Tìm kiếm
Nam
Bạn kiểm tra lại dòng này nhé.
Cảm ơn anh, thì ra em lập sai công thức độ dài từ $N$ đến $d$
- dat09, MHN và stanleymitchell thích
nonamebroy
#748547 $\boxed{\text{TOPIC}}$ Thảo luận về các bài toán tọa độ h...
Gửi bởi
trong 21-03-2025 - 11:26
#748543 $\boxed{\text{TOPIC}}$ Thảo luận về các bài toán tọa độ h...
Gửi bởi
trong 21-03-2025 - 11:05
Bài 19. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \( Oxy \), cho đường tròn \((C): (x-2)^2 + (y-2)^2 = 5\) và đường thẳng \( d: 2x + y + 4 = 0 \). Tìm trên \((C)\) điểm \( M \) và trên \( d \) điểm \( N \) sao cho
a) \( MN \) có độ dài nhỏ nhất.b) \( MN \) có độ dài lớn nhất.
Dường tròn \((C)\) có tâm \(I(2,2)\), bán kính \(R = \sqrt{5}\). Ta có
\[d(I, d) = \frac{|2+2+4|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = 2\sqrt{5} > R.\]
Do đó \(d\) không cắt \((C)\).
Gọi \(M_1, M_2\) là đường kính của đường tròn \((C)\) và vuông góc với \(d\). Ta thấy với \(M\) là một điểm bất kỳ thuộc \((C)\) thì
\[\min\{d(M_1, d); d(M_2, d)\} \leq d(M, d) \leq \max\{d(M_1, d); d(M_2, d)\}.\]
Dấu bằng xảy ra khi \(M \equiv M_1\) hoặc \(M \equiv M_2\).
Đường thẳng \(M_1M_2\) đi qua tâm \(I\) và vuông góc với \(d\) nên có phương trình \(x - 2y + 2 = 0\).
Tọa độ điểm \(M_1, M_2\) thỏa mãn hệ $\begin{cases}x - 2y + 2 = 0 \\(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 5\end{cases}$
Giải hệ phương trình, ta được: $\begin{cases}x = 0 \\y = 1\end{cases}$ hoặc $\begin{cases}x = 4 \\y = 3\end{cases}$
Suy ra \(M_1(0,1)\), \(M_2(4,3)\). Ta có \(d(M_1, d) = \sqrt{5}\) và \(d(M_2, d) = 3\sqrt{5}\).
Tọa độ điểm \(M\) cần tìm là hình chiếu vuông góc của tâm \(I\) trên \(d\).
Do đó tọa độ điểm \(N\) là nghiệm của hệ phương trình $\begin{cases}2x + y + 4 = 0 \\x - 2y + 2 = 0\end{cases}$
Giải hệ phương trình, ta được: $\begin{cases}x = -2 \\y = 0\end{cases}$
a) Với \(M(0,1)\) và \(N(-2,0)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là nhỏ nhất.
b) Với \(M(4,3)\) và \(N(-2,0)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là lớn nhất.
- dat09, MHN và stanleymitchell thích
#748542 $\boxed{\text{TOPIC}}$ Thảo luận về các bài toán tọa độ h...
Gửi bởi
trong 21-03-2025 - 10:56
Nếu như thế thì mình sai ở đâu nhỉ 
, anh @dat09 có thể chỉ rõ được không ạ
- MHN và stanleymitchell thích
#748539 Đề thi HSG+Đáp án Toán 11 Hà Tĩnh 2024-2025
Gửi bởi
trong 21-03-2025 - 00:25
Mình không tìm thấy đề ở đâu cả, chỉ có đáp án, nhưng theo nhiều nguồn đáng tin cậy thì đây là đề đúng
File gửi kèm
-
Nhóm chinh phục đề HSG.pdf 502.65K
14 Số lần tải
- Leonguyen và stanleymitchell thích
#748538 ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN GIẢI TÍCH ĐHSP TPHCM 2025
Gửi bởi
trong 21-03-2025 - 00:09
#748537 $\boxed{\text{TOPIC}}$ Thảo luận về các bài toán tọa độ h...
Gửi bởi
trong 20-03-2025 - 23:56
Bài 19. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \( Oxy \), cho đường tròn \((C): (x-2)^2 + (y-2)^2 = 5\) và đường thẳng \( d: 2x + y + 4 = 0 \). Tìm trên \((C)\) điểm \( M \) và trên \( d \) điểm \( N \) sao cho
a) \( MN \) có độ dài nhỏ nhất.
b) \( MN \) có độ dài lớn nhất.
