Đến nội dung


Nxb

Đăng ký: 04-11-2011
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 18:13
*****

Chủ đề của tôi gửi

Lafforgue nghiên cứu topos cho Huewei, và thêm ba huy chương Fields khác.

05-01-2022 - 17:28

https://www.youtube....h?v=EqrNLuN5Bfk

Ngoài ra sắp tới sẽ có thể thêm những nhà toán học sau nghiên cứu cho Huawei:

2018 Fields Medal Alessio Figalli, 1998 FIelds Medal Maxim Kontsevich, 1994 Fields Medal Pierre-Louis Lions.


ICM 2022

25-12-2021 - 19:32

Số mới của thông tin toán học có bài viết rất hay về các báo cáo toàn thể tại ICM 2022 http://math.ac.vn/vi...thtap25so2.html


Tìm hiểu về định nghĩa phạm trù vô cực

09-10-2021 - 02:27

PHẠM TRÙ VÔ CỰC

 

Mục tiêu của bài này là để giải thích định nghĩa của phạm trù vô cực theo Jacob Lurie. Nói ngắn gọn, ta sẽ giải thích định nghĩa của $\infty$-phạm trù như hợp của lý thuyết đồng luân và lý thuyết phạm trù.

 

Nhắc lại trong bài này https://diendantoanh...iều-lý-thuyết/, ta biết rằng nhóm cơ bản của một không gian tô pô $X$ tại điểm $x\in X$ được định nghĩa như là nhóm các nút tại $x$ chia thương cho quan hệ đồng luân. Ngoài ra, ta cũng định nghĩa $\pi_0(X)$ là tập các thành phần liên thông đường. Ta có thể giải thích đơn giản ý nghĩa của các đối tượng này: nếu các không gian tô pô $X$ và $Y$ đồng phôi thì $\pi_0(X)\simeq \pi_0(Y)$, $\pi_1(X)\simeq \pi_1(Y)$ (trong trường hợp các $X, Y$ liên thông đường) nên chúng có thể được sử dụng để phân biệt các không gian tô pô.

 

Ta có thể tổ chức lại không gian tô pô $X$ thành phạm trù $\pi_{\leq 1}(X)$ và định nghĩa các tập $\pi_0(X), \pi_1(X)$ như là các đối tượng gắn với phạm trù $\pi_{\leq 1}(X) .$ Phạm trù này được định nghĩa như sau: 

    (a) Các vật là các điểm của $X$;

    (b) Một cấu xạ giữa hai điểm $x, y$ là một lớp đồng luân của các đường từ $x$ sang $y$.

Từ đó, ta có thể mô tả $\pi_0(X)$ như là tập các lớp đẳng cấu của $\pi_{\leq 1}(X)$ và $\pi_1(X,x)=Hom_{\pi_{\leq 1}(X)}(x,x).$ 

 

Tất nhiên, chỉ với định nghĩa này thì ta không thấy được tại sao cách mô tả các tập $\pi_0(X), \pi_1(X)$ bằng phạm trù lại hữu dụng. Tuy nhiên, nó lại gợi ý cho ta một điều sau. Nhắc lại rằng, ta có thể định nghĩa các nhóm $\pi_n(X)$, với $n\geq 2,$ được gọi là các nhóm đồng luân cấp cao. Các nhóm $\pi_n(X,x)$ là nhóm các ánh xạ liên tục $S^n \to X$ tại $x$ chia thương cho quan hệ đồng luân. Do đó, ta  kỳ vọng rằng có thể gắn với $X$ một phạm trù $A$ sao cho sao cho $\pi_{n}(X)$ được định nghĩa thông qua $A$. Tuy nhiên trên thực tế, phạm trù $A$ mà ta kỳ vọng lại không phải một phạm trù thông thường, tức là không phải là một phạm trù chỉ bao gồm các vật và các cấu xạ giữa các vật, mà lại có một cấu trúc khác, mà ta tạm gọi là $\infty$-phạm trù. Trong một $\infty$-phạm trù, ngoài các cấu xạ giữa các vật, mà ta gọi là các 1-cấu xạ, còn có các 2-cấu xạ giữa các 1-cấu xạ, các 3-cấu xạ giữa các 2-cấu xạ,…

