Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Nxb

Đăng ký: 04-11-2011
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 22:26
*****

Chủ đề của tôi gửi

Bài tập đường cong và mặt đại số

10-11-2022 - 01:38

Mình mở chủ đề này để các thành viên có thể vào đây để thực hành cũng như đăng bài tập cho chủ đề đường cong và mặt đại số https://diendantoanh...à-mặt-đại-số/. 

 

Bài 1. Cho $F$ và $G$ là hai đa thức thuần nhất bậc 2 hệ số phức có chung tập nghiệm. Chứng minh rằng tồn tại $\lambda \in \mathbb{C}$ sao cho $F=\lambda G$.

 

 

 

 


Các nhà vật lý lượng tử tiên phong giành giải Nobel Vật lý

21-10-2022 - 14:58

Mình dịch lại bài viết “Pioneering Quantum Physicists Win Nobel Prize in Physics” trên quantamagazine. Bài viết gốc ở đây https://www.quantama...ysics-20221004/ Nếu có lỗi sai mọi người hãy gửi tin nhắn cho mình.

 

———————————-

Các nhà vật lý lượng tử tiên phong giành giải Nobel Vật lý

 

Các nhà vật lý Alain Aspect, John Clauser và Anton Zeilinger đã giành được giải Nobel Vật lý năm 2022 cho các thí nghiệm chứng minh bản chất lượng tử kỳ lạ sâu xa của thực tại. Các thí nghiệm của họ đã cùng nhau thiết lập sự tồn tại của một hiện tượng lượng tử kỳ lạ được gọi là hiện tượng liên đới, nơi hai hạt tách xa nhau dường như chia sẻ thông tin mặc dù không có cách giao tiếp nào có thể hình dung được.

 

Hiện tượng liên đới nằm ở trung tâm của một cuộc đụng độ nảy lửa vào những năm 1930 giữa những người khổng lồ vật lý, Albert Einstein ở một bên, và một bên là Niels Bohr và Erwin Schrödinger về cách vũ trụ vận hành ở cấp độ cơ bản. Einstein tin rằng tất cả các khía cạnh của thực tế nên có một sự tồn tại cụ thể và hoàn toàn có thể biết được. Tất cả các vật thể - từ mặt trăng đến photon ánh sáng - phải có các đặc tính được xác định chính xác có thể được khám phá thông qua phép đo. Tuy nhiên, Bohr, Schrödinger và những người ủng hộ cơ học lượng tử sơ khai khác đã phát hiện ra rằng thực tế về cơ bản là không chắc chắn; một hạt không có các đặc tính nhất định cho đến thời điểm đo.

 

Sự liên đới nổi lên như một cách quyết định để phân biệt giữa hai phiên bản có thể có của thực tế. Nhà vật lý John Bell đã đề xuất một thí nghiệm tưởng tượng mang tính quyết định mà sau này được Aspect và Clauser thực hiện dưới nhiều hình thức thí nghiệm khác nhau. Công việc đã chứng minh Schrödinger đúng. Cơ học lượng tử là hệ điều hành của vũ trụ.

 

“Tôi sẽ không gọi sự liên đới là“ một ”, mà là“ đặc điểm của cơ học lượng tử ”, Thors Hans Hansson, một thành viên của ủy ban Nobel, trích lời Schrödinger viết vào năm 1935. Ông nhận xét,“ Các thí nghiệm được thực hiện bởi Clauser và Aspect đã mở rộng tầm mắt của cộng đồng vật lý về chiều sâu của tuyên bố của Schrödinger, đồng thời cung cấp các công cụ để tạo ra, thao tác và đo lường trạng thái của các hạt liên đới mặc dù chúng ở rất xa ”.

 

Bên cạnh những hàm ý triết học phá vỡ kiểu mẫu của nó, sự liên đới giờ đây đã sẵn sàng để cung cấp năng lượng cho một làn sóng công nghệ lượng tử đang nổi lên. Zeilinger đã đi đầu trong lĩnh vực này, phát triển các kỹ thuật sử dụng sự liên đới để đạt được những kỳ tích đáng kinh ngạc về mạng lượng tử, dịch chuyển tức thời và mật mã.

 

“Khoa học thông tin lượng tử là một lĩnh vực sôi động và phát triển nhanh chóng. Eva Olsson, một thành viên khác của ủy ban, cho biết nó có những tác động tiềm năng rộng lớn trong các lĩnh vực như truyền thông tin an toàn, tính toán lượng tử và công nghệ cảm biến. “Những dự đoán của nó đã mở ra cánh cửa đến một thế giới khác, và nó cũng làm lung lay chính nền tảng của cách chúng ta giải thích các phép đo”.

 

Liên đới lượng tử là gì?

 
Hai hạt liên đới với nhau khi chúng cùng nhau tạo thành một hệ lượng tử, bất kể khoảng cách giữa chúng là bao nhiêu.
 