Bài 20. Trong mặt phẳng $Oxy$ cho tam giác \( ABC \) có \( B(1;2) \). Đường thẳng \(\Delta\) là đường phân giác trong của góc \( A \) có phương trình \( 2x + y - 1 = 0 \); khoảng cách từ \( C \) đến \(\Delta\) gấp 3 lần khoảng cách từ \( B \) đến \(\Delta\). Tìm toạ độ của $A$ và $C$, biết $C$ nằm trên trục tung.
Bài 21. Cho tam giác \( ABC \) có \( B(2;4) \). Biết đường phân giác trong của góc \( A \) của tam giác \( ABC \) có phương trình \( d: y = 1 \). Đường trung tuyến kẽ từ đỉnh \( A \) của tam giác \( ABC \) có phương trình \( \Delta : x - y - 2 = 0 \). Tìm toa độ điểm \( E \) đối xứng với điểm \( B \) qua đường thẳng \( d \) và xác định toa độ điểm \( C \).
Bài 22. Cho tam giác \( ABC \) có phương trình đường thẳng chứa đường cao kể từ các đỉnh \( A, B, C \) lần lượt có phương trình là \( x - 2y = 0, \, x - 2 = 0, \, x + y - 3 = 0 \). Tìm toa độ các đỉnh \( A, B, C \), biết rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \) bằng \( \sqrt{10} \) và đỉnh \( A \) có hoành độ âm.
Bài 23. Cho tam giác \( ABC \) có \( A(-1;2) \). Đường trung tuyến \( BM \) và phân giác trong \( CI \) có phương trình lần lượt là \( d_1: x - y + 2 = 0 \) và \( d_2: 2x + y - 3 = 0 \). Tìm toa độ điểm \( B(a; -b) \). Tính \( P = a + b \).
- dat09, MHN và stanleymitchell thích
#748536 $\boxed{\text{TOPIC}}$ Thảo luận về các bài toán tọa độ h...
Gửi bởi
trong 20-03-2025 - 23:41
Ựa, sao mình làm ra khác anh @dat09 vậy nhỉ
Bài 16. Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường thẳng $d:x-y+1=0$ và đường tròn $(C):x^2+y^2-2x+4y-4=0$. Tìm tọa độ $M\in d$ sao cho từ $M$ kẻ được tiếp tuyến $MA;MB$ thỏa mãn khoảng cách từ $N\left(0;\frac{1}{2}\right)$ đến $AB$ là lớn nhất.
Dường tròn \((C)\) có tâm \( I(1;-2) \). Ta có điểm \( M \) thuộc \( d \) nên \( M(a;a+1) \).
Gọi \( K \) trung điểm của $MI$ thì $K \left( \frac{a+1}{2}, \frac{a-1}{2} \right)$
Vì tam giác \( \Delta M, \Delta ABI \) vuông tại \( A, B \) nên \( KA = KB = \frac{1}{2} MI \)
Đường tròn \((C’)\) tâm \( K \), đường kính \( MI \) nên có phương trình
\[\left( x - \frac{a+1}{2} \right)^2 + \left( y - \frac{a-1}{2} \right)^2 = \frac{a^2 + 2a + 5}{2} \Leftrightarrow x^2 + y^2 - (a+1)x - (a-1)y - a - 2 = 0\]
Đường thẳng \( AB \) là giao của \((C) \cap (C’)\) nên tọa độ điểm \( A, B \) thỏa mãn hệ
\[\begin{cases}x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0 \\x^2 + y^2 - (a+1)x - (a-1)y - a - 2 = 0\end{cases}\Rightarrow (1-a)x - (a+3)y - a + 2 = 0\]
Suy ra đường thẳng \( AB \) có phương trình \((1-a)x - (a+3)y - a + 2 = 0\).
Khoảng cách từ \( N \) đến \( AB \) là
\[d_{(N,d)} = \frac{|7-a|}{2\sqrt{(1-a)^2 + (a+3)^2}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{a^2 - 14a + 49}{2a^2 + 4a + 10}} = \frac{1}{2}\sqrt{4.\left[ \frac{34}{16} -\frac{(2a+3)^2}{2a^2 + 4a + 10}\right]} \leq \frac{\sqrt{34}}{4}\]
$\Rightarrow \max f(a) = \frac{\sqrt{34}}{4} \Leftrightarrow a = -\frac{3}{2} $
Vậy \( M \left( -\frac{3}{2}, -\frac{1}{2} \right) \).