 

Trước khi đưa ngay ra định nghĩa của $A,$ ta đưa ra một cách mô tả khác của $\pi_0(X),\pi_1(X)$. Điều này giải thích phần lớn xây dựng sắp tới đây của phạm trù $A$. Một $n$-đơn hình (kỳ dị) trong $X$ là một ánh xạ liên tục từ $$|\Delta^n|\to X,$$ở đây $\Delta=\left\{(x_0,\dots,x_n)\in \mathbb{R}_{\geq 0}^n| x_0+\dots+x_n=1\right\}.$ Các đơn hình kỳ dị đóng vai trò cốt lõi trong định nghĩa đồng điều kỳ dị, tuy nhiên ở đây ta khai thác chúng theo một cách đặc biệt. 

 

Ví dụ 1. Rõ ràng, các điểm trong $X$ là các $0$-đơn hình, các đường liên tục trong $X$ là các $1$-đơn hình, và thú vị hơn, các đồng luân trong $X$ tương ứng với một tập nhất định các $2$-đơn hình! Thật vậy, nếu $H$ là môt đồng luân từ đường $f$ sang đường $g$ nối hai điểm $x,y$ thì $\sigma(x_0,x_1,x_2)=H(1-x_0,x_2/(1-x_0))$ là một $2$-đơn hình, thoả mãn $$\sigma|_{x_0=0}=id_{\{y\}},\ \sigma|_{x_1=0}=g,\ \sigma|_{x_2=0}=f.$$Ngược lại, một đơn hình thoả mãn các tính chất trên xác định một đồng luân từ $f=f\cdot id_{\{y\}}$ sang $g$. 

 

Ta đưa ra định nghĩa của $A:$

 

Định nghĩa 2. Ký hiệu $\Delta$ là phạm trù với các vật là các tập sắp thứ tự $[n]=\{0<1<\dots<n\}$ và các cấu xạ là các ánh xạ không giảm. Định nghĩa $Sing_{\bullet}(X)$ là một hàm tử nghịch biến $\Delta\to Set$ như sau:

    (a) $Sing_{\bullet}(X)([n])=Sing_n(X)=Top(|\Delta^n|,X)=$ tập các $n$-đơn hình kỳ dị trong X;

    (b) Nếu $f$ là một ánh xạ không giảm từ $[m]$ sang $[n]$ thì với mọi $n$-đơn hình kỳ dị $\sigma,$ $$Sing_{\bullet}(f)(\sigma)(x_0,\cdots,x_m)=\sigma\left(\sum_{i_0\in f^{-1}(0)}x_{i_0},\dots,\sum_{i_n\in f^{-1}(m)}x_{i_n}\right).$$

 

Một hàm tử nghịch biến $S_{\bullet}: \Delta\to Set$ còn được gọi là một vật đơn hình (từng được giới thiệu ở đâyhttps://diendantoanh...yết-đơn-hình/). Ta gọi các phần tử trong $S_0$ là các đỉnh và các phần tử trong $S_1$ là các cạnh, cũng như các phần tử trong $S_n$ là $n$-đơn hình. Trong cấu trúc mới này, ta có thể mường tượng ra định nghĩa tập các thành phần liên thông $S_{\bullet}$ theo tinh thần của phạm trù thông thường, cũng như $\pi_1(S_{\bullet},x)$, và có lẽ cả các nhóm đồng luân cấp cao $\pi_{n}(S_{\bullet},x)$? Tuy nhiên, các định nghĩa này thực ra lại rối rắm hơn nhiều. Ta bắt đầu với định nghĩa của $\pi_0(X).$ Trước hết, ta đưa ra khái niệm đỉnh đầu và đỉnh cuối của một cạnh.

