nhancccp

Lời giải đúng rồi đấy bạn, tuy nhiên có cách làm khác bạn, ít khéo léo và đòi sức mạnh của năm ba ngày tu vi cộng lại

6)Số thỏa mãn đề là $9999997601$ (Định lý thặng dư Trung Hoa). Mình sẽ bổ sung lời giải sau.

Chưa nghĩ ra các khác,mình làm tạm cách bình phương vậy

ĐK:$x^4-x^3+x^2-9 \geq 0$

Phương trình đã cho $\Rightarrow (x^4-x^3+x^2-9)^2=x^2+5$

$\Leftrightarrow x^8 - 2 x^7 + 3 x^6 - 2 x^5 - 17 x^4 + 18 x^3 - 19 x^2 + 76 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 2) (x^7 + 3 x^5 + 4 x^4 - 9 x^3 - 19 x - 38) = 0$...

Ta có $$\begin{align*}[x^0]g &=  g(0)=-1 \\ [x^1]g &= \lim\limits_{x \to 0}\frac{g(x) - [x^0]g\times x^0}{x}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{(x^2+x-1)^5+1}{x}=5 \\ [x^2]g &= \lim\limits_{x \to 0}\frac{g(x) - [x^0]g\times x^0 - [x^1]g\times x^1} {x^2}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{(x^2+x-1)^5-5x+1}{x^2}=-5 \\ [x^3]g &=\lim\limits_{x \to 0}\frac{g(x) - [x^0]g\times x^0 - [x^1]g\times x^1-[x^2]g\times x^2} {x^3}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{(x^2+x-1)^5+5x^2-5x+1}{x^3}=-10 \end{align*}$$

Vậy hệ số của $x^3$ trong khai triển là $-10$

Giải hệ phương trình $\begin{cases}
x^5y^5(1+\sqrt{y})=\sqrt{y}(\sqrt{x}+1) \\
\sqrt[5]{15+2y}.\sqrt{3x-2}=\left ( 8x-12\right )\sqrt[5]{y}
\end{cases} (x;y \in \mathbb{R})$

ĐK:$x \geq \dfrac{2}{3};y>0$

Phương trình thứ nhất tương đương với $(x^5y^5-\sqrt{xy})+\sqrt{y}(x^5y^5-1)=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{y}(xy-1)(x^4y^4+x^3y^3+x^2y^2+xy+1)+\sqrt{xy}(\sqrt{xy}-1)(xy+\sqrt{xy}+1)(x^3y^3+\sqrt{x^3y^3}+1)=0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{xy}-1)[\sqrt{y}(\sqrt{xy}+1)(x^4y^4+x^3y^3+x^2y^2+xy+1)+\sqrt{xy}(xy+\sqrt{xy}+1)(x^3y^3+\sqrt{x^3y^3}+1)]=0$$\Leftrightarrow y=\frac{1}{x}$ (vì ....>0)

Thay $y=\frac{1}{x}$ vào phương trình thứ hai ta được 
$\sqrt{3x-2}\sqrt[5]{\frac{2}{x}+15}=(8x-12)\sqrt[5]{\frac{1}{x}}$$\Rightarrow (3x-2)^5(15x+2)^2=(8x-12)^{10}$$\Leftrightarrow 1073741824 x^{10} - 16106127360 x^9 + 108716359680 x^8 - 434865493395 x^7 + 1141521944310 x^6 - 2054739393324 x^5 + 2568424097880 x^4 $$- 2201506298640 x^3 + 1238347280160 x^2 - 412782427200 x+61917364352=0$$\Leftrightarrow (x-2)(1073741824x^9-13958643712x^8+80799072256x^7-273267348883x^6+594987246544x^5-864764900236x^4+838894297408x^3$$-523717703824x^2+190911872512x-30958682176)=0$