Đến nội dung


Nxb

Đăng ký: 04-11-2011
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 01:08
*****

Chủ đề của tôi gửi

Thảo luận lý thuyết tập hợp

19-04-2021 - 02:19

Chủ đề này để bàn về tài liệu lý thuyết tập hợp (chưa đăng). Trước mắt, mình sẽ đi theo quyển sách topology của Munkres. Có ai đóng góp được code thì gửi vào đây giúp mình nhé. Hi vọng tuần tới mình sẽ đăng được.

Mình xác định đối tượng đọc trên diễn đàn là học sinh lớp 9. Còn nếu lớp 12 rồi thì bạn nên đọc topology như quyển sách của Munkres ngay khi có thể.

Cấu xạ đi từ một tập đơn hình chiều $\leq k$

15-04-2021 - 05:26

Với mỗi tập đơn hình $S_{•}$ chiều $\leq 1,$ ta có đồ thị $Gr(S_{•})$ với các đỉnh là tập $S_0,$ các cạnh là các 1-đơn hình không suy biến. Các ánh xạ từ $S_{•}$ sang $\infty$-phạm trù $\mathcal{C}$ (có lẽ chỉ cần là một vật đơn hình ở đây) song ánh với $Hom(Gr(S_{•}),G(\mathcal{C}))$, với $G(\mathcal{C})$ là một đồ thị có các đỉnh là các vật của $\mathcal{C}$ và các cạnh là các cấu xạ trong $\mathcal{C}.$ Vì vậy mình có thắc mắc sau:

1. Nếu $S_{•}$ có chiều $\leq k,$ các $j$-đơn hình không suy biến với $j\leq k$ có tạo thành cấu trúc nào có nghĩa không? (ví dụ như đồ thị trong trường hợp $k=1$ ở trên.)

2. Nếu có cấu trúc rõ ràng, các ánh xạ từ $S_{•}$ sang $\infty$-phạm trù $\mathcal{C}$ được mô tả thông qua cấu trúc đó như thế nào?

Học gì ở Toán phổ thông

11-04-2021 - 22:14

Trước đây ông thầy người Pháp hướng dẫn mình có chê toán olympic của Việt Nam không phải khoa học. Điều này có lẽ không phải bàn cãi, tức là toán phổ thông Việt Nam cũng nổi tiếng ở một nước tiên tiến về toán, theo nghĩa tiêu cực.

Nhưng cần suy nghĩ điều này thấu đáo vì hiện giờ ở Việt Nam, toán olympic là loại toán hấp dẫn với học sinh phổ thông, nếu không dùng nó thì cái gì để thu hút các em làm toán học hoặc khoa học? Mặc dù nó không hiệu quả, ai học chuyên là rõ nhất. Để nhiều bằng chứng hơn, hãy so với Pháp: phong trào olympic nghèo nàn, đi thi imo thì lúc nào cũng xếp sau Việt Nam, nhưng số lượng sinh viên đăng ký học toán gấp nhiều lần so với Việt Nam, cả lý thuyết và ứng dụng. Ở đây mình không bàn về chất lượng, chỉ tập trung vào số lượng. Vì vậy, mình mở ra post này, để anh em trên diễn đàn có thể lạm bàn. Mình xin tóm tắt lại một số vấn đề, cũng như đưa ra một số câu hỏi (tất nhiên không giới hạn việc thảo luận trong những vấn đề này):

1) Toán olympic ngày càng chứng tỏ không giúp ích nhiều cho khoa học và toán học (ở đây không bàn chuyện toán olympic có giúp tìm ra nhân tài);

2) Tạm bỏ qua (không có nghĩa bỏ hẳn) các yếu tố liên quan đến văn hóa, kinh tế để bàn về toán ở phổ thông hay nghiên cứu, nếu không muốn việc thảo luận trở nên phức tạp hơn.

Đặt câu hỏi: vậy nên học toán gì ở phổ thông nhằm thu hút các em làm khoa học và toán học? Một gợi ý là tham khảo chương trình toán phổ thông ở các nước khác. Nhưng khoan hãy nói toán phổ thông ở Pháp có ích cho khoa học hơn hay không, việc mình thấy thích hơn là chúng ta tự thảo luận. Mặt khác, không hy vọng thay đổi bộ mặt giáo dục nước nhà được vì diễn đàn không phải bộ giáo dục, nên những thứ thay đổi được trước mắt chỉ có thể làm được trên diễn đàn. Nhưng, sân chơi mà diễn đàn đã tạo ra thì không hề nhỏ, nên nếu có hướng đi đúng thì diễn đàn có thể tạo ra đóng góp lớn, giống như đã làm cách đây khoảng 20 năm với bất đẳng thức ở Việt Nam. Mình cũng xin nêu một số ý kiến:

