hxthanh

Problem
Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương $n\ge 3$, ta luôn tách được $n$ thành tổng của ba số nguyên dương $a,b,c$ sao cho $a+11b+13c$ là một số chính phương.

Cho các số nguyên dương $m,n$
Xét hai biểu thức sau:
$A=\sum_{k=1}^n \left\lfloor \frac{k}{m}\right\rfloor$
$B=\left\lfloor \frac{n^2-(m-2)n}{2m}+\alpha\right\rfloor$
$1.\,\,$ Với $m=4$, tìm điều kiện của $\alpha$ để đẳng thức $A=B$ đúng với mọi $n$
$2.\,\,$ Với $\alpha=\frac{1}{2}$, tìm tất cả giá trị của $m$ để đẳng thức $A=B$ đúng với mọi $n$
$3.\,\,$ Với $m> M$, trong đó $M$ là giá trị lớn nhất của $m$ tìm được ở câu $2.\,$
Chứng minh rằng không tồn tại $\alpha\,$ để đẳng thức $A=B$ xảy ra với mọi $n$

Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ liên tục, tuần hoàn, thoả mãn tất cả các điều kiện sau:
$$\left\{\begin{align*} f(x)&=f(x+4) \\ f(-x)&=-f(x) \\ \left|f(x)\right|+\left|f(x+1)\right| &=1,\,\, \forall x \\ f(x)&\ne 0,\,\,\forall x\ne 2n;\,\,n\in\mathbb Z\end{align*} \right.$$

Lọ mọ với https://www.wolframalpha.com tôi tình cờ phát hiện ra một hàm số khá thú vị
$$\begin{equation}f(x)=\left(\lfloor x\rfloor+\frac{1}{2}\right)\ln x -\ln(\lfloor x\rfloor!)\end{equation}$$
https://www.wolframa...r(x)!), {x,1,5}
Nhìn vào đồ thị của hàm $f(x)$, ta có thể thấy nó khá là “thẳng”. Nó thẳng một cách bất thường!
Tôi thử so sánh với đồ thị của $y=x$ thì thấy nó “hơi bị” song song.
Bằng cách thử vẽ nhiều lần, tôi thấy rằng:
$$\begin{equation}g(x)=x-\alpha;\,\,\,\,\,\, \alpha\approx 0.91894\end{equation}$$
Ở đây $\alpha$ là một số thực nào đó gần bằng $0.91894$ tìm ra từ thực nghiệm, cụ thể $\alpha$ bằng bao nhiêu thì chịu
…
Bây giờ mà chứng minh được $\lim_{x\to\infty} f(x)-g(x)=0$ hay $\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=1$
rồi tìm ra chính xác giá trị của $\alpha$ thì quả là tuyệt vời!!
Hãy nhìn hình dưới xem
 AB979F75-E7E4-4B07-98F8-0993A576723E.png   105.27K   4 Số lần tải
Bạn thấy không? Đồ thị của $f(x)$ và $g(x)$ gần như trùng nhau hoàn toàn!
Trùng nhau từ vạch xuất phát
Có ai đó giúp tôi chứng minh hay bác bỏ nhận định trên được không?

Cho số nguyên dương $n>1$. Với $x \in [1,\infty)$. Tìm nguyên hàm của hàm số sau:
$$f(x)=-\frac{\lfloor x\rfloor}{x^n}+\sum_{k=1}^{\lfloor x\rfloor}\frac{1}{k^n}$$