Nam
24-03-2025 - 07:54
Em cảm ơn anh Supermember, sau khi xem lại lời giải, em nhầm trong bước thế $y=\frac{2x^2-4x+1}{2(x-2)}$ vào phương trình thứ nhất:
$3x^2-2xy+3x^2+\frac{2}{x^2-2xy+y^2}=8$ $\rightarrow$ Bước này dẫn đến cái sai thê thảm, cũng là nguyên nhân "nghiệm xấu".
Thế đúng thì sẽ ra được là $\frac{1}{x-2}+2=0 \Rightarrow x =\frac{3}{2} \Rightarrow y=\frac{1}{2} (tm)$
Chân thành cảm ơn anh Supermember.
19-03-2025 - 20:40
Giải hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{3{x^2} - 2xy + 3{x^2} + \frac{2}{{{x^2} - 2xy + {y^2}}} = 8}\\
{2x + \frac{1}{{x - y}} = 4}
\end{array}} \right.$
ĐK:$x \neq y$.Xét $x \neq 2$:Phương trình thứ hai suy ra $2x^2-4x+1+y(4-2x)=0 \Leftrightarrow y=\frac{2x^2-4x+1}{2(x-2)}$
Thế $y=\frac{2x^2-4x+1}{2(x-2)}$ vào phương trình thứ nhất ta được $\frac{12x^3-56x^2+95x-64}{x-2}=8 \Leftrightarrow 12 x^3 - 56 x^2 + 87 x -48=0$.
Xét $\Delta=b^2-3ac=2875,k=\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\sqrt{|\Delta|^3}}=\frac{30868\sqrt{115}}{330625}>1$
Vì $\Delta>0,|k|>1$ nên phương trình có một nghiệm duy nhất
$x=\frac{1}{36}\left(56+\sqrt[3]{5840-216\sqrt{731}}+2\sqrt[3]{730+27\sqrt{131}}\right)$ $\Rightarrow y = \frac{23}{4} - \frac{7}{18} \left( 28 + \sqrt[3]{730 - 27\sqrt{731}} + \sqrt[3]{730 + 27\sqrt{731}} \right) + \frac{1}{108} \left( 28 + \sqrt[3]{730 - 27\sqrt{731}} + \sqrt[3]{730 + 27\sqrt{731}} \right)^2 (tm)$
Vậy nghiệm của hệ phương trình là ...
***Nghiệm khá xấu nhỉ.
16-03-2025 - 17:03
Tôi xin đưa ra một số ý kiến về câu hỏi của bạn $Haha^{n}$, trước đó xin tự tóm tắt lại lời giải của chú CD13:
Đa thức bậc lẻ có dạng tổng quát $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, với $n$ là số lẻ và $a_n \neq 0$.
Ta xét giới hạn $P(x)$ khi $x$ tiến đến $+\infty$ và $-\infty$:
+)Khi $x \to \infty$ ta có $\lim_{x \to +\infty} P(x) = \lim_{x \to +\infty} x^n \left( a_n + \frac{a_{n-1}}{x} + \dots + \frac{a_0}{x^n} \right)$
-Nếu $a_n>0$ thì $\lim_{x \to +\infty} P(x) = +\infty$
-Nếu $a_n<0$ thì $\lim_{x \to +\infty} P(x) = -\infty$
+)Khi $x \to \infty$ ta có $\lim_{x \to \-infty} x^n(x^n \left( a_n + \frac{a_{n-1}}{x} + \dots + \frac{a_0}{x^n} \right)$
-Nếu $a_n>0$ thì $\lim_{x \to -\infty} P(x) = -\infty$
-Nếu $a_n<0$ thì $\lim_{x \to -\infty} P(x) = +\infty$
Như vậy, ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1: $a_n > 0$:Khi đó, $\lim_{x \to +\infty} P(x) = +\infty$ và $\lim_{x \to -\infty} P(x) = -\infty$. Tồn tại $x_1$ đủ lớn sao cho $P(x_1) > 0$ và $x_2$ đủ nhỏ sao cho $P(x_2) < 0$.
Trường hợp 2: $a_n < 0$:Khi đó, $\lim_{x \to +\infty} P(x) = -\infty$ và $\lim_{x \to -\infty} P(x) = +\infty$. Tồn tại $x_1$ đủ lớn sao cho $P(x_1) < 0$ và $x_2$ đủ nhỏ sao cho $P(x_2) > 0$.
Theo định lý giá trị trung gian, trong cả hai trường hợp, ta đều tìm được hai giá trị $x_1$ và $x_2$ sao cho $P(x_1)$ và $P(x_2)$ trái dấu. Vì $P(x)$ là hàm liên tục (đa thức luôn liên tục), theo định lý giá trị trung gian, tồn tại một giá trị $c$ nằm giữa $x_1$ và $x_2$ sao cho $P(c) = 0$. Vậy, phương trình $P(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm thực.
Quay về lại câu hỏi "Tại sao không thể khẳng định đa thức bậc chẵn luôn có một nghiệm thực?"
Đa thức có bậc chẵn dạng tổng quát là $P(x)=a_{2n}x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+ \dots +a_1x +a_)$, với $n \in \mathbb{N}$ và $a_{2n} \neq 0$.