Để hiểu loại kết nối lượng tử này, hãy xem xét hai electron. Các electron có một thuộc tính lượng tử gọi là spin, khi được đo, có thể nhận một trong hai giá trị, được gọi là “lên” hoặc “xuống”. Đo spin của mỗi electron cũng giống như tung một đồng xu: Nó sẽ ngẫu nhiên đi lên hoặc xuống.
 
Bây giờ hãy tưởng tượng rằng hai nhà vật lý, Alain và John, mỗi người nhận được một loạt các đồng xu qua đường bưu điện. Khi mỗi cặp đồng xu đến, các nhà vật lý sẽ lật chúng cùng một lúc. Alain có thể nhận được các đầu dãy, đuôi, đuôi, đầu, đuôi. Và John có thể có đầu, đầu, đuôi, đuôi, đuôi. Kết quả của việc tung đồng xu của Alain và John sẽ không liên quan gì đến nhau.
 
Nhưng nếu họ lặp lại thí nghiệm này với một loạt các electron vướng víu thay vì các đồng xu, họ sẽ nhận được một kết quả kỳ lạ: Mỗi lần Alain đo một electron spin lên, John sẽ thấy rằng một nửa cặp electron tương ứng của anh ta sẽ ra spin xuống và ngược lại. Hai hoạt động đo lường được kết nối với nhau, gần như việc lật một đồng xu có thể gửi ra một tín hiệu ngay lập tức đảm bảo kết quả phù hợp của đối tác ở xa của nó tại thời điểm đo lường chính xác.
 
Chính Einstein, cùng với Boris Podolsky và Nathan Rosen, là những người đầu tiên mô tả liên đới lượng tử trong một bài báo nổi tiếng năm 1935. Hiện tượng, những hiệu ứng mà Einstein miệt thị gọi là “tác động ma quái ở khoảng cách”, là một hệ quả không thể tránh khỏi của lý thuyết cơ học lượng tử mới ra đời. Einstein nghi ngờ rằng sự liên đới sẽ chứng minh hồi chuông báo tử của cơ học lượng tử bởi vì nó dường như đối lập hoàn toàn nguyên lý trung tâm của thuyết tương đối - rằng không có thông tin nào có thể truyền đi nhanh hơn tốc độ ánh sáng. Không một phép đo nào của một điện tử có thể ảnh hưởng tức thì đến phép đo ở một nơi xa xôi nào đó.
 
Thay vào đó, bài báo của họ sẽ đặt nền tảng cho việc suy nghĩ lại hoàn toàn về thực tế và một lĩnh vực nghiên cứu mới triệt để.
 
Làm thế nào để bạn đo lường sự liên đới?
 
Vào những năm 1930, rõ ràng Bohr, Schrödinger và những nhà tiên phong về lượng tử khác đã tham gia vào một cái gì đó; Cái lý thuyết mô tả các thí nghiệm với nguyên tử và các hạt hạ nguyên tử chính xác hơn bất kỳ lý thuyết nào khác. Cuộc tranh luận là mức độ nào người ta có thể tin tưởng nó.
 
Ví dụ, Einstein đã nuôi hy vọng rằng lý thuyết kỳ lạ đó chỉ là một bước đệm trên con đường dẫn đến một bức tranh hoàn chỉnh hơn có thể phù hợp về mặt triết học với vật lý cổ điển. Ông nghi ngờ rằng hai electron liên đới đã tạo ra các spin đối nghịch bởi vì một số "biến ẩn" đã làm cho spin của chúng hướng ngược chiều nhau ngay từ đầu. Nói cách khác, thứ trông giống như một kết quả đo ngẫu nhiên trong cơ học lượng tử thực sự là kết quả của một số mô tả xác định chưa được đánh giá cao đã tạo ra một kết nối ảo tưởng giữa các hạt.
 
Năm 1964, John Stewart Bell đề xuất một thí nghiệm có thể giải quyết cuộc tranh luận. Có rất nhiều chi tiết, nhưng ý tưởng chung là để hai nhà vật lý đo spin của các hạt liên đới dọc theo các trục khác nhau: không chỉ lên và xuống mà đôi khi, ngẫu nhiên, trái và phải hoặc theo các hướng khác. Nếu Einstein đúng, và các hạt bí mật đều có spin được xác định trước, thì hành động chuyển trục đo sẽ không ảnh hưởng đến kết quả. Bell đã tính toán rằng nếu vũ trụ thực sự là cơ học lượng tử và sự liên đới là ma quái như nó có vẻ như thì việc chuyển trục sẽ dẫn đến các phép đo spin tương tác thường xuyên hơn khả năng có thể xảy ra trong các lý thuyết cổ điển như thuyết tương đối.
 
Olsson nói: “John Bell đã dịch cuộc tranh luận triết học thành khoa học và đưa ra những dự đoán có thể kiểm chứng được để khởi động công việc thí nghiệm.
 
Ai đã thực hiện thí nghiệm của Bell?
 