- dat09, MHN và stanleymitchell thích
#748520 $\boxed{\text{TOPIC}}$ Thảo luận về các bài toán tọa độ h...
Gửi bởi
trong 19-03-2025 - 21:56
Bài 15. Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường tròn $(C):(x-1)^2+(y-1)^2=1$. Viết phương trình đường tròn $(C')$ tiếp xúc với hai tục tọa độ và tiếp xúc ngoài $(C)$
Sau một hổi mày mò thì đây là lời giải của mình. Mọi người xem có đúng không ạ
Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(1)\) và bán kính \(R=1\).
Gọi \(K(a;b)\) và \(R>0\) là tâm và bán kính đường tròn \((C^{\prime})\) tiếp xúc với hai trục tọa độ nên ta có \(|a| = |b| = R \Rightarrow \left[\begin{matrix}a = b\\ a=-b\end{matrix}\right.\).
+ Nếu \(a = b > 0 \Rightarrow K(a;a)\) phương trình \((C^{\prime}): (x - a)^2 + (y - a)^2 = a^2\) hai đường tròn tiếp xúc ngoài khi và chỉ khi \(IK = R + R^{\prime} \Leftrightarrow \sqrt{(a - 1)^2 + (a - 1)^2} = 1 + a \Leftrightarrow a^2 - 6a + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} a=3+2\sqrt{2}\\ a=3-2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Có 2 đường tròn là:
\[(C^{\prime}): (x - 3 - 2\sqrt{2})^2 + (y - 3 - 2\sqrt{2})^2 = 17 + 12\sqrt{2}\]
\[(C^{\prime}): (x - 3 + 2\sqrt{2})^2 + (y - 3 + 2\sqrt{2})^2 = 17 - 12\sqrt{2}\]
+ Nếu \(a = b < 0 \Rightarrow K(a;a)\) phương trình \((C^{\prime}): (x - a)^2 + (y - a)^2 = a^2\) hai đường tròn tiếp xúc ngoài khi và chỉ khi \(IK = R + R^{\prime} \Leftrightarrow \sqrt{(a - 1)^2 + (a - 1)^2} = 1 - a \Leftrightarrow a^2 - 2a + 1 = 0 \Leftrightarrow a = 1\) (loại).
+ Nếu \(a = -b \Rightarrow K(a; -a)\) phương trình \((C^{\prime}): (x - a)^2 + (y + a)^2 = a^2\) hai đường tròn tiếp xúc ngoài khi và chỉ khi \(IK = R + R^{\prime} \Leftrightarrow \sqrt{(a - 1)^2 + (a + 1)^2} = 1 + |a| \Leftrightarrow 2a^2 + 2 = (1 + |a|)^2\) (1).
TH 1: \(a > 0\) khi đó (1) \(\Leftrightarrow 2a^2 + 2 = (1 + a)^2 \Leftrightarrow a^2 - 2a + 1 = 0 \Leftrightarrow a = 1\).
Phương trình đường tròn là: \((C^{\prime}): (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 1\).
TH2: \(a < 0\) khi đó (1) \(\Leftrightarrow 2a^2 + 2 = (1 - a)^2 \Leftrightarrow a^2 + 2a + 1 = 0 \Leftrightarrow a = -1\).
Phương trình đường tròn là: \((C^{\prime}): (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 1\).
Có 4 đường tròn thỏa mãn.
#748463 Đề thi HSG Toán 11 Bình Định 2024-2025
Gửi bởi
trong 18-03-2025 - 15:11
484808407_1204768434405014_7200627456516970222_n.jpg 126.76K
2 Số lần tải
- perfectstrong, MHN và stanleymitchell thích
#748456 $\boxed{\text{TOPIC}}$ Thảo luận về các bài toán tọa độ h...
Gửi bởi
trong 17-03-2025 - 16:49
Bài 13. Trên mặt phẳng $(Oxy)$, cho tam giác $ABC$ có tâm nội tiếp $I$ và $M$ là trung điểm của $BC$. Biết rằng $A(4;5),B(0;1),I(3;2)$. Xác định tọa độ điểm $M$.