Ta có nhận xét cơ bản rằng P(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ và nếu $x$ đủ lớn thì giá trị của đa thức $P(x)$ sẽ phụ thuộc phần lớn vào $a_{2n}x^{2n}$.Hay nói dễ hiểu hơn là, nếu $x$ đủ lớn thì $a_{2n}x^{2n}$ chi phối giá trị của đa thức.
Vậy $\lim_{x \to \pm \infty} P(x) = \lim_{x \to \pm \infty} a_{2n}x^{2n}$
Vậy:
Nếu $a_{2n} > 0$, thì $\lim_{x \to \pm \infty} P(x) = +\infty$.Do đó, tồn tại một số $M > 0$ sao cho $P(x) > P(0)$ với mọi $|x| > M$.
Nếu $a_{2n} < 0$, thì $\lim_{x \to \pm \infty} P(x) = -\infty$.Do đó, tồn tại một số $M > 0$ sao cho $P(x) < P(0)$ với mọi $|x| > M$.
Tiếp tục:
+)Trường hợp $a_{2n} > 0$:Vì $P(x) > P(0)$ với mọi $|x| > M$, giá trị nhỏ nhất của $P(x)$ phải đạt được tại một điểm $x_0$ nào đó trong khoảng $[-M, M]$. Vì $P(x)$ liên tục trên đoạn đóng $[-M, M]$, theo định lý Weierstrass, $P(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại một điểm $x_0 \in [-M, M]$.
Nếu $P(x_0) > 0$, thì $P(x) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Do đó, phương trình $P(x) = 0$ không có nghiệm thực.
+)Trường hợp $a_{2n} < 0$:Tương tự, giá trị lớn nhất của $P(x)$ phải đạt được tại một điểm $x_0$ nào đó trong khoảng $[-M, M]$. Nếu $P(x_0) < 0$, thì $P(x) < 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Do đó, phương trình $P(x) = 0$ không có nghiệm thực.
$\star$ Mặc dù trong một số trường hợp đã nêu thì đa thức bậc chẵn không có nghiệm thực nhưng em vẫn thấy cấn cấn ở một khúc nào đó. Mong các anh, các thầy giúp ạ.
24-02-2025 - 21:10
Bài toán này tôi giải quyết theo hai cách, là vét cạn (sử dụng python) và sử dụng hàm sinh, bài toán có thể phát biểu thành tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình $a+b+c=2(d+e+f)$ thỏa man $0 \leq a;b;c;d;e;f \leq 9$
Vì biến $a,b,c$ có thể nhận giá trị từ $0$ đến $9$ nên nhân tử cho ba biến này là $x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$
Vì biến $d,e,f$ thỏa mãn $2(d+e+f)=a+b+c$ nên vai trò của nó gấp đôi nên nhân tử cho ba biến này là $y^9+y^8+y^7+y^6+y^5+y^4+y^3+y^2+y+1$
Vậy hàm sinh cho số cách chọn là $G(x)=(x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)^3(y^9+y^8+y^7+y^6+y^5+y^4+y^3+y^2+y+1)^3$, ta cần tìm tổng các hệ số chứa số hạng $x^ky^l$ thỏa mãn $k=2l$. Khai triển ở bên dưới (nó quá dài để viết dạng latex)
Hế số của $x^0y^0$ là:$1$
Hệ số của $x^2 y$ là: $18$
Hệ số của $x^4 y^2$ là: $90$
Hệ số của $x^6 y^3$ là: $280$
Hệ số của $x^8 y^4$ là: $675$
Hệ số của $x^{10} y^5$ là: $1323$
Hệ số của $x^{12} y^6$ là: $2044$
Hệ số của $x^{14} y^7$ là: $2700$
Hệ số của $x^{16} y^8$ là: $3105$
Hệ số của $x^{18} y^9$ là: $3025$
Hệ số của $x^{20} y^{10}$ là: $2268$
Hệ số của $x^{22} y^{11}$ là: $1449$
Hệ số của $x^{24} y^{12}$ là: $730$
Hệ số của $x^{26} y^{13}$ là: $225$
Cộng các hệ số với nhau $\text{Số nghiệm}=1+18 + 90 + 280 + 675 + 1323 + 2044 + 2700 + 3105 + 3025 + 2268 + 1449 + 730 + 225=17933$
Vậy số vé là $\boxed{\boldsymbol{17933}}$
#Tôi đang tìm cách tính các hệ số gọn hơn :}
19-02-2025 - 19:36
-Câu 1thì kinh điển quá
-Câu 2a có nhầm lẫn gì chăng, $4x^3 + 31x^2 - 27 = 12(x^2+x)\sqrt{1-x}$ có lẽ chứ.
ĐK:$x \leq 1$, phương trình đã cho $\Rightarrow (4x^3 + 31x^2 - 27)^2 = 144(x^2+x)^2(1-x) \Leftrightarrow 16 x^6 + 392 x^5 + 1105 x^4 - 360 x^3 - 1818 x^2 + 729 = 0 $$\Leftrightarrow (x + 1)^2 (x + 3) (4 x - 3) (4 x^2 + 81 x - 81) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-1 (n) \\x=-3 (n) \\ x=\frac{-81+9\sqrt{97}}{8}(n) \\ x=\frac{-81-9\sqrt{97}}{8} (l)\\ x=\frac{3}{4} (l) \end{array} \right.$
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left \{-3;-1;\frac{-81+9\sqrt{97}}{8} \right \}$
Với anh cho em xin hình trước (còn tiếp).
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học
Tìm kiếm