John Clauser, thuộc Phòng thí nghiệm Quốc gia Lawrence Berkeley và Đại học California, Berkeley, và Stuart Freedman, một sinh viên tốt nghiệp, là những người đầu tiên đưa thí nghiệm của Bell từ giấy tờ vào phòng thí nghiệm. Clauser nhận ra rằng thí nghiệm sẽ khả thi hơn nếu nó không liên quan đến các electron quay mà là các photon phân cực - các hạt ánh sáng. Giống như hướng spin của một electron, sự phân cực của một photon có thể nhận một trong hai giá trị so với hướng của một lọc. Ví dụ, kính râm phân cực chặn các photon bị phân cực theo một chiều và để các photon bị phân cực theo cách khác.
 
Ban đầu, các nhà vật lý bao gồm Richard Feynman không khuyến khích Clauser theo đuổi thí nghiệm, cho rằng cơ học lượng tử không cần thêm bằng chứng thực nghiệm. Nhưng đích thân Bell đã khuyến khích Clauser thực hiện thô các nghiên cứu, và vào năm 1972, Clauser và Freedman đã thành công trong việc hiện thực hóa thí nghiệm của Bell. Họ tạo ra các cặp photon liên đới và sử dụng thấu kính để đo hướng phân cực của chúng. Không chắc mình sẽ tìm được gì, Clauser đã đặt cược 2 đô la rằng thí nghiệm của ông sẽ chứng minh Einstein đúng. Trước sự ngạc nhiên của ông, kết quả của ông đã chứng minh cho dự đoán của Bell so với Einstein. Trạng thái của các photon dường như tương quan theo cách loại trừ bất kỳ lý thuyết biến ẩn nào. Vụ cá cược bị thua của Clauser là một chiến thắng to lớn cho cơ học lượng tử.
 
“Tôi rất buồn khi thấy thí nghiệm của chính mình đã chứng minh Einstein sai,” ông nói nhiều năm sau đó trong một cuộc phỏng vấn.
 
Nhưng bằng chứng của Clauser không phải quá đanh thép. Thí nghiệm của ông sử dụng các định hướng cố định của thấu kính, cho phép tạo ra kẽ hở: Nếu một biến ẩn điều phối các phân cực của các photon bằng cách nào đó phụ thuộc vào bố trí thí nghiệm của thấu kính, thì Einstein vẫn có thể đúng.
 
Alain Aspect xuất hiện. Ông đã thực hiện một loạt các thí nghiệm Bell ngày càng nghiêm ngặt ở Paris, đỉnh điểm là một thí nghiệm phức tạp đến kỳ quặc vào năm 1982. Trong thí nghiệm đó, hướng của các thấu kính sẽ thay đổi ngẫu nhiên trong một phần tỷ giây mà các photon dành để bay từ bộ phát tới thấu kính. Bằng cách này, cấu hình thấu kính ban đầu đã bị xóa và không thể ảnh hưởng đến bất kỳ quá trình bí mật nào thiết lập phân cực tại thời điểm phát xạ của chúng. Một lần nữa, thí nghiệm được tìm thấy có lợi cho Bell và cơ học lượng tử.
 
Chỉ còn lại những kẽ hở mỏng manh nhất. Liệu một quy trình bí mật và phi phi mã hóa bằng cách nào đó đã được thiết lập chuyển động vào thời điểm đầu của thí nghiệm xác định cách các thấu kính sẽ cập nhật không? Nghiên cứu của Anton Zeilinger tại Đại học Vienna đã thu hẹp thêm phần nghi ngờ còn lại này. Trong một thí nghiệm năm 2017, ông dẫn đầu một nhóm sử dụng màu sắc của các photon phát ra từ các ngôi sao xa xôi hàng trăm năm trước để xác định các thiết lập của thí nghiệm. Nếu một âm mưu vũ trụ nào đó tạo ra ảo giác về sự liên đới, thì nó sẽ phải bắt đầu hàng thế kỷ trước khi những người thí nghiệm ra đời.
 
Một số nhà vật lý vẫn thả nổi các lý thuyết duy trì giấc mơ của Einstein. Ví dụ, thuyết siêu xác định cho rằng mọi chi tiết về số phận của vũ trụ, cho đến spin và sự phân cực của mọi hạt cuối cùng, đều hoàn toàn được cố định tại Vụ nổ lớn - trước khi các ngôi sao (hay thử nghiệm Bell vũ trụ của Zeilinger) hình thành.
 
Nhưng hầu hết các nhà nghiên cứu coi công việc của Bell, Clauser, Aspect, Zeilinger và các nhóm của họ theo giá trị bề mặt. Liên đới là cái mà nó có vẻ là: Cặp hạt là một hệ thống nhất. Đối với từng hạt riêng lẻ, các đặc tính như spin và độ phân cực thực sự không được xác định cho đến thời điểm đo. Nói cách khác, thực tế không có trạng thái cố định và được xác định trước cho đến khi bạn đo lường nó. Đó là một kết luận ấn tượng mà hầu hết các nhà nghiên cứu đều chấp nhận nhưng vẫn phải vật lộn để nắm bắt đầy đủ.
 
“Câu hỏi rất cơ bản - điều này thực sự có ý nghĩa gì một cách cách cốt yếu? - chưa được trả lời, và là con đường cho nghiên cứu mới, ”Zeilinger nói.
 
