hxthanh

Cho $n$ là số nguyên dương lớn hơn $2$. Xét tổng:
$$ S=\sum_{k=1}^n {n\choose k}\left\lfloor \frac k2\right\rfloor 3^{n-k} 2^k $$Tìm số dư của $S$ khi chia cho $100$

Xét quan hệ truy hồi 2 biến:
\begin{equation} \label{e1} S(n+2,k)=3S(n+1,k)-2S(n,k-1) \end{equation} Thoả mãn giá trị khởi tạo và điều kiện biên: \begin{equation} \label{e2} S(n,0)=3^{n-1} \end{equation} \begin{equation} \label{e3} n<2k \Rightarrow S(n,k)=0 \end{equation}
1. Xác định công thức tổng quát $S(n,k)$
2. Điều gì xảy ra khi đổi điều kiện \eqref{e2} thành $S(n,0)=3^n$?
3. Câu hỏi tương tự nếu thay \eqref{e2} thành $S(n,0)=1$?

Cho hình nhị thập diện đều (20 mặt đều, tên tiếng Anh là icosahedron). Từ các đỉnh của nhị thập diện đều, lập được bao nhiêu tứ diện không có mặt nào trùng với mặt của hình nhị thập diện?
Icosahedron graph

perfectstrong có một chiếc smartphone rất hiện đại nhưng khá là ức chế khi sử dụng bởi vì nó được trang bị một phương thức bảo mật chỉ muốn ăn đập Mỗi lần mở khoá nó yêu cầu một mật khẩu ngẫu nhiên gồm 4 chữ số (thập phân) đôi một khác nhau và cho phép người sử dụng nhập tối đa 7 lần. Sau 7 lần nhập sai mật khẩu sẽ có một thông báo gây ức chế: “Vui lòng thử lại sau 24 giờ”, sau đó mật khẩu sẽ được đặt lại ngẫu nhiên. Mỗi lần nhập mật khẩu, thay vì thông báo: “Mật khẩu không đúng…” thì sẽ có thông báo dạng $ [xA,yB] $. Trong đó $x$ là số chữ số đúng và đúng vị trí, $y$ là số chữ số có trong mật khẩu nhưng sai vị trí. Ví dụ: Giả sử mật khẩu là $0123$, nếu ta nhập $0327$ thì kết quả thông báo là $[2A,1B]$ (hai chữ số đúng và đúng vị trí là 0,2; một chữ số đúng nhưng sai vị trí là 3).
1. Chứng minh rằng sau tối đa 7 phép thử bằng cách nào đó ta luôn tìm được mật khẩu đúng.
2. Xây dựng một thuật toán để giải quyết vấn đề này (Bạn có thể xây dựng code để chơi với máy tính, bạn trả lời còn máy đưa ra mật khẩu hoặc ngược lại để luyện kỹ năng)
3. Nếu mật khẩu chỉ có 3 chữ số đôi một phân biệt thì cần ít nhất bao nhiêu phép thử để tìm ra mật khẩu?

Cho tập hợp $A_n=\{1,2,…,n\}$
Xét dãy hữu hạn $(a_k): a_1,a_2,…,a_k$ thoả mãn điều kiện:
-$\qquad a_i\in A_n,\; i=\overline{1,k}$
-$\qquad $mọi tập con 2 phần tử của $A_n$ đều là 2 số hạng liên tiếp nào đó của $(a_k)$
Tìm giá trị nhỏ nhất của $k$ theo $n$.
———
Nguồn: Tạp chí Epsilon No1, Bài toán 5 trang 106.