1414141

Giải hệ phương trình: $$ \begin{cases}x(x+y)^2=9 \\x(y^3-x^3)=7\end{cases} $$

Bài toán Tìm các hàm số $f:(0,+\infty) \to (0;+\infty) $ thỏa mãn 

 

$f(x+f(y))=\frac{y}{xy+1} , \forall x,y \in (0;+\infty)$

 

 

Giải

 

 Từ giả thiết suy ra $f(x)>0 , \forall x>0$. Ta sẽ chứng minh f là đơn ánh, tức là chứng minh $f(x)=f(y) \Leftrightarrow x=y$. Giả sử $f(x)=f(y)$. Khi đó

$$ \frac{y}{xy+1}=f(x+f(y))=f(x+f(x))=\frac{x}{x^2+1} \Rightarrow \frac{y}{xy+1}=\frac{x}{x^2+1}$$

$$\Rightarrow x^2y+y=x^2y+x \Rightarrow x=y$$.

 

Với $a >0$, xét  $\frac{y}{xy+1}=a \Leftrightarrow y=axy+a \Leftrightarrow x=\frac{y-a}{ay}$. Do đó từ $(1)$ suy ra

$$f\bigg(\frac{y-a}{ay}+f(y)\bigg)=\boxed{a=f\bigg(\frac{x-a}{ax}+f(x)\bigg)},\forall x>2a,y>2a   (2)$$

Mà $f$ đơn ánh nên từ $(2)$ dẫn đến

$$ \frac{y-a}{ay}+f(y)=\frac{x-a}{ax}+f(x), \forall x.y \in(2a;+\infty)$$

$$\Leftrightarrow f(x)-\frac{1}{x}=f(y)-\frac{1}{y} ,\forall x,y \in (2a;+\infty)$$

$$\Rightarrow f(x)-\frac{1}{x}=C,\forall x \in(2a;+\infty)   (3)  $$

Với mỗi $x>0$, luôn luôn tồn tại $a>0$ sao cho $x>2a$, do đó theo $(3)$ ta được $f(x)=\frac{1}{x}+C$

Vậy $f(x)=\frac{1}{x}+C ,\forall x \in (0;+\infty)$. Thay vào (1) ta được.

$$\frac{1}{x+f(y)}+C=\frac{y}{xy+1}, \forall x,y \in (0;+\infty)$$

$$\Rightarrow \frac{1}{x+\frac{1}{y}+C}+C=\frac{y}{xy+1} ,\forall x,y \in (0;+\infty) (4)$$

Từ $(4)$ thay $x=y=1$ ta được 

$\frac{1}{2+C}+C=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{C^2+2C+1}{2+C}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow 2C^2+3C=0$

Vậy $C=0$ hoặc $C=-\frac{3}{2}$ nhưng do $f(x)>0, \forall x>0$ nên ta loại hàm $f(x)=\frac{1}{x}-\frac{3}{2}, \forall x>0$. Vậy có duy nhất một hàm số thỏa mãn các yêu cầu đề bài là $f(x)=\frac{1}{x}, \forall x \in (0;+\infty)$

 

Mình không hiểu chỗ đóng khung lắm, ai giải thích giúp mình với  ạ.

Có tồn tại hay không ma trận vuông A thỏa mãn $A^T+A^2=I$ và có tổng các phần tử trên đường chéo chính bằng $0$.

Có tồn tại hay không hàm số  $f(x)$ là hàm khả vi liên tục thỏa mãn $f(x)>0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

 

mà $f(f(x))=f'(x)$

 

Chứng minh rằng ma trận  $A \in M_n(\mathbb{K})$ là ma trận lũy linh  thì có đa thức đặc trưng là $(-1)^n\lambda^n$ và ma trận $A$ đồng dạng với ma trận tam giác trên $D$ và các phần tử trên đường chéo của ma trận này đều bằng $0$ tức là tồn tại ma trận khả ngịch C sao cho $A=C^{-1}DC$

 

Giúp em bài này với ạ.