^4 S + 2 P^4 + 14 P^3 S^3 - 16 P^3 S^2 - 7 P^2 S^5 + 20 P^2 S^4 + P S^7 - 8 P S^6 + S^8=4 (2) \end{matrix}\right.$

Thế (1) vào (2) ta được phương trình bậc 9 có nghiệm đẹp$S=2$ và bốn nghiệm xấu

........

(:\ đề có đúng không vậy bạn)

https://www.wolframa...4 and x^2+y^2=2

Câu này có cả max và min mà

Bạn có chắc không ,mình cũng không biết

$\sqrt{2a+bc}=\sqrt{a(a+b+c)+bc}=\sqrt{(a+b)(a+c)}\leq \frac{2a+b+c}{2}$

Tương tự $\sqrt{2b+ac}\leq \frac{2b+a+c}{2};\sqrt{2c+ab}\leq\frac{2c+a+b}{2}$

Cộng ba bất đẳng thức trên ta được $\sum \sqrt{2a+bc}\leq 2(a+b+c)=4$

Vậy MaxP=4 khi a=b=c=2/3

Đề là tìm Max chứ