1. Nhắc lại rằng không phải cái gì trong toán olympic cũng không có ích, vấn đề chỉ là làm quá nhiều sẽ trở nên vô nghĩa. Nên nhớ rằng chỉ có vài người cần thi thố, và càng ít hơn nhiều người được fame cao nhất, nên không thể để tất cả mọi người đều không thu được gì hết. Như vậy, những kỹ năng cơ bản của toán olympic gồm có hình học phẳng, số học chỉ cần đến hết lớp 9 là đủ. Nhưng toán rời rạc cũng như phương trình hàm thì phức tạp hơn (mình không rõ còn thiếu thứ gì trong toán olympic không?);

2. Phương trình hàm trong toán olympic hiện nay khiến cho nó trở thành kỹ năng vô dụng nhất. Nguyên nhân là vì bài toán thường bắt giải một phương trình hàm rất phức tạp rối rắm, nhưng nghiệm thu được lại tầm thường hoặc toàn là những hàm quen thuộc. Từ góc độ khoa học, ta đang cố mô tả một sự kiện đơn giản bởi một phương trình hết sức phức tạp, làm như vậy là phản khoa học. Chẳng hạn, chỉ có duy nhất hàm số thực 0 thỏa mãn $f(x+y)^2=f(x)^2+f(y)^2$. Có ai lại đi dùng phương trình hàm này để mô tả số 0? Một tình huống phương trình hàm có ích là khi ta không thể mô tả được một đối tượng một cách chính xác, nhưng nhờ phương trình hàm, ta vẫn thu được thông tin hữu ích của đối tượng đó, chứ không phải đi tìm hết các nghiệm của một phương trình hàm. Chẳng hạn, một dạng modular cần thoả mãn một phương trình hàm xác định, hay phương trình giữa các degeneracy maps (ánh xạ thoái hóa?) giúp ta xác định một vật nửa đơn hình. Mình chưa nghĩ ra tình huống nào có ích ở phổ thông, có lẽ cần tới đâu thì học tới đó chứ không nhất thiết phải tách ra để học. Còn nếu cố học thì phải theo hướng khác mới gần với khoa học chứ không phải là bài toán tìm hết các nghiệm;

3. Không cần bàn nhiều về Toán rời rạc/tổ hợp olympic vì nó không cách xa so với nghiên cứu. Nhưng cần bổ sung thêm phương pháp xác suất;

4. Nói thêm về bất đẳng thức, người ta sử dụng chúng để thu được thêm thông tin về một đối tượng toán học, ví dụ như một phiên bản của bất đẳng thức Harnack được sử dụng trong chứng minh giả thuyết Poincaré, hoặc nguyên lý mô đun cực đại giúp chứng minh một hàm là hằng. Như vậy, nói nôm na bất đẳng thức quan trọng là vì những chuyện bên ngoài chứ không chỉ kết thúc ở việc chứng minh. Những bất đẳng thức trong toán olympic hầu hết chỉ liên quan đến đối xứng/không đối xứng, sử dụng biến đổi đại số, không có các yếu tố hình học hay số học. Khi có các yếu tố này thì phương pháp chứng minh hoàn toàn khác, những kỹ năng biến đổi đó trở thành vô ích;

5. Mình nhận thấy từ rất lâu rồi nhiều mục diễn đàn không cập nhật phương pháp mới hay tài liệu mới. Bản thân mình ngại viết vì lười. Có nên chăng diễn đàn yêu cầu các điều hành viên thường xuyên tìm trong các post các lời giải nào có phương pháp thì tổng hợp lại, copy các lời giải này làm ví dụ cho phương pháp. Việc tổng hợp thường xuyên sẽ tạo ra tài liệu tốt cho thành viên mới và chất lượng của chúng là nguyên nhân lớn để thu hút thành viên mới. Mình đề xuất thêm nữa là tất cả bài trong mục tài liệu, phương pháp nên được tổng hợp lại và đăng lên trong một post và chỉnh sửa cập nhật post này thường xuyên, sắp xếp một cách hợp lý để cho dễ đọc. Khi đọc một cách tuyến tính như đọc sách sẽ tiếp thu nhanh hơn. Lấy ví dụ như stackproject. Trang này không viết quá nhiều thứ mới trong hình đại số, nhưng nhờ tổng hợp và viết lại các tài liệu mà giờ rất nhiều người sử dụng trang này để học và nghiên cứu;

6. Giả sử chúng ta đã biết nên học gì ở phổ thông thì làm sao định hướng các em trên diễn đàn học và quan tâm những vấn đề đó? Cái này thì mình chưa suy nghĩ kỹ.

Mình cảm thấy nhiều tạp chí như pi, epsilon khiến cho việc quan tâm tới toán học nghiên cứu ngày càng lớn hơn, mình hi vọng diễn đàn có thể bắt kịp xu thế này. Lợi thế của diễn đàn là có rất nhiều người đang làm toán nghiêm túc. Về kiến thức thì chúng ta không thiếu, nhưng cần suy nghĩ nghiêm túc để phát huy sức mạnh.

