Câu 5 (1,5 điểm). Cho hàm số $y=f(x)$ khả tích và thỏa mãn $\int_{0}^{1}f(x)dx=2013$ và:$$\left | f(x_1)-f(x_2) \right |< \left | x_1^3 +x_2^3 -x_1x_2^2-x_2x_1^2 \right |, \forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}$$
Xác định hàm số đã cho.
mới đi thi về, cơ mà làm ăn chán quá, chắc lỡ hẹn rồi
điều kiện đề bài tương đương với:
$ |\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}| \leq |x_1^2-x_2^2| $
cho $ x_1 $ tiến đến $ x_2 $ và lấy giới hạn 2 vế ta được:
$ \lim_{x_1 \rightarrow x_2}|\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}| \geq \lim_{x_1 \rightarrow x_2}|x_1^2-x_2^2| $
$ \Leftrightarrow |f'(x_2)| \leq 0 \forall x_2 \in \mathbb{R} $
$ \Rightarrow f'(x)=0 \forall x \in \mathbb{R} $
hay $ f(x) $ là hàm hằng, kết hợp với $ \int_0^1f(x)dx=2013 $ ta tìm đc hàm $ f(x)=2013 \forall x \in \mathbb{R} $, thử lại thấy thỏa
vậy hàm số cần tìm là $ f(x)=2013 \forall x \in \mathbb{R} $