Sự liên đới có lợi gì?
 
Trong gần 90 năm kể từ khi Einstein cố gắng tiêu diệt cơ học lượng tử bằng cách làm nổi bật tính phi lý của sự liên đới, hiện tượng này đã trở thành thức ăn cho các cuộc tranh luận triết học. Đây là một trong những động cơ chính thúc đẩy lĩnh vực khoa học thông tin lượng tử đang bùng nổ.
 
Hansson cho biết: “Các nhà vật lý đang bắt đầu hiểu rằng sự liên đới và cặp Bell là một nguồn lượng tử mà bạn có thể sử dụng để đạt được những điều mới mẻ tuyệt vời.
 
Zeilinger là một trong những nhân vật trung tâm dẫn đầu nỗ lực tạo ra những điều kỳ diệu về công nghệ với sự liên đới. Năm 1997, ông và các đồng nghiệp của mình là người đầu tiên thực hiện một kỳ công được gọi là dịch chuyển lượng tử, sử dụng một giao thức đo lường chính xác trên các hạt liên đới để chuyển hướng phân cực của hạt này sang hạt khác mà các nhà nghiên cứu không bao giờ biết được hướng phân cực đã được vận chuyển. Kỹ thuật này có thể đóng một vai trò quan trọng trong tính toán lượng tử. Zeilinger nói qua điện thoại trong buổi công bố giải Nobel rằng: “Nó không giống như trong phim Star Trek hay bất cứ thứ gì, vận chuyển một thứ gì đó - chắc chắn không phải là một con người - qua một khoảng cách nào đó. “Vấn đề là, bằng cách sử dụng sự liên đới, bạn có thể chuyển tất cả thông tin được mang bởi một đối tượng qua một nơi khác, nơi đối tượng đó, có thể nói, được tái tạo lại.”
 
Zeilinger cũng phát triển một quy trình gọi là hoán đổi liên đới, liên quan đến việc phát ra hai cặp Bell liên đới, tổng cộng là bốn hạt. Khi bạn thực hiện một phép đo cụ thể trên hai trong số các hạt không liên đới với nhau, hai hạt còn lại sẽ liên đới vào nhau. Việc hoán đổi sự liên đới từ hạt này sang hạt khác theo cách này có thể giúp liên kết các nút trong một mạng liên lạc lượng tử. Trong một ấn phẩm mang tính bước ngoặt năm 1998, Zeilinger và các cộng sự của ông đã chứng minh khả năng hoán đổi sự liên đới giữa các photon chưa từng tiếp xúc với nhau.
 
Trong những năm gần đây, những công nghệ như vậy đã rời khỏi phòng thí nghiệm và bước vào thế giới thực. Jian-Wei Pan, một cựu sinh viên của Zeilinger’s, đứng đầu một nhóm Trung Quốc đã phóng vệ tinh có tên Micius vào năm 2016. Micius đã chiếu các cặp photon tới các phòng thí nghiệm ở Trung Quốc, cách nhau hơn 1.000 km. Các phép đo của nhóm đã chứng minh rằng sự liên đới đã tồn tại trong cuộc hành trình. Nhóm của Pan sau đó đã làm việc với nhóm của Zeilinger ở Áo để phân phối các cặp hạt liên đới trên khắp lục địa Á-Âu. Sự liên đới đường dài này đã phát tán một thông điệp bí mật, cái gọi là khóa lượng tử, sẽ bị hủy bởi bất kỳ nỗ lực đánh chặn thông tin nào. Cuộc trình diễn mở đường cho mật mã không thể phá vỡ về cơ bản, sẽ được đảm bảo bởi các nguyên tắc cơ bản đã được kiểm tra kỹ lưỡng của cơ học lượng tử.
 
Ai đã đoạt giải Nobel Vật lý trong những năm gần đây?
 
Năm ngoái, Syukuro Manabe và Klaus Hasselmann đã được vinh danh vì công trình đưa ra những dự đoán đáng tin cậy về tác động của biến đổi khí hậu; họ đã chia sẻ giải Nobel với Giorgio Parisi, người đã thực hiện các nghiên cứu tiên phong về các hệ vật lý hỗn loạn. Năm 2020, Roger Penrose, Reinhard Genzel và Andrea Ghez đã nhận được giải thưởng cho các nghiên cứu của họ về lỗ đen. Một nửa giải Nobel 2019 thuộc về các nhà thiên văn học Michel Mayor và Didier Queloz vì phát hiện năm 1995 của họ về một hành tinh giống sao Mộc quay quanh một ngôi sao gần đó, và nửa còn lại thuộc về nhà vũ trụ học James Peebles vì ​​công việc khám phá cấu trúc của vũ trụ. Năm 2018, ba nhà vật lý laser đã được vinh danh: Arthur Ashkin, người đã nhận một nửa giải thưởng vì phát minh ra “nhíp quang học”, và Gérard Mourou và Donna Strickland cho công trình nghiên cứu xung laser cực ngắn. Và giải Nobel 2017 đã thuộc về các nhà vật lý người Mỹ Rainer Weiss, Kip Thorne và Barry Barish, ba trong số các kiến ​​trúc sư của thí nghiệm xác nhận sự tồn tại của sóng hấp dẫn.