 

Định nghĩa 3. Cho $e\in S_1,$ ta gọi $S_{\bullet}([0]\to [1], 0\mapsto 1)(e)=d_0(e)$ là đỉnh cuối của $e$, $S_{\bullet}([0]\to [1], 0\mapsto 0)(e)=d_1(e)$ là đỉnh đầu của $e$. 

 

Sẽ là sai lầm nếu định nghĩa ngay rằng hai đỉnh $x$ và $y$ cùng nằm trong một thành phần liên thông nếu có một cạnh với đỉnh đầu $x$ và đỉnh cuối $y$. Trong định nghĩa của $\pi_{\leq 1}(X)$ ở đầu bài, để chứng minh được tiên đề về tính hợp thành của một phạm trù, ta cần tính chất sau của không gian tô pô $X$: nếu có một đường từ $x$ tới $y$ và một đường từ $y$ tới $z$ thì tồn tại một đường từ $x$ tới $z$. Không có lý do nào để một tập đơn hình nói chung có tính chất này được. Vì vậy ta đưa ra định nghĩa sau:

 

Định nghĩa 4. Tập các thành phần liên thông $\pi_{0}(S_{\bullet})$ được định nghĩa là $S_0$ chia thương cho quan hệ tương đương sinh bởi $\{(d_1(e),d_0(e)\}\subseteq S_0\times S_0.$

 

Nói cách khác, $x$ và $y$ cùng nằm trong một thành phân liên thông nếu có đường đi tạo bởi một loạt các cạnh, xem như các cạnh vô hướng, nối $x$ và $y$.

 

Như đã nhận xét ở trên, trong trường hợp tập đơn hình $S_{\bullet}$ là $Sing_{\bullet}(X)$, quan hệ tương đương ở trên đơn giản hơn nhiều: $x$ và $y$ thuộc cùng một thành phần liên thông nếu và chỉ nếu tồn tại một cạnh $e$ sao cho $d_1(e)=x,\ d_0(e)=y.$

 

Tính chất tồn tại cạnh $e_1$ với đỉnh đầu là $x$ và đỉnh cuối là $y$, cạnh $e_2$ với đỉnh đầu $y$ và đỉnh cuối là $z$ thì tồn tại cạnh $e_3$ với đỉnh đầu là $x$ và đỉnh cuối là $z$ của $Sing_{\bullet}(X)$ có thể được trình bày theo một ngôn ngữ trừu tượng hơn mà ta sẽ sử dụng trong những thảo luận tiếp theo. Trước tiên, ta mô tả các $n$-đơn hình của một tập đơn hình theo cách gần gũi với định nghĩa của $n$-đơn hình kỳ dị. Theo bổ đề Yoneda, mọi vật đơn hình $S_{\bullet}: \Delta^{op}\to Set$ thoả mãn

$$Nat(y([n]), S_{\bullet})\simeq S_{\bullet}([n])=S_n,$$trong đó $y([n])=Hom_{\Delta}(\_,[n]).$ Do đó, nếu đặt $y([n])=\Delta^n$ thì các phần tử của $S_n$ tương ứng 1-1 với các biến đổi tự nhiên $\Delta^n\to S_{\bullet}.$ Như vậy chẳng hạn các biến đổi tự nhiên $\Delta^n\to Sing_{\bullet}(X)$ tương ứng 1-1 với  các ánh xạ liên tục từ $|\Delta^n|\to X.$ 

 

Định nghĩa 5. Tập đơn hình $i$-sừng $\Lambda^{n}_{i}$ của $\Delta^n$ được định nghĩa như sau:

$$\Lambda^{n}_i([m])=\{\alpha\in Hom_{\Delta}([m],[n])| \alpha([m])\cup \{i\}\neq [n]\}\subset \Delta^n[m].$$

