huy thắng

CÂU 1:Cho $x,y,z,t$ nguyên dương,tìm nghiệm của pt: $2^t=3^x.5^y +7^z$

CÂU 2: Giải pt: $x=\sqrt{3-x}.\sqrt{4-x}+\sqrt{4-x}.\sqrt{5-x}+\sqrt{5-x}.\sqrt{3-x}$

CÂU 3: Cho $x,y,z > 0, x+y+z=2$ tìm $Min$
$T=\frac{x^3}{y^2+z}+\frac{y^3}{z^2+x}+\frac{z^3}{x^2+y}$
CÂU 4: giải hệ phương trình sau:
$\begin{matrix}y^6+y^3+2x^2=\sqrt{xy-x^2y^2} & & \\
8xy^3+2y^3+1\geq 4x^2+2\sqrt{1+(2x-y)^2)} & &
\end{matrix}$
CÂU 5: cho tam giác $ABC,H$ Là trực tâm,$AD$ là phân giác,từ H vẽ vuông góc $AD$ cắt $AB,AC$ tại $E,F$.
Chứng minh: đường nối tâm của tam giác $AEF$ và $ABC$ đi qua trung điểm $AH$.
CÂU 6: cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn tâm $I$ với cái tiếp điểm $D,E,F$ lần lượt thuộc $BC, AC, AB$. Gọi $P$ là một điểm nằm trong mặt phẳng chứa tam giác $ABC$. Gọi $M, N , Q$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $P$ lên $BC,AC, AB$.
Chứng minh đường tròn đi qua trọng tâm ba tam giác $MEF, NDF, QDE$ có đường kính bằng $1/3.IP$

happy birth day Chúc vmf ngày càng phát triển lớn mạnh và mang lại thật nhiều kiến thức bổ ích cho mọi người

C

$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$

em ơi,cái này không phải là 1 tính chất mà suy ra từ 1 bất đẳng thức (giống kiểu định lí vậy). =)) (hình như lớp 8-9 được sử dụng bất đẳng thức này)
C/M:
áp dụng bđt BCS: có $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq9$ =]]

Câu 4 (3 điểm): Cho hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $a$ . Lấy điểm $M$ tùy ý trên đường chéo $AC$ ($M$ không trùng $A$ và $C$). Kẻ $ME$ vuông góc với $AB$ ($E\in AB)$ và $MF$ vuông góc với $BC$ $(F\in BC)$ . Xác định vị trí của điểm $M$ để diện tích tam giác $DEF$ nhỏ nhất. Tìm giá trị đó.

Nguồn: mathscop

Mình chém câu này nhé ,

đặt AB=$a$
ta có SDEF = SABC - SAED - SDFC - SBEF = $\frac{1}{2}$($AE.AD$ +$DC.CF$ + $BE.BF$ )
Lại có: $AE=ME=BF$, $CF=EB=MF$
Để SDEF min <=>($AE.AD$ + $DC.CF$+ $BE.BF$)max
<=>($a.ME$ + $a.MF$+ $ME.MF$ )min <=>$ME.MF$min
Có ME.MF$\leq$ ($(\frac{ME+MF}{2})^{2}$ = $\frac{a^2}{4}$
Vậy khi ME=MF thì SDEF min=$\frac{3}{8}a^{2}$