Bài toán này có thể áp dụng $BC.\overrightarrow{IA}+CA.\overrightarrow{IB}+AB.\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$ không nhỉ
- dat09, Leonguyen, MHN và 1 người khác yêu thích
#748433 Đề thi HGS toán 9 Bắc Ninh 2024-2025
Gửi bởi
trong 16-03-2025 - 16:16
1.jpg 42.39K
0 Số lần tải
1.jpg 36.64K
0 Số lần tải
- MHN, Hahahahahahahaha, stanleymitchell và 1 người khác yêu thích
#748432 $\boxed{\text{TOPIC}}$ Thảo luận về các bài toán tọa độ h...
Gửi bởi
trong 16-03-2025 - 16:07
Bài 5: Trong mặt phẳng $Oxy$ cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đỉnh $C(-4;1)$, phân giác trong góc $A$ có phương trình $x+y-5=0$. Viết phương trình $BC$ biết diện tích tam giác $ABC$ bằng $36$ và đỉnh $A$ có hoành độ dương.
Từ C kẻ \( CH \perp AD \) tại \( H \), \( CH \cap AB = K \). \( AD: x + y - 5 = 0 \) gọi \( \vec{n}_{AD} \) là véc-tơ pháp tuyến của \( AD \Rightarrow \vec{n}_{AD} = (1;1) \). \( CH \perp AD \Rightarrow \vec{n}_{CH} = (1;-1) \).
Phương trình đường thẳng \( (CH) \): qua \( C(-4;1) \Rightarrow (CH): x - y + 5 = 0 \).
VTPT \( \vec{n}_{CH} = (1;-1) \).
Tọa độ điểm \( H \) là nghiệm của hệ phương trình:
\[\begin{cases}x + y - 5 = 0 \\x - y + 5 = 0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x = 0 \\y = 5\end{cases}\Rightarrow H(0;5)\]
Ta có tam giác \( ACK \) cân tại \( A \Rightarrow H \) là trung điểm \( CK \Rightarrow K(4;9) \).
Gọi \( A(a;5-a) \) (\( a > 0 \)) \( \Rightarrow \vec{KA} = (a - 4;-4 - a) \); \( \vec{CA} = (a + 4;4 - a) \).
Vì \( AK \perp AC \Rightarrow \vec{KA} \cdot \vec{CA} = 0 \Leftrightarrow (a - 4)(a + 4) + (4 + a)(a - 4) = 0 \)
\( \Leftrightarrow a - 4 = 0 \Leftrightarrow a = 4 \Rightarrow A(4;1) \Rightarrow \vec{AC} = (-8;0) \Rightarrow AC = 8 \).
\( \vec{AK} = (0;8) \Rightarrow \vec{n}_{AK} = (1;0) \Rightarrow AK: x - 4 = 0 \). Gọi \( B(4;b) \Rightarrow \vec{AB} = (0;b - 1) \Rightarrow AB = |b - 1| \).
\( S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \Leftrightarrow 4|b - 1| = 36 \Leftrightarrow |b - 1| = 9 \Leftrightarrow \begin{cases}b = 10 \\b = -8\end{cases}\)
Với \( b = -8 \Rightarrow B(4;-8) \). Đặt \( f(x, y) = x + y - 5 \Rightarrow f_B = -9; f_C = -8 \Rightarrow f_B \cdot f_C > 0 \)
\( \Rightarrow B; C \) cùng phía với \( AD \) (loại).
Với \( b = 10 \Rightarrow B(4;10) \). Đặt \( f(x, y) = x + y - 5 \Rightarrow f_B = 9; f_C = -8 \Rightarrow f_B \cdot f_C < 0 \)
\( \Rightarrow B; C \) khác phía với \( AD \) (TM).
Đường thẳng \( BC \) qua $B(4;10) \quad \vec{BC} = (-8; -9)$ nên có phương trình: $x = 4 - 8t;y = 10 - 9t \quad (t \in \mathbb{R})$
P/s: Không biết có đúng không.
Chúc Topic thành công
- MHN, Hahahahahahahaha và stanleymitchell thích
#748409 Tìm $m$ để $=(x_{1}-x_{2})^2+(y_{1...
Gửi bởi
trong 15-03-2025 - 23:05
Bài này chỉ cần xét pt hoành độ giao điểm của các cặp đt rồi dùng Viet là được rồi nhỉ
- diep123 yêu thích