Tương tự như định nghĩa đỉnh đầu và đỉnh cuối của một cạnh, ta cũng định nghĩa các mặt của một $n$-đơn hình của một tập đơn hình như sau:

 

Định nghĩa 6. Ta ký hiệu $d_i: S_n\to S_{n-1}$ cho ánh xạ $$S_{\bullet}([n-1]\to[n],0\mapsto 0,\dots,i-1\mapsto i-1, i\mapsto i+1,\dots,n-1\mapsto n).$$

 

Như vậy, các mặt của một $n$-đơn hình $\sigma$ là $d_0(\sigma),\dots,d_n(\sigma).$

 

Mệnh đề 7. Với mọi tập đơn hình $S_{\bullet},$

$$Nat(\Lambda^{n}_{i},S_{\bullet})\simeq \text{ một tập con của} \prod_{j\in [n]-\{i\}} S_{n-1}.$$

 

Tập con này bao gồm các dãy $(\sigma_0,\dots,\sigma_{i-1},\sigma_{i+1},\dots,\sigma_n)$ thoả mãn $d_j(\sigma_k)=d_{k-1}(\sigma_j)$ với mọi $j,k\in [n]-\{i\}$ thoả mãn $j<k.$

 

Nói cách khác, một biến đổi tự nhiên $\Lambda^{n}_i\to S_{\bullet}$ bao gồm các $n-1$ đơn hình mà các mặt của chúng tương thích với nhau. Chẳng hạn các biến đổi tự nhiên $\Lambda^{2}_1\to S_{\bullet}$ tương ứng với các cạnh $(e,e’)$ sao cho $d_0(e)=d_1(e’)$, tức là một bộ hai cạnh mà đỉnh đầu và đỉnh cuối của chúng trùng nhau!

Quay trở lại vấn đề ở trên, ta trình bày lại sự tồn tại của cạnh $e_3$ như sau: sự tồn tại các cạnh $e_1,\ e_2$ sao cho đỉnh cuối $e_1$ trùng với đỉnh đầu $e_2$ tương đương với sự tồn tại của một biến đổi tự nhiên từ $\Lambda^2_1\to Sing_{\bullet}(X).$ Khi đó tồn tại đơn hình $\sigma: \Delta^2\to Sing_{\bullet}(X)$ sao cho ánh xạ này hợp thành với nhúng $\Lambda^2_i\to Sing_{\bullet}(X)$ (tại sao?), cạnh $e_3$ chính là $d_1(\sigma).$

 

Tính chất này cũng thoả mãn cho các đơn hình chiều cao hơn của $Sing_{\bullet}(X),$ tức là với mọi $n>0$ và với mọi $0\leq i\leq n,$ và với mọi biến đổi tự nhiên từ $\Lambda^n_i\to Sing_{\bullet}(X),$ tồn tại một đơn hình $\Delta^n\to Sing_{\bullet}(X)$ là mở rộng $\Lambda^n_i\to Sing_{\bullet}(X).$ Từ đầu tới giờ, ta mới định nghĩa các thành phần liên thông của một tập đơn hình. Không giống như $\pi_0(X)$, ta sẽ không thể giải thích được cách đi đến các định nghĩa của các nhóm đồng luân cấp cao của một vật đơn hình mà không trình bày thêm các kiến thức về lý thuyết đơn hình, mà bài viết này chỉ là đi tìm hiểu về định nghĩa của phạm trù vô cực. Vì vậy, ta chỉ có thể nói ngắn gọi là, tính chất mở rộng sừng ở trên của $Sing_{\bullet}(X)$ là điều kiện cốt lõi cho phép ta định nghĩa các nhóm đồng luân. Ta gọi một vật đơn hình như vậy là một phức Kan, đặt theo tên của Daniel Kan, người đã đưa ra các xây dựng trên, ( trong “A combinatorial definition of homotopy groups.” Ann. of Math. (2), 67:282–312, 1958.) và các nhóm đồng luân cấp cao có thể được định nghĩa cho mọi phức Kan. Như vậy, $Sing_{\bullet}(X)$ chính là cấu trúc mà ta tìm kiếm theo tinh thần của $\pi_{\leq 1}(X).$ 

