vinhspiderman

Mình là dân ngoại đạo (tôpô đại số), nhưng nghe nói GS Hưng (N.H.V.Hưng) thường khuyên học trò mới học đọc cuốn "Algebraic Topology" của William Massey.
Những cuốn mà toanhoc và mathman145 giới thiệu bạn có thể tìm ra trên net, nhưng cuốn của Massey e là khó kiếm. Bạn thử tìm trong thư viện Viện Toán (nhiều khả năng cũng không có), hoặc chắc ăn là tìm những "đệ tử" của GS Hưng để mượn chụp lại (nếu bạn ở Hà Nội).
Good luck!

Xin lỗi mọi người và nemo. Mình nghĩ là lời giải của nemo chưa chính xác, không thể không sử dụng giả thiết Noetherian của A được. Về nhà mình ngẫm nghĩ lại mới thấy chỗ chưa chặt chẽ. Hướng giải của nemo gồm 2 ý. Ý đầu tiên thì đúng rồi, $S^{-1}P$ là ideal nguyên tố cực tiểu của $S^{-1}I$. Tuy nhiên ý sau, bạn nói là vì $S^{-1}P$ là ideal cực đại duy nhất nên suy ra ĐPCM (tức là $S^{-1}I$ là một $S^{-1}P$-primary) thì mình thấy chưa rõ ràng. (Chẳng hiểu tại sao hôm ấy mình lại thấy đúng!!)

Bữa giờ bận quá nên nay mới reply được. Dưới đây là lời giải của mình, sử dụng giả thiết Noetherian của A.

Vì A là Noetherian nên I là decomposible, khi đó tập Min(I) gồm hữu hạn ideal là P,P1,...,Pn. Khi đó
$ sqrt{S^{-1}I} = S^{-1} sqrt{I} = S^{-1}( P$ $P1$ ... $Pn = S^{-1}P$ $S^{-1}P1$ ... $S^{-1}Pn$
Vì $P$ $Min(I)$ nên $Pi$ $S $ do đó $S^{-1}Pi = A_{P} $. Từ đó ta suy ra
$ sqrt{S^{-1}I} = S^{-1}P$, và do đó ta có ĐPCM.

Nếu bạn nào tìm ra lời giải khác hoặc một lời giải mà không cần sử dụng đến tính Noetherian của A thì xin post lên để cùng thảo luận.

Chứng minh điều ngược lại hoàn toàn dựa vào lập luận sơ cấp. Có thể chứng minh như sau.

Giả sử R không phải là một trường, khi đó vì R[X]/(X) đẳng cấu với R nên (X) không phải là ideal cực đại của R[X]. Giả sử M là ideal cực đại của R[X] chứa (X), khi đó M được sinh ra bởi một đa thức p nào đó, và ta có thể viết X=p.q. Suy ra deg(p)<=1.
Nếu deg(p)=1, p=aX+b, ta suy ra b=0 và a khả nghịch, suy ra M=(X), mâu thuẫn.
Nếu deg(p)<1 và p là hằng số, ta cũng suy ra p khả nghịch, và M=R, mâu thuẫn.

Quà, lâu lắm rồi không lên diễn đàn!! Hôm nay rãnh vào chơi thì vừa đúng tròn 2 năm tham gian forum. Chà, bữa nay nhiều anh em học đại số giao hoán quá nhỉ! Thật là vui!!

Định lý mà bạn yellowal nói là đúng đấy:
Một vành giao hoán A là Artin khi và chỉ khi nó là Noetherian và có dimA=0.

Điều này chỉ đúng với vành mà không đúng với module vì chỉ có trong vành mới có phép toán nhân. Chẳng hạn ví dụ mà bạn Alexi Laiho nói về Q/Z.

Hai ví dụ mà yellowal đưa ra về module hữu hạn sinh có module con không hữu hạn sinh là rất kinh điển. Về module không Noetherian cũng như Artin, còn có một ví dụ kinh điển nữa là nhóm cộng
H={m/p^n|m in Z, n>=0}.

Thật là tiếc quá! Dịp này spiderman bị kẹt ở ngoài nam, không ra được. Tiếc thật, không dự được trường hè, không gặp được các bác. Cho spiderman gửi lời hỏi thăm tới Doreamon. Đáng tiếc là không gặp để làm quen với bác Badman.

Chúc mọi người dự trường hè vui vẻ!!