Đến nội dung


hxthanh

Đăng ký: 30-10-2010
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

Chủ đề của tôi gửi

Chứng minh $a+11b+13c=m^2$ luôn có nghiệm

18-08-2022 - 03:30

Problem
Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương $n\ge 3$, ta luôn tách được $n$ thành tổng của ba số nguyên dương $a,b,c$ sao cho $a+11b+13c$ là một số chính phương.

Tìm điều kiện để có đẳng thức phần nguyên

05-08-2022 - 22:46

Cho các số nguyên dương $m,n$
Xét hai biểu thức sau:
$A=\sum_{k=1}^n \left\lfloor \frac{k}{m}\right\rfloor$
$B=\left\lfloor \frac{n^2-(m-2)n}{2m}+\alpha\right\rfloor$
$1.\,\,$ Với $m=4$, tìm điều kiện của $\alpha$ để đẳng thức $A=B$ đúng với mọi $n$
$2.\,\,$ Với $\alpha=\frac{1}{2}$, tìm tất cả giá trị của $m$ để đẳng thức $A=B$ đúng với mọi $n$
$3.\,\,$ Với $m> M$, trong đó $M$ là giá trị lớn nhất của $m$ tìm được ở câu $2.\,$
Chứng minh rằng không tồn tại $\alpha\,$ để đẳng thức $A=B$ xảy ra với mọi $n$

Hàm tuần hoàn $f(x)=f(x+4)$

28-07-2022 - 03:13

Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ liên tục, tuần hoàn, thoả mãn tất cả các điều kiện sau:
$$\left\{\begin{align*} f(x)&=f(x+4) \\ f(-x)&=-f(x) \\ \left|f(x)\right|+\left|f(x+1)\right| &=1,\,\, \forall x \\ f(x)&\ne 0,\,\,\forall x\ne 2n;\,\,n\in\mathbb Z\end{align*} \right.$$

Một kết quả khá bất ngờ từ WolframAlpha.com

22-07-2022 - 16:41

Lọ mọ với https://www.wolframalpha.com tôi tình cờ phát hiện ra một hàm số khá thú vị
$$\begin{equation}f(x)=\left(\lfloor x\rfloor+\frac{1}{2}\right)\ln x -\ln(\lfloor x\rfloor!)\end{equation}$$
https://www.wolframa...r(x)!), {x,1,5}
Nhìn vào đồ thị của hàm $f(x)$, ta có thể thấy nó khá là “thẳng”. Nó thẳng một cách bất thường! :))
Tôi thử so sánh với đồ thị của $y=x$ thì thấy nó “hơi bị” song song.
Bằng cách thử vẽ nhiều lần, tôi thấy rằng:
$$\begin{equation}g(x)=x-\alpha;\,\,\,\,\,\, \alpha\approx 0.91894\end{equation}$$
Ở đây $\alpha$ là một số thực nào đó gần bằng $0.91894$ tìm ra từ thực nghiệm, cụ thể $\alpha$ bằng bao nhiêu thì chịu :))

Bây giờ mà chứng minh được $\lim_{x\to\infty} f(x)-g(x)=0$ hay $\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=1$
rồi tìm ra chính xác giá trị của $\alpha$ thì quả là tuyệt vời!!
Hãy nhìn hình dưới xem
File gửi kèm  AB979F75-E7E4-4B07-98F8-0993A576723E.png   105.27K   4 Số lần tải
Bạn thấy không? Đồ thị của $f(x)$ và $g(x)$ gần như trùng nhau hoàn toàn!
Trùng nhau từ vạch xuất phát :))
Có ai đó giúp tôi chứng minh hay bác bỏ nhận định trên được không? :))

$\int f(\lfloor x\rfloor)dx…$

20-07-2022 - 23:48

Cho số nguyên dương $n>1$. Với $x \in [1,\infty)$. Tìm nguyên hàm của hàm số sau:
$$f(x)=-\frac{\lfloor x\rfloor}{x^n}+\sum_{k=1}^{\lfloor x\rfloor}\frac{1}{k^n}$$