 

Như đã nói ở đầu, ta sẽ giải thích phạm trù vô cực như là hợp của lý thuyết đồng luân và lý thuyết phạm trù. Năm 1961, Grothendieck đưa ra định nghĩa mạch của một phạm trù: với mỗi phạm trù $\mathcal{C}$,   $N_{\bullet}(\mathcal{C})$ là một vật đơn hình với các $n$-đơn hình là tập $$N_n(\mathcal{C})=\{x_0 \xrightarrow{f_0} x_1 \dots x_{n-1}\xrightarrow{f_{n-1}} x_n \mid f_0,\dots,f_{n-1} \text{ là các cấu xạ trong }\mathcal{C}\}.$$ Vật đơn hình này có tính chất sau, với mỗi cạnh $e_1:x\to y,\ e_2: y\to z$ sao cho đỉnh cuối $e_1$ trùng với đỉnh đầu $e_2,$ tồn tại duy nhất một $2$-đơn hình $\sigma$, chính là $e_2\circ e_1: x\to z$ sao cho $d_2(\sigma)=e_1,\ d_0(\sigma)=e_1.$ Thực ra, ta có mệnh đề sau:

 

Mệnh đề 8. Một vật đơn hình $S_{\bullet}$ đẳng cấu với mạch của một phạm trù nếu và chỉ nếu với mọi $n>0$ và với mọi $0<i<n,$ và với mọi biến đổi tự nhiên $\Lambda^n_i\to S_{\bullet},$ tồn tại “duy nhất” một $n$-đơn hình $\Delta^n\to S_{\bullet}$ là mở rộng của $\Lambda^n_i\to S_{\bullet}.$

 

Từ đó, ta định nghĩa một $\infty$-phạm trù như sau:

 

Định nghĩa 9. Một $\infty$-phạm trù là một vật đơn hình $S_{\bullet}$ thoả mãn với mọi $n>0$ và với mọi $0<i<n,$ mọi biến đổi tự nhiên $\Lambda^n_i\to S_{\bullet}$ có thể được mở rộng thành một $n$-đơn hình.

 

Đóng vai trò như là hợp của lý thuyết đồng luân và lý thuyết phạm trù, lý thuyết phạm trù vô cực có rất nhiều ứng dụng mạnh mẽ, cho phép mang các ý tưởng của tô pô vào các lĩnh vực của đại số/hình học đại số, nổi tiếng nhất có lẽ là lý thuyết về $\infty$-tô pô và hình học đại số dẫn xuất của Jacob Lurie, qua đó trả lời và mở rộng các vấn đề do Alexander Grothendieck đặt ra trong “À la poursuite des Champs” (1983). Tuy nhiên, các ứng dụng này vượt xa hiểu biết của người viết, vì vậy hi vọng trong bài tới, ta có thể thảo luận về $\infty$-phạm trù ổn định, với ứng dụng ngay lập tức vào đại số đồng điều, cụ thể là lý thuyết về phạm trù dẫn xuất.


Đường cong và mặt đại số

26-09-2021 - 18:18

Trong mục này, ta nghiên cứu về tập nghiệm của hệ phương trình đa thức. Rõ ràng tập các số mà ta đang quan tâm ảnh hưởng rất lớn tới tập nghiệm. Chẳng hạn phương trình $x^2+1$ không có nghiệm thực, nhưng lại có hai nghiệm phức, hoặc phương trình $x^2=2$ có nghiệm thực, nhưng lại không có nghiệm nguyên nào. Vì vậy, ta cần giới hạn một tập số $K$ nào đó cho các nghiệm. Trong mục này, ta chỉ quan tâm $K=\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{Z},$ và có thể cả $\mathbb{Q}_p, \mathbb{Z}/p.$

 