Chân đường vuông góc nằm trên cạnh của đa giác lồi

05-10-2022 - 15:11

Cho một hình đa giác lồi, lấy một điểm bất kì A bên trong hình đa giác lồi. Chứng minh luôn tồn tại một cạnh sao cho khi ta hạ vuông góc từ A xuống cạnh đó, chân đường vuông góc nằm trên cạnh đó.

 

Giáo sư Ngô Việt Trung đoạt giải thưởng Tạ Quang Bửu năm 2022

12-05-2022 - 02:23

Bài viết của giáo sư Hoa về giáo sư Trung.
 
 

Qui luật và ngẫu nhiên

Như các ngành khoa học khác, một trong những vấn đề trung tâm trong Toán học là đi tìm một hoặc một vài tính chất chung trong số vô vàn những đối tượng có vẻ rất khác nhau. Chẳng hạn, có vô số vòng tròn lớn nhỏ. Ngoài chuyện hình dáng trông giống giống nhau, có vẻ chúng chẳng có gì chung. Ấy thế mà từ lâu loài người đã đoán định rằng tỷ số giữa chu vi và đường kính là như nhau ở tất cả các đường tròn. Mãi đến khi khái niệm giới hạn xuất hiện ở thế kỷ thứ 16 thì điều đoán định đó mới được chứng minh chặt chẽ, và tên gọi số pi cũng như ký hiệu π mới xuất hiện. Việc tìm ra số π chính là đã khám phá ra một qui luật.

 


 File gửi kèm  GS-Ngo-Viet-Trung-anh-1-281x375.jpg   22.79K   22 Số lần tải

Giáo sư Ngô Việt Trung.

 
 
Oái ăm thay, tỷ số π này lại là một số không thể tính chính xác được! Cho đến hiện nay, người ta cũng không biết được các chữ số thập phân của p có xuất hiện theo một qui luật nào không, hay hoàn toàn ngẫu nhiên (theo nghĩa ta không đoán trước được cho đến khi tìm ra nó)? 

 

Qua ví dụ tưởng như đơn giản là số π, ta có thể hiểu được, việc tìm ra qui luật nhiều khi khó khăn và tốn thời gian như thế nào!

 

Một ví dụ cao cấp hơn là việc giải hệ phương trình đa thức (với hệ số trên một trường). Trong trường hợp một biến, sinh viên Toán năm thứ nhất dễ dàng chứng tỏ được dù hệ có rất nhiều, thậm chí vô số phương trình, thì cũng có thể quy về giải mộtphương trình mà thôi. Điều đó không còn đúng khi số biến từ 2 trở lên. Tuy nhiên, vào cuối thế kỉ 19, nhà toán học người Đức D. Hilbert – một nhà toán học nổi tiếng nhất của thế kỷ 20 – đã phát hiện ra một qui luật (và tất nhiên đã chứng minh) là mọi hệ vô hạn đều có thể quy về một hệ gồm hữu hạn phương trình. Chứng minh của ông thời đó rất độc đáo và mới lạ, đến nỗi có người bảo đó không phải là chứng minh toán học, mà là thần học! Nhưng số phương trình ít nhất thì lại có thể rất lớn, tùy thuộc vào hệ cụ thể. Hay nói cách khác, số phương trình tối tiểu của một hệ phương trình đa thức là một số ngẫu nhiên.

 

Lĩnh vực nghiên cứu của giáo sư Ngô Việt Trung là Đại số, trong đó có hai khái niệm vành và idean đóng vai trò cơ bản. Chính nhờ sử dụng khái niệm khá trừu tượng là idean mà Hilbert đã chứng minh được kết quả có thể diễn đạt tương đối sơ cấp nêu trên. Vành được xem xét trong kết quả của Hilbert là một vành đa thức trên trường.

 

Khi có vành đa thức R và một idean I của nó, ta có một vành mới R/I – được gọi là vành thương. Để cho đơn giản, ta hạn chế xét trường hợp được gọi là idean thuần nhất. Một trong những cách nhận biết cấu trúc của vành R/I là thông qua các bất biến bằng số. Một bất biến vào loại quan trọng nhất của vành R/I là độ sâu depth(R/I). Độ sâu càng lớn thì vành đó càng đẹp!