Cao học viện toán 2019-2021

23-06-2019 - 22:59

Cao học viện toán 2019-2021:
"Viện Nghiên cứu Dữ liệu lớn VinIBD cam kết hỗ trợ 10 học bổng cho các học viên xuất sắc theo học chuyên ngành Toán ứng dụng."
http://math.ac.vn/vi...04-chqtk12.html

Nhân đây mình cũng trình bày một số suy nghĩ cá nhân. Nhìn lại thì thấy ngoại trừ ngành sư phạm và toán, tất cả các ngành học khác sinh viên phải tự bươn chải và phải đóng học phí rất cao, học được rất ít kiến thức mà lại chỉ thấy họ ra rả rằng cần những kỹ năng mềm hoặc kỹ năng ít dùng tới nhất: tiếng anh giỏi! Học toán lại được hỗ trợ rất nhiều tiền trong tất cả các bậc học: học bổng của viện toán cao cấp, vingroup, fpt. Như vậy đã có một sự định hướng rất rõ ràng cần đầu tư cho toán học từ chính phủ cho tới doanh nghiệp. Mức học bổng mà họ nói ở trên cho thạc sĩ 120tr/năm là đã ngang với các nước phát triển ở châu âu theo nguyên tắc tiền học bổng xấp xỉ 1/3 lương trung bình (ở Pháp học bổng thạc sĩ từ khoảng 1000-1500 eur trong khi lương trung bình khoảng trên 3000 eur/tháng, ở Việt Nam lương trung bình khoảng 150-200 eur/tháng nghĩa là hoc bổng ở việt nam cho ngành toán đã gấp đôi thu nhập trung bình). Mặc dù bắt đầu có sự định hướng rõ ràng như vậy, tuy nhiên theo mình biết ngành học ưa thích của các bạn học sinh vẫn là phòng cháy chữa cháy và kinh tế.
Mình cảm thấy rất vui khi phát hiện ra những chuyển biến tích cực này. Hi vọng chúng sẽ sớm lan tỏa tới các bạn học sinh.
http://vinif.org/hoc...-si-trong-nuoc/
Diễn đàn toán trong công nghiệp, với sự tham gia của đại diện một số doanh nghiệp:
https://youtu.be/piRQ1-86irc

Dạng toàn phương

23-10-2018 - 18:56

Định nghĩa. Một dạng toàn phương $Q(x_1,...,x_n)$ n biến trên k (k có thể là $\mathbb{R},\mathbb{Q},\mathbb{Z}$) là một biểu thức có dạng $$\sum_{1\leq i,j \leq n} a_{ij} x_i x_j,$$
trong đó $a_{i,j}\in k.$

Ví dụ.
1. Biểu thức $x^2+xy-2y^2$ là một dạng toàn phương trên $\mathbb{R},\mathbb{Q}, \mathbb{Z}$.
2. Biểu thức $0x^3+0x^2 y+0 x y^2+ 0 y^3$ luôn là một dạng toàn phương trên k. Để cho tiện, ta luôn ký hiệu dạng toàn phương kiểu này bằng 0.

Bài tập.
1. Chứng minh rằng nếu dạng toàn phương Q khác 0 thì tồn tại các số $a_1,...,a_n$ sao cho $a_1^2+...+a_n^2$ khác 0 và $Q(a_1,...,a_n)=0.$

Định nghĩa. Dạng toàn phương Q được gọi là biểu diễn phần tử $b\in k$ nếu tồn tại các số $a_1,...,a_n$ sao cho $Q(a_1,...,a_n)=b.$ Trong trường hợp b=0 và ta yêu cầu các số $a_i$ được chọn sao cho $a_1^2+...+a_n^2>0$.

Ví dụ. Dạng toàn phương $x^2+y^2$ biểu diễn 1 trên $\mathbb{Q}:$ dạng toàn phương $x^2+y^2$ không biểu diễn 0; dạng toàn phương $x^2+y^2$ chỉ biểu diễn các số nguyên chia 4 dư 1 trên $\mathbb{Z}.$

Định nghĩa. Mọi dạng toàn phương Q trên k đều viết được dưới dạng $\sum_{ij}a_{ij} x_i x_j$ sao cho $a_{ij}\in \mathbb{R},a_{ij}=a_{ji}.$ Bây giờ ta chỉ quan tâm tới các dạng toàn phương 2 biến và 3 biến. Như vậy, ta có các véc tơ trong mặt phẳng hoặc không gian $(a_{i1}),...,(a_{in}).$ Ta gọi thể tích của hình bình hành hoặc hình hộp dựng bởi các véc tơ này là định thức của Q và ký hiệu là det(Q). Dạng Q được gọi là chính quy nếu det(Q) khác 0.

Ví dụ. Dạng toàn phương $x^2+3xy+y^2$ có định thức bằng $-5/4.$ Thật vậy, $x^2+3xy+y^2=x^2+3/2 xy +3/2 xy +y^2,$ và hình bình hành dựng bởi các véc tơ $(1,3/2),(3/2,1)$ có diện tích $-5/4$

Bài tập.
1. Cho công thức của det(Q) của dạng toàn phương 2 hoặc 3 biến Q theo các hệ số của Q.
2. Chứng minh rằng nếu Q là một dạng toàn phương 2 biến trên $\mathbb{Z}$ thì $-4det(Q)$ luôn chia 4 dư 1.

Còn tiếp...