Định nghĩa. Cho $f_1(x_1,\dots,x_n),\dots, f_m(x_1,\dots,x_n)$ là các đa thức với hệ số trong $K$. Tập nghiệm của hệ phương trình $f_1(x_1,\dots,x_n)=0,\dots, f_m(x_1,\dots,x_n)=0$ là tập tất cả các bộ $(x’_1,\dots,x’_n)$ với $x’_1,\dots,x’_n\in K$ thoả mãn 

$$f_1(x’_1,\dots,x’_n)=0,\dots, f_m(x’_1,\dots,x’_n)=0,$$ký hiệu bởi $Z(f_1,\dots,f_m)$. Ta cũng gọi tập nghiệm của một hệ phương trình nào đó là tập đại số a-phin.

 

Như trong tiêu đề, phần lớn ta chỉ quan tâm tới đường cong phẳng và mặt trong không gian, tức là nghiệm của phương trình $f(x,y)=0$ hoặc $f(x,y,z)=0.$ Tuy nhiên, nếu thuận tiện, ta sẽ phát biểu các mệnh đề và định nghĩa ở dạng tổng quát nhất.

 

Khi giải nghiệm của một hệ phương trình, có ba khả năng mà ta quan tâm: vô nghiệm, hữu hạn nghiệm, vô số nghiệm. Ta có thể đưa ra một số nhận xét, chẳng hạn tồn tại các phương trình vô nghiệm trong $\mathbb{R}$, hoặc mọi phương trình có hữu hạn nghiệm trong $\mathbb{Z}/p.$ Như vậy, chẳng hạn $x^2+1=0$ không hẳn là đường cong trong mặt phẳng vì nó không có nghiệm nào. Tuy nhiên hiện tượng này không xảy ra với tập số phức.

 

Mệnh đề 2. Phương trình $f(x,y)=0$ luôn có vô số nghiệm trong $\mathbb{C}$ với $deg(f(x,y))\geq 1.$

 

Trước khi chứng minh mệnh đề, ta đưa ra một số khái niệm.

 

Định nghĩa 3. Một đa thức được gọi là khác không nếu các hệ số của nó khác không. Ngược lại, ta nói đa thức đó là đa thức $0$.

 

Ví dụ. Đa thức $x^2+1$ với hệ số trong $\mathbb{Z}/2$ có tập nghiệm là toàn bộ $\mathbb{Z}/2$ mặc dù đa thức này khác không. Tuy nhiên, ta có mệnh đề sau:

 

Mệnh đề 4. Giả sử $K$ vô hạn. Nếu $f(x’,y’)=0$ với mọi $x’, y’\in K$ thì $f=0.$

Chứng minh. Giả sử phản chứng $f\neq 0$. Không giảm tổng quát, đặt $f(x,y)=a_n(x)y^n+\dots+a_0(x)$ với $a_n(x)\neq 0$. Nếu $n=0$ thì $a_0(x)=0$ với mọi $x\in K,$ mâu thuẫn vì $K$ vô hạn (số nghiệm của một đa thức một biến không thể vượt quá bậc của nó). Do đó $n\geq 1.$ Chọn $x’$ sao cho $a_n(x’)\neq 0.$ Khi đó đa thức $a_n(x’)y^n+a_{n-1}(x’)y^{n-1}+\dots+a_0(x’)$ có vô số nghiệm $y’\in K,$ mâu thuẫn. 

 

Nhận xét. Ta có thể chứng minh mệnh đề 2 với số biến tuỳ ý.

 

Chứng minh mệnh đề 1. Đặt $f(x,y)=a_n(x)y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\dots+a_0(x)$ với $a_n(x)\neq 0$ Nếu $n=0$ thì theo định lý cơ bản của đại số, tồn tại một nghiệm $x_0$ của $a_0(x).$ Do đó $f(x,y)$ có vô số nghiệm $x=x_0,\ y\in \mathbb{C}.$ Nếu $n\geq 1,$ tồn tại vô hạn $x’$ sao cho $a_n(x’)\neq 0.$ Với mỗi $x’$ như vậy, phương trình  $a_n(x’)y^n+a_{n-1}(x’)y^{n-1}+\dots+a_0(x’)=0$ có nghiệm theo định lý cơ bản của đại số. Do đó $f(x,y)=0$ có vô số nghiệm. 