 

Lũy thừa thứ n của I, được ký hiệu là In, là một khái niệm mở rộng khái niệm lũy thừa an thông thường của một số. Người ta nhận thấy, khi cố định I, độ sâu depth(R/In) có vẻ rất ngẫu nhiên, theo nghĩa phụ thuộc vào việc n. Vì vậy, kết quả của một nhà toán học Thụy Sĩ tên là M. Brodmann đưa ra năm 1979 nói rằng khi n đủ lớn, độ sâu depth(R/In) là một hằng số (không phụ thuộc n), đã tạo ra một sự ngạc nhiên trong giới chuyên môn. Tính chất này được gọi là tính ổn định tiệm cận. Không những thế, chứng minh qui luật này khá đơn giản, nhưng bản thân kết quả lại có nhiều ứng dụng. Vì vậy, bài báo chứa kết quả tuy đơn giản đó đã có 170 trích dẫn trên google scholar, tính đến thời điểm bài viết này – một số trích dẫn khá lớn trong Toán lý thuyết. Tuy nhiên người ta không hình dung được trước khi ổn định thì dãy số depth(R/I), depth(R/I2),… có dáng điệu như thế nào? Một giả thuyết phát biểu năm 2005 của hai nhà toán học Đức và Nhật nói rằng dãy đó có thể tùy ý, miễn nó ổn định tiệm cận. Nói cách khác, khoảng đầu của dãy này hoàn toàn ngẫu nhiên. Cách đây năm năm, giáo sư Ngô Việt Trung cùng ba đồng nghiệp Việt Nam khác đã giải quyết được giả thuyết đó, và công trình mới được công bố chính thức năm 2021. Khoảng thời gian từ khi phát hiện ra qui luật của độ sâu cho tới khi chứng minh được tính ngẫu nhiên khoảng đầu của dãy số độ sâu là hơn 40 năm!

 

Đối tượng mà giáo sư Ngô Việt Trung nghiên cứu cùng tiến sĩ Nguyễn Đăng Hợp trong công trình “Depth functions of symbolic powers of homogeneous ideals” (Các hàm độ sâu của lũy thừa hình thức của idean thuần nhất) phức tạp hơn nhiều so với lũy thừa In. Đó là lũy thừa hình thức I(n) – có liên quan chặt chẽ với lũy thừa thông thường, nhưng lại rất khác. Đây là một khái niệm xuất phát từ Hình học đại số. Nó được chú ý đặc biệt từ khi đóng vai trò quan trọng  trong việc xây dựng phản ví dụ cho Bài toán Hilbert thứ 14 nổi tiếng do Nagata xây dựng năm 1958. Thế nhưng, trái với In, việc tính cũng như nghiên cứu I(n) rất khó khăn. Có nhiều câu hỏi có vẻ đơn giản, nhưng vẫn còn mở liên quan đến lũy thừa hình thức. Cho đến cách đây ít năm, cho dù phỏng đoán là không, nhưng người ta vẫn không biết chắc chắn là depth(R/I(n)) không ổn định tiệm cận. Trong trường hợp đặc biệt, khi I là idean đơn thức – một loại idean đặc biệt – thì từ một kết quả của giáo sư Ngô Việt Trung và hai đồng nghiệp nước ngoài công bố năm 2007, có thể suy ra khi n đủ lớn, dãy depth(R/I(n)) ổn định tuần hoàn – tức rất gần với kết quả của Brodmann. Tuy gần, nhưng vẫn khác xa. Nếu đúng là khác thì thật thú vị. Nhưng biết đâu trên thực tế, với idean đơn thức, depth(R/I(n)) vẫn ổn định tiệm cận? Chẳng hạn, nếu I là idean đơn thức đặc biệt, gọi là idean không chứa bình phương, năm 2010, tôi cùng với tiến sĩ Trần Nam Trung đã chứng minh được đúng là depth(R/I(n)) ổn định tiệm cận. Từ đó, ý nghi ngờ cho rằng với idean đơn thức, depth(R/I(n)) vẫn ổn định tiệm cận, lại tăng lên. 

Công việc tìm ra qui luật hay khẳng định tính ngẫu nhiên rất gian truân, nhiều khi là đứng giữa ranh giới giữa có và không. Chẳng hạn cũng là vấn đề ổn định tiệm cận của độ sâu nêu trên, nếu chỉ xét lớp idean đơn thức không chứa bình phương vừa nói, thì cùng với phó giáo sư Nguyễn Công Minh ở ĐH Sư phạm Hà Nội, giáo sư Ngô Việt Trung năm 2011 đã chứng minh rằng nếu depth(R/I(3)) đạt giá trị lớn nhất, thì depth(R/I(n)) cũng đạt giá trị lớn nhất với mọi n > 3. Dựa trên công trình đó, năm 2012, cùng với nhà toán học Nhật Bản N. Terai, ông đã chứng minh kết quả tương tự cho độ sâu với lũy thừa thông thường. Cả hai công trình đó đã được đăng trên tạp chí Advances in Mathematics – một tạp chí có thứ hạng rất cao, thường xuyên có mặt trong top 20. Như vậy, với việc thêm điều kiện, tính ngẫu nhiên bị biến mất. Thay vào đó là một qui luật mới được phát hiện.

