*LinKinPark*

1) Cho đa giác đều có 1981 đỉnh. CMR trong 64 đỉnh bất kì của đa giác luôn có 4 đỉnh tạo thành 1 hình thang
2) Cho $ {A_1},{A_2},...,{A_n}$ là dãy số thực cho trước. CMR: tồn tại số thực $ i$ sao cho $ {A_1} + i,{A_2} + i,...,{A_n} + i $ đều la các số vô tỉ

Cho $ a,b,c $ là các số thực không âm thỏa $ a + b + c = 2 $. CMR:
$ \left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\left( {{b^2} - bc + {c^2}} \right)\left( {{c^2} - ca + {a^2}} \right) \le 1 $

Bài 1: Let $ a,b,c > 0 $ and $ abc \ge 1 $. Prove that:
$ {n^3}\left( {{a^n} + ... + a + 1} \right)\left( {{b^n} + ... + b + 1} \right)\left( {{c^n} + ... + c + 1} \right) \ge {\left( {n + 1} \right)^3}\left( {{a^{n - 1}} + ... + a + 1} \right)\left( {{b^{n - 1}} + ... + b + 1} \right)\left( {{c^{n - 1}} + ... + c + 1} \right) $
Bài 2: Cho các số thực dương $ {a_1},...,{a_n} $ (n>2) có tổng bằng S. CMR:
$ \sum\limits_{i = 1}^n {\sqrt {\dfrac{{S - {a_i}}}{{{a_i}}}} } \ge (n - 1)\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {\sqrt {\dfrac{{{a_i}}}{{S - {a_i}}}} } } \right) $
Bài 3: Cho các số thực dương $ {a_1},...,{a_n} $ (n là số tự nhiên>0). CMR:
$ \sqrt {{{\left( {\dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}}} \right)}^{n = 1}}} + \sqrt {{{\left( {\dfrac{{{a_2}}}{{{a_3}}}} \right)}^{n - 1}}} + ... + \sqrt {{{\left( {\dfrac{{{a_n}}}{{{a_1}}}} \right)}^{n - 1}}} \ge \dfrac{{{a_1} + ... + {a_n}}}{{\sqrt[n]{{{a_1}...{a_n}}}}} $

If $ xyz = \left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right)\left( {1 - z} \right) $ where $ 0 \le x,y,z \le 1 $. Prove that:
$ x\left( {1 - z} \right) + y\left( {1 - x} \right) + z\left( {1 - y} \right) \ge \dfrac{3}{4} $

Bài 1: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính 1. CMR: $ \forall $ điểm M nằm trong mặt phẳng chứa tam giác, ta luôn có:
$ {a^2}({b^2} + {c^2} - {a^2})MA + {b^2}({a^2} + {c^2} - {b^2})MB + {c^2}({b^2} + {a^2} - {c^2})MC \ge {a^2}{b^2}{c^2} $
Bài 2: Cho p,q là 2 số nguyên >1 nguyên tố cùng nhau và n=pq. Xét đa giác đều n cạnh nội tiếp trong đường tròn bán kính 1. CMR: $ \exists $ 1 hoán vị $ \left( {{\alpha _1},...,{\alpha _n}} \right) $ của $ (1,...,n) $ sao cho $ \forall $ điểm M trong mặt phẳng ta đều có:
$ \sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}M{A_i}} \ge \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} $