quanganhct

Có 4 mức điểm : 10 , 7 , 4 , 1
Theo Nguyên lý Dirichle , ít nhất [31/4] = 7 người cùng số điểm

Bài 5b
kết luận trên ko còn đúng, ta sẽ chỉ ra có 1 cách sắp xếp trận đấu thỏa mãn cứ chọn 3 đội bất kỳ thì có 2 đội đã đấu với nhau.
Chia 12 đội ra làm 2 phe, mỗi phe 6 đội.
Cho mỗi đội đấu với 5 đội còn lại trong phe của mình.
Như vậy nếu chọn ra 3 đội tùy ý, sẽ có 2 đội cùng 1 phe, mà theo cách sắp trận đấu, 2 đội cùng phe luôn có trận đấu với nhau.

Vậy, kết luận ở câu 5a ko còn thỏa mãn ở câu 5b

Cái này là đề thi vào lớp chuyên của trường PTNK mà
p/s: Mọi người giúp mình bài cuối đi

Bài 5a
Ta sẽ CM bằng phản chứng : giả sử trong 12 đội, lựa chọn 3 đội bất kỳ thì luôn tồn tại 1 trận đấu giữa 2 trong 3 đội

Vì mỗi đội chỉ thi đấu 4 trận, nên tồn tại 2 đội chưa đấu với nhau, đặt là A và B
10 đội còn lại đặt là C1, C2, ... C10
Theo giả thiết phản chứng , cứ mổi bộ (A B C1) , (A B C2) , ... (A B C10) thì tồn tại 1 trận đấu
Nhưng mà vì cách chọn A với B, nên chỉ có thể tồn tại trận đấu giữa A hoặc B với Ci.
Có 10 đội Ci , chia vào 2 lồng A và B , theo Dirichle, tồn tại 1 lồng chưa nhiều hơn 4 đội Ci ( >=5)
Vô lý, vì mỗi đội chỉ đấu với 4 đội còn lại
DPCM

Cho Tam giác ABC. M là Trung điêmt của BC. Gọi r,r1, r2 là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC,ABM,ACM.BC=a CMR:
$ \dfrac{1}{r1}+ \dfrac{1}{r2} \geq 2( \dfrac{1}{r} + \dfrac{2}{a})$

BDT đã cho tương đương
$ \dfrac{r}{r1}+ \dfrac{r}{r2} \geq 2 + \dfrac{4r}{a}$ (i)
Lại có :
$S_{ABC} = 2S_{ABM}$
Suy ra
$rP_{ABC} = 2r_{1}P_{ABM}$
Suy ra
$\dfrac{r}{r_1} = \dfrac{2P_{ABM}}{P_{ABC}} = $
Tương tự đối với r2
Vậy (i) trở thành :
$2 \dfrac{P_{ABM}+P_{ACM}}{P_{ABC}} \geq 2 + \dfrac{4r}{a}$
$ \Leftrightarrow 2 \dfrac{P_{ABC} + 2AM}{P_{ABC}} \geq 2 + \dfrac{4r}{a}$
$ \Leftrightarrow \dfrac{AM}{P_{ABC}} \geq \dfrac{r}{a}$ (ii)
Lại có :
$2S_{ABC} = r.P_{ABC} = a.AH$ (AH là đường cao)
Suy ra
$\dfrac{r}{a} = \dfrac{AH}{P_{ABC}}$ (iii)
Suy ra (i) tương đương
$\dfrac{AM}{P_{ABC}} \geq \dfrac{AH}{P_{ABC}}$
Vì AH là đường cao, AM là trung tuyến, nên điều này hiển nhiên đúng
Suy ra đpcm

PS: còn bài 2, chiều nay ko có ai giải thì mình sẽ thử, giờ ko có giấy bút nên ko vẽ hình được

Mình có cách khác :
Gọi 36 số là a1, a2,... a36
Đặt P1=a1.a2.a3.a4.a5
tương tự cho đến
P7= a31.a32.a33.a34.a35
Vì P1 <0, nên trong 5 số a1...a5, ít nhất có 1 số <0, giả sử là a5 =>a1.a2.a3.a4 >0 (i)
Đặt P8=a1.a2.a3.a4.a36
Gọi P là tích của 36 số
Do cách đặt P1,P2,...P8, cộng với giả thiết đề cho , ta có P1 , P2,...P8 <0
Suy ra P1.P2.P3.P4.P5.P6.P7.P8 > 0 (tích 8 số âm thì dương)
Mà VT=P.(a1.a2.a3.a4) > 0 , thêm vào (i) , ta có P > 0.