 

Trong công trình “Depth functions of symbolic powers of homogeneous ideals”, một số lớp idean đơn thức mới có  depth(R/I(n)) ổn định tiệm cận đã được tìm ra. Đó là những kết quả hay, và với chỉ mình chúng cũng có thể đăng được ở tạp chí tốt, nhưng không thể đăng được ở tạp chí đỉnh cao.
Kết quả chính có ý nghĩa quan trọng nhất và thú vị nhất của công trình này là đã chứng minh được mọi dãy số tuần hoàn ổn định tiệm cận đều có thể là dãy depth(R/I), depth(R/I(2)), depth(R/I(3), …. của một idean  đơn thức I nào đó. Dãy số vô hạn  a1, a2,… được gọi là tuần hoàn ổn định tiệm cận chu kì t, nếu khi n đủ lớn thì a= an+t = an+2t = ….  Nếu lấy chu kì tuần hoàn từ 2 trở lên, hệ quả trực tiếp của kết quả này nói rằng độ sâu depth(R/I(n)) không thoả mãn qui luật ổn định tiệm cận như Brodmann đã chỉ ra với lũy thừa thông thường. Đó là một điều được giới chuyên môn dự đoán từ lâu, nhưng bây giờ mới được kiểm chứng! Nhưng phần khó khăn hơn rất nhiều và khó tưởng tượng hơn rất nhiều là công trình này đã chứng minh được tính ngẫu nhiên hoàn toàn của dãy depth(R/I), depth(R/I(2)), depth(R/I(3),…. Bản thân công trình cũng đặt ra vấn đề mới: Hãy chứng tỏ (hay phủ nhận) rằng tồn tại idean I có depth(R/I(n)) không tuần hoàn ổn định tiệm cận. Chắc chắn đây là một bài toán rất khó – và chưa hiểu cách tiếp cận sẽ như thế thế nào.

 

Việc xây dựng được idean I thích hợp đòi hỏi những ý tưởng sâu sắc tổng hợp từ nhiều chuyên ngành khác nhau: Đại số giao hoán, Hình học đại số và tổ hợp. Kỹ thuật chứng minh cần những kiến thức sâu sắc trong Đại số giao hoán và sự kết hợp tài tình với những tính toán tổ hợp phức tạp, cũng như vận dụng thành thạo qui hoạch nguyên – một chuyên ngành có vẻ khá xa Đại số giao hoán. Chính vì vậy mà công trình đã được nhận đăng trong tạp chí Inventiones Mathematicae. Đây là một trong 2-3 tạp chí có uy tín nhất trong Toán học. Đây cũng là lần đầu tiên có một công trình thuần Việt được đăng trong một tạp chí lớn như vậy. Hoàn toàn thuần Việt theo nghĩa: cả hai tác giả đều là người Việt Nam và từ khi hình thành đến khi kết thúc, hoàn toàn được thực hiện trong nước. Nó còn đặc biệt ở chỗ, hiếm lắm mới có bài báo chuyên ngành Đại số giao hoán được đăng trên tạp chí Annals of Mathematics hay tạp chí Inventiones Mathematicae nêu trên.
 



GS-Ngo-Viet-Trung-anh-2-515x335.jpg

Năm 2017, cùng giáo sư Nguyễn Tự Cường và giáo sư Lê Tuấn Hoa, giáo sư Ngô Việt Trung được trao giải thưởng Hồ Chí Minh đợt V về KH&CN với cụm công trình “Các bất biến và cấu trúc của vành địa phương vành phân bậc”. Nguồn: Vietnamnet

 


Đi tìm qui luật là một trong những sở trường của giáo sư Ngô Việt Trung. Ngay từ khi còn là sinh viên đại học cách đây gần 50 năm, cùng với bạn học Nguyễn Tự Cường – bây giờ là giáo sư – và một tiến sĩ trẻ người Đức, ông đã phát hiện ra một lớp vành mà hiệu của hai bất biến có thể thay đổi khá tuỳ tiện đối với họ tuy vô hạn, nhưng chiếm một lượng nhỏ (theo một nghĩa nào đó), nhưng lại là hằng số với số còn lại. Đó là lớp vành được biết đến dưới tên gọi Cohen-Macaulay suy rộng. Mãi tới năm 1978, bài báo đó mới được đăng, và đã kích hoạt nghiên cứu của hàng trăm bài báo của nhiều nhà toán học trên thế giới (299 trích dẫn trên google scholar). Một ví dụ khác là nghiên cứu chỉ số chính qui Castelnuovo-Mumford, một bất biến khác khó hơn nhiều so với độ sâu. Vào năm 2020, cùng với hai đồng nghiệp người Mỹ và Đức, ông đã chứng minh được khi n đủ lớn, bất biến đó của In là một hàm tuyến tính. Đương nhiên bài này đã được đăng trên một tạp chí rất uy tín và được trích dẫn nhiều (248 trích dẫn trên google scholar). 