 

Định nghĩa. 

(i) Không gian a-phin $n$-chiều $\mathbb{A}^n_{K}$ là tập tất cả các bộ sắp thứ tự $(a_1,\dots,a_n)$ với $a_1,\dots,a_n\in K.$

(ii) Không gian xạ ảnh $n$-chiều $\mathbb{P}_{K}^n$ được định nghĩa là $\mathbb{A}^{n+1}_K-\{(0,\dots,0)\}/\sim$ trong đó $\sim$ là một quan hệ tương đương định nghĩa như sau:

$$(a_0,\dots,a_n)\sim (b_0,\dots,b_n) \text{ nếu và chỉ nếu tồn tại }\lambda \neq 0: a_0=\lambda b_0,\dots,a_n=\lambda b_n.$$

Ký hiệu lớp tương đương chứa $(a_0,\dots,a_n)$ bởi $(a_0:\dots:a_n)$ (chú ý chỉ số bắt đầu từ $0$).

 

Không gian a-phin đóng vai trò như là không gian xung quanh của các tập đại số a-phin, tức là mọi tập đại số a-phin nằm trong một không $\mathbb{A}^n$ nhất định. Ta cũng có các tập đại số xạ ảnh nằm trong các không gian $\mathbb{P}^n$  ,sẽ được thảo luận trong các bài sau.

 

Khi giải phương trình đa thức, ta có xu hướng viết tập nghiệm thành hợp của các tập bé hơn mà nhờ đó, tập nghiệm dễ hình dung hơn. Chẳng hạn, phương trình $xy=0$ tương đương với $x=0$ hoặc $y=0,$ và hơn nữa $x=0$ và $y=0$ không thể phân tích tiếp được thành các thành phần bé hơn nữa. Ta đưa ra định nghĩa tập đại số bất khả quy.

 

Định nghĩa. Một tập đại số $Z$ được gọi là bất khả quy nếu không tồn tại các tập đại số $Z_1, Z_2$ sao cho $Z_1, Z_2 \neq Z$ và $Z=Z_1\cup Z_2.$ 

 

Định nghĩa. Cho $P$ là một đa thức khác không. 

(i) $P$ được gọi là khả nghịch nếu tồn tại $Q$ sao cho $PQ=1.$ 

(ii) $P$ được gọi là bất khả quy nếu tồn tại $Q, R$ sao cho $P=QR$ thì $Q$ khả nghịch hoặc $R$ khả nghịch. 

 

Chú ý.

(i) Ta chỉ ra được ngay rằng nếu $K=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{Z}$ thì tập các đa thức khả nghịch lần lượt là $\mathbb{Q}-\{0\}, \mathbb{R}-\{0\}, \mathbb{C}-\{0\}, \mathbb{Q}-\{0\}, \{1,-1\} $.

(ii) Không nên nhầm lẫn trong trường hợp $K=\mathbb{Z}$ rằng chẳng hạn đa thức $2x$ là bất khả quy. Tuy nhiên, ta có mệnh đề sau:

 

Mệnh đề. Một đa thức với hệ số nguyên là bất khả quy nếu và chỉ nếu đa thức đó bất khả quy xem như đa thức với hệ số hữu tỷ và các hệ số của nó là nguyên tố cùng nhau.

 

Trước khi chứng minh mệnh đề, ta cần bổ đề sau:

Mệnh đề. Cho $Q,R$ là các đa thức hệ số nguyên sao cho các hệ số của đa thức $QR$ có số nguyên tố $p$ là một ước chung. Thế thì một trong hai điều sau xảy ra:

(i) $p$ là một ước chung của các hệ số của $Q$;

(ii) $p$ là một ước chung của các hệ số của $R$.

Chứng minh. Giả sử cả (i) và (ii) không xảy ra. Đặt $Q=a_nx^n+\dots+a_0$ và $R=b_mx^m+\dots+b_0.$ Đặt $k$ là số nguyên lớn nhất sao cho $p$ không chia hết $a_k,$ tương tự với $l$ và $Q$ (tồn tại do điều ta giả sử). Rõ ràng đa thức $$QR-(a_nx^n+\dots+a_{k+1})R-Q(b_mx^m+\dots+b_{l+1}x^{l+1})=(a_kx^k+\dots+a_0)(b_lx^l+\dots+b_0)$$ vẫn có các hệ số là bội của $p$. Nói riêng, $p|a_kb_l,$ mâu thuẫn. 

 

Chứng minh mệnh đề.

(i) Giả sử $P=a_nx^n+\dots+a_0$ là đa thức hệ số nguyên và bất khả quy. Nếu $(a_0,\dots,a_n)=d>1$ thì $P$ có phân tích thành $d(a’_nx^n+\dots+a’_0)$ với $a’_i=a_i/d,$ mâu thuẫn với tính bất khả quy của $P.$ Như vậy $(a_0,\dots,a_n)=1$. Giả sử tồn tại $Q, R$ là các đa thức hệ số hữu tỷ sao cho $P=QR.$ Tồn tại số nguyên $d$ sao cho $dP=Q’R’$ với $R’,Q’$ hệ số nguyên (chẳng hạn lấy $d$ là một bội chung của các mẫu số của các hệ số của $Q$ và $R$). Nếu các hệ số của $Q’$ hoặc $R’$ có ước chung với $d$ thì bằng phép chia cả hai vế cho các ước chung này, ta có thể giả sử $d$ nguyên tố cùng nhau với các hệ số của $Q’$ và $R’$. Nếu $d\neq 1$ thì theo bổ đề trên, một ước nguyên tố nào đó của $d$ sẽ là ước chung của các hệ số của $Q’$ hoặc $R’$, mâu thuẫn. Do đó, $d=1$ và $P=Q’R’.$ Do $P$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}$ nên $Q’$ hoặc $R’$ là $1,-1$. Do đó, $Q$ hoặc $R$ là một số hữu tỷ.

 

(ii) Giả sử đa thức $P$ là đa thức hệ số nguyên và bất khả quy trên $\mathbb{Q}$ và các hệ số của $P$ là nguyên tố cùng nhau. Giả sử $P=QR$ với $Q,R$ hệ số nguyên. Do $P$ bất khả quy trên $\mathbb{Q}$ nên $Q$ hoặc $R$ là một số hữu tỷ, do đó là một số nguyên. Các số nguyên này không thể khác $1,-1$ vì ta đã giả thiết $P$ có các hệ số nguyên tố cùng nhau.


Thảo luận đường cong và mặt đại số

26-09-2021 - 16:53

Chủ đề này để thảo luận về đường cong và mặt đại số. Trước mắt chúng ta sẽ đi theo trình tự như trong quyển sách của Fulton (http://www.math.lsa....n/CurveBook.pdf). Tuy nhiên ta sẽ chỉ trình bày về đường cong phẳng (trong A^2 hoặc P^2) và mặt trong không gian (A^3 hoặc P^3). Thực tế là trước khi có hình học đại số thế kỷ 20 thì trước đó đã có những nghiên cứu về hình học đại số. Vậy thật sự những bài toán hình học đại số nảy sinh từ đâu? Theo mình điều này không chỉ giúp ích cho người mới bắt đầu mà ngay với cả những người đã học hình đại số. Việc hạn chế số chiều và số biến như trên hi vọng sẽ giúp ta chỉ cần kiến thức về đa thức và không phải đề cập sâu hơn đại số giao hoán.