 

Đó chỉ là vài trong số nhiều kết quả khác của ông được nhiều nhà toán học quan tâm. Tuy nhiên, trước khi có bài báo ở tạp chí đỉnh cao, không có gì chắc chắn để khẳng định trước sau ông cũng sẽ có bài đăng ở đó. Xét về góc độ này thì việc có được bài đăng ở đấy như là một sự ngẫu nhiên, hay chí ít là một sự gặp may. Nhưng nếu xét từ cả quá trình làm việc và công bố đồ sộ của ông thì lại có dáng dấp như một qui luật. Chí ít thì có thể khẳng định: trong số người nghiên cứu Đại số ở Việt Nam, nếu có ai đó đăng được bài ở một trong hai tạp chỉ đỉnh cao nói trên, thì người đầu tiên phải là ông! (Trước ông, năm 1976 có giáo sư Nguyễn Hữu Anh có bài đăng ở Annals of Mathematics, khi làm việc ở Mỹ).

 

Giáo sư Ngô Việt Trung là nhà toán học hàng đầu của Việt Nam, đã được trao tặng nhiều giải thưởng lớn. Ông được bầu làm viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học các nước thế giới thứ 3 (TWAS) năm 2000 khi mới 47 tuổi. Năm 2009, Giải thưởng Nhân tài Đất Việt lần đầu tiên được mở rộng sang lĩnh vực khoa học tự nhiên, và ông là người được trao Giải thưởng trong lĩnh vực Toán học. Đặc biệt, năm 2017, ông được trao giải thưởng Hồ Chí Minh đợt V về khoa học và công nghệ với tư cách là chủ trì nhóm nghiên cứu gồm ba thành viên. 

 

Ông đã giữ nhiều chức trách trong ngành Toán: Tổng biên tập tạp chí Acta Mathematica Vietnamica (16 năm, từ 1991 – 2007), Viện trưởng Viện Toán học (2007 – 2013), Chủ tịch Hội đồng ngành Toán của Quỹ NAFOSTED (nhiều năm), Chủ tịch Hội Toán học Việt Nam (từ 2018). Tuy rất bận bịu với những công việc hành chính hay các hoạt động khoa học, nhưng ông luôn luôn đặt nhiệm vụ nghiên cứu ở vị trí số một, và dành phần lớn thời gian cho nó. Công trình “Depth functions of symbolic powers of homogeneous ideals” được hoàn thành và đăng trên tạp chí hàng đầu của Toán khi ông là đương kim Chủ tịch Hội Toán học quả thực càng có ý nghĩa khích lệ thế hệ trẻ phấn đấu nghiên cứu để ngày càng có nhiều công trình xuất sắc.
Thực ra, giáo sư Ngô Việt Trung là người thể hiện có năng khiếu Toán học rất sớm. Ông là người đã đạt Giải Nhất lớp 10 kì thi Học sinh giỏi toàn miền Bắc về Toán. Thời đó, kì thi Học sinh giỏi toàn miền Bắc chỉ tổ chức cho Toán và Văn, trao rất ít giải, kể cả giải khuyến khích thường không quá 10, và nhiều năm không trao giải Nhất (trước năm 1975, tôi chưa từng nghe có năm nào trao hai giải nhất và tôi nghĩ là không). Do vậy, những người đạt giải khi đó được các bạn cùng trang lứa nhớ tên rất lâu. Rất may là thời đó thông tin không nhiều như bây giờ, nên người ta biết đến tên tuổi ông như một nhà khoa học thành đạt, chứ không phải nhờ dư âm từ thời học sinh! 

 

Sau khi tốt nghiệp đại học, ông được chuyển tiếp nghiên cứu sinh và bảo vệ tiến sĩ năm 1978. Năm 1983, ông đã bảo vệ được luận án tiến sĩ khoa học khi mới 30 tuổi. Cũng năm đó, Đoàn Thanh niên có tổ chức triển lãm thành tựu khoa học, công nghệ và sản xuất của thanh niên tại Cung Văn hóa thiếu nhi Hà Nội. Đích thân cố Tổng Bí thư Lê Duẩn đã đến thăm để nói lên tầm quan trọng của triển lãm. Các sản phẩm công, nông nghiệp thì nhiều, nhưng theo tôi nhớ thì về nghiên cứu lý thuyết, chỉ có của tiến sĩ Ngô Việt Trung với 13 công bố ở nước ngoài và 2-3 tiền ấn phẩm. Đó là những con số rất ấn tượng thời đó. Tôi khi đó là lính mới của Viện, nên được giao trực “gian hàng” của Viện Toán. Cố Tổng Bí thư Lê Duẩn đã dừng lại ngắm nghía gian hàng khoảng một phút!

 

Gợi lại một số kỷ niệm trước đây để nói rằng, thành công của giáo sư Ngô Việt Trung là có cơ sở và là kết quả của một quá trình làm việc bền bỉ, lâu dài, không bao giờ tự hài lòng, bất chấp tuổi tác ngày càng cao hay công việc bận bịu, luôn tìm cách chinh phục những đỉnh cao mới. Từ rất lâu, nghiên cứu khoa học đã ngấm vào máu của ông.□

Theo Tia Sáng


$f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ thoả mãn...

14-04-2022 - 18:55

Cho $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ thoả mãn $d\mapsto f(d)-f(d-1)$ là một hàm đa thức. Chứng minh rằng $f$ cũng là một